1、2014 年黑龙江省大庆市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分 ) 1.(3 分 )下列式子中成立的是 ( ) A. -|-5| 4 B. -3 |-3| C. -|-4|=4 D. |-5.5| 5 解析： A.-|-5|=-5 4，故 A 选项错误； B.|-3|=3 -3，故 B 选项正确； C.-|-4|=-44 ，故 C 选项错误； D.|-5.5|=5.5 5，故 D 选项错误； 答案： B. 2.(3 分 )大庆油田某一年的石油总产量为 4500 万吨，若用科学记数法表示应为 ( )吨 . A. 4.510 -6 B. 4.510 6 C.
2、 4.510 7 D. 4.510 8 解析： 4500 万 =45 000 000=4.510 7. 答案： C. 3.(3 分 )已知 a b 且 a+b=0，则 ( ) A. a 0 B. b 0 C. b0 D. a 0 解析： a b 且 a+b=0， a 0， b 0， 答案： D. 4.(3 分 )如图中几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从上面看易得第一层最右边有 1 个正方形，第二层有 3 个正方形 . 答案： A. 5.(3 分 )下列四个命题： (1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线互
3、相平分的四边形是平行四边形； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . 其中正确的命题个数有 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解析： (1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确； (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确； (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此选项正确 . 答案： A. 6.(3 分 )如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 后得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1与 CD 交于点 O，则四边形 AB1OD 的面积是
4、( ) A. B. C. D. 解析： 连接 AC1， 四边形 AB1C1D1是正方形， C 1AB1= 90=45=AC 1B1， 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 后得到正方形 AB1C1D1， B 1AB=45 ， DAB 1=90 -45=45 ， AC 1过 D 点，即 A、 D、 C1三点共线， 正方形 ABCD 的边长是 1， 四边形 AB1C1D1的边长是 1， 在 RtC 1D1A 中，由勾股定理得： AC1= = ，则 DC1= -1， AC 1B1=45 ， C 1DO=90 ， C 1OD=45=DC 1O， DC 1=OD= -1， SADO
5、= OD AD= ， 四边形 AB1OD 的面积是 =2 = -1， 答案： C. 7.(3 分 )某市出租车起步价是 5 元 (3 公里及 3 公里以内为起步价 )，以后每公里收费是 1.6元，不足 1 公里按 1 公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为 11.4 元，则此出租车行驶的路程可能为 ( ) A. 5.5 公里 B. 6.9 公里 C. 7.5 公里 D. 8.1 公里 解析： 设人坐车可行驶的路程最远是 xkm，根据题意得： 5+1.6(x-3)=11.4，解得： x=7. 观察选项，只有 B 选项符合题意 . 答案： B. 8.(3 分 )已知反比例函数的图象 上有两
6、点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，若 y1 y2，则 x1-x2的值是 ( ) A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 不能确定 解析： 反比例函数的图象 的图象在二、四象限， 当点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)都在第二象限时，由 y1 y2，则 x1-x2 0； 当点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)都在第四象限时，由 y1 y2，则 x1-x2 0； 当点 A(x1， y1)在第二象限、 B(x2， y2)在第四象限时，即 y1 0 y2，则 x1-x2 0； 则 x1-x2的值不确定 . 答案： D. 9.(3 分 )如图，一个质地均匀的正四面体的四个
7、面上依次标有数字 -2， 0， 1， 2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是 a， b，将其作为 M 点的横、纵坐标，则点 M(a， b)落在以 A(-2，0)， B(2， 0)， C(0， 2)为顶点的三角形内 (包含边界 )的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析： 列举出事件： 共有 16 种结果， 而落在以 A(-2， 0)， B(2， 0)， C(0， 2)为顶点的三角形内 (包含边界 )有： (-2， 0)， (0， 0)， (1， 0)， (2， 0)， (0， 1)， (1， 1)， (0， 2)共 7 中可能情况， 所以落在以 A(-2， 0)， B(2， 0)， C(
8、0， 2)为顶点的三角形内 (包含边界 )的概率是 = ， 答案： B. 10.(3 分 )对坐标平面内不同两点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，用 |AB|表示 A、 B 两点间的距离 (即线段 AB 的长度 )，用 AB 表示 A、 B 两点间的格距，定义 A、 B 两点间的格距为 AB=|x 1-x2|+|y1-y2|，则 |AB|与 AB 的大小关系为 ( ) A. |AB|AB B. |AB| AB C. |AB|AB D. |AB| AB 解析： |AB| 、 |x1-x2|、 |y1-y2|的长度是以 |AB|为斜边的直角三角形， |AB|AB . 答案： C. 二、填
9、空题 (本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 .不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 ) 11.(3 分 )若 ，则 xy-3的值为 . 解析： ， ，解得 ， x y-3=22-3= . 答案： . 12.(3 分 )某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间 (单位：分钟 )后，绘制了频数分布直方图，从左到右的前 5 个长方形相对应的频率之和为 0.9，最后一组的频数是 15，则此次抽样调查的人数为 人 .(注：横轴上每组数据包含最小值不包含最大值 ) 解析： 由题意可知：最后一组的频率 =1-0.9=0.1，则由频率 =频数 总人数可得：总人数=150.1
10、=150 人； 答案： 150. 13.(3 分 )二元一次方程组 的解为 . 解析： ， 3 -2 得： 11x=33，即 x=3， 将 x=3 代入 得： y=2，则方程组的解为 . 答案： . 14.(3 分 ) = . 解析： 原式 = (2x+1)(2x-1) (2x-1)(2x+1)= . 答案： . 15.(3 分 )图中直线是由直线 l 向上平移 1 个单位，向左平移 2 个单位得到的，则直线 l 对应的一次函数关系式为 . 解析： 如图， 设该直线的解析式为 y=kx+1(k0 )，则 0=-k+1，解得 k=1. 则该直线的解析式为 y=x+1. 图中直线是由直线 l 向上
11、平移 1 个单位，向左平移 2 个单位得到的， 由该直线向下平移 1 个单位，向右移 2 个单位得到直线 l， 直线 l 的解析式为： y=x+1-1-2=x-2. 答案： y=x-2. 16.(3 分 )在半径为 2 的圆中，弦 AC 长为 1， M为 AC 中点，过 M 点最长的弦为 BD，则四边形ABCD 的面积为 . 解析： 如图 .M 为 AC 中点，过 M 点最长的弦为 BD， BD 是直径， BD=4，且 ACBD ， 四边形 ABCD 的面积 = AC BD= 14=2 . 答案： 2. 17.(3分 )如图，矩形 ABCD中， AD= ， F是 DA延长线上一点， G是 CF
12、上一点，且 ACG=AGC ，GAF=F=20 ，则 AB= . 解析： 由三角形的外角性质得， AGC=GAF+F=20+20=40 ， ACG=AGC ， CAG=180 -ACG -AGC=180 -240=100 ， CAF=CAG+GAF=100+20=120 ， BAC=CAF -BAF=30 ， 在 RtABC 中， AC=2BC=2AD=2 ， 由勾股定理， AB= = = . 答案： . 18.(3 分 )有一列数如下： 1， 0， 1， 0， 0， 1， 0， 0， 0， 1， 0， 0， 0， 0， 1， ，则第 9 个1 在这列数中是第 个数 . 解析： 两个 1 之间
13、的 0 的个数分别为 1、 2、 3 ， 到第 9 个 1， 0 的个数为： 1+2+3+4+5+6+7+8=36， 第 9 个 1 在这列数中是第 36+9=45 个数 . 答案： 45. 三、解答题 (本大题共 10 小题，共 66 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 19.(4 分 )计算： . 解析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简计算即可得到结果 . 答案： 原式 =1+1+ -2= . 20.(4 分 )求不等式组 的整数解 . 解析： 此题可先根据
14、一元一次不等式组解出 x 的取值，根据 x 是整数解得出 x 的可能取值 . 答案： ， 解 得： x ， 解 得： x -1， 则不等式组的解集是： -1x . 则整数解是： -1， 0， 1. 21.(4 分 )已知非零实数 a 满足 a2+1=3a，求 的值 . 解析： 已知等式两边除以 a 变形后求出 a+ 的值，两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值 . 答案： a 2+1=3a，即 a+ =3， 两边平方得： (a+ )2=a2+ +2=9，则 a2+ =7. 22.(7 分 )如图，点 D 为锐角 ABC 内一点，点 M 在边 BA上，点 N在边 BC上，且 DM=D
15、N，BMD+BND=180 . 求证： BD 平分 ABC . 解析： 在 AB 上截取 ME=BN，证得 BNDEMD ，进而证得 DBN=MED ， BD=DE，从而证得BD 平分 ABC . 答案： 如图所示：在 AB 上截取 ME=BN， BMD+DME=180 ， BMD+BND=180 ， DME=BND ， 在 BND 与 EMD 中， ， BNDEMD (SAS)， DBN=MED ， BD=DE， MBD=MED ， MBD=DBN ， BD 平分 ABC . 23.(7 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴相交于点 A(-2，0
16、)，与 y 轴交于点 C，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点 B(m， n)，连结 OB.若SAOB =6， SBOC =2. (1)求一次函数的表达式； (2)求反比例函数的表达式 . 解析： (1)由 SAOB =6， SBOC =2 得 SAOC =4，根据三角形面积公式得 2 OC=4，解得 OC=4，则 C 点坐标为 (0， 4)，然后利用待定系数法求一次函数解析式； (2)由 SBOC =2，根据三角形面积公式得到 4m=2 ，解得 m=1，则 B 点坐标为 (1， 6)，然后利用待定系数法确定反比例函数解析式 . 答案： (1)S AOB =6， SBOC =2， S AOC
17、 =4， 2 OC=4，解得 OC=4， C 点坐标为 (0， 4)， 把 A(-2， 0)， C(0， 4)代入 y=ax+b，得 ，解得 ， 一次函数解析式为 y=2x+4； (2)设 B 为 (m， 2m+4)， S BOC =2， 4m=2 ，解得 m=1， B 点坐标为 (1， 6)， 把 B(1， 6)代入 y= 得 k=16=6 ， 反比例函数解析式为 y= . 24.(7 分 )甲、乙两名同学进入初四后，某科 6 次考试成绩如图： (1)请根据下图填写如表： (2)请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学 6 次考试成绩进行分析： 从平均数和方差相结合看； 从折线图上两名同
18、学分数的走势上看，你认为反映出什么问题？ 解析： (1)分别根据平均数、方差的求解进行计算，中位数的定义，众数的定义以及极差的定义解答； (2)根据方差的意义以及折线统计图的意义解答 . 答案： (1)甲：方差 = (60-75)2+(65-75)2+(75-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(95-75)2 = (225+100+0+0+25+400)=125， 众数： 75， 极差： 95-60=35； 乙：平均数 = (85+70+70+75+70+80)=75，中位数： (70+75)=72.5，众数： 70； 故答案为： 125， 75， 35； 75， 72.5， 70
19、； (2) 从平均数和方差相结合看，乙同学成绩更稳定； 从折线图上两名同学分数的走势上看，甲同学进步较快，乙同学成绩稳定有小幅度下滑 . 25.(7 分 )关于 x 的函数 y=(m2-1)x2-(2m+2)x+2 的图象与 x轴只有一个公共点，求 m的值 . 解析： 需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况 . 答案： 当 m2-1=0，且 2m+20 ，即 m=1 时，该函数是一次函数，则其图象与 x 轴只有一个公共点； 当 m2-10 ，即 m1 时，该函数是二次函数，则 = (2m+2)2-8(m2-1)=0， 解得 m=3， m=-1(舍去 ). 综上所述， m 的值是 1
20、或 3. 26.(8 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P在 O 上， PB与 CD交于点 F，PBC=C . (1)求证： CBPD ； (2)若 PBC=22.5 ， O 的半径 R=2，求劣弧 AC 的长度 . 解析： (1)先根据同弧所对的圆周角相等得出 PBC=D ，再由等量代换得出 C=D ，然后根据内错角相等两直线平行即可证明 CBPD ； (2)先由垂径定理及圆周角定理得出 BOC=2PBC=45 ，再根据邻补角定义求出AOC=135 ，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧 AC 的长度 . 答案： (1)PBC=D ， PBC=C ， C=D ，
21、CBPD ； (2)AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E， = ， PBC=C=22.5 ， BOC=BOD=2C=45 ， AOC=180 -BOC=135 ， 劣弧 AC 的长为： = . 27.(9 分 )如图，等腰 ABC 中， AB=AC， BAC=36 ， BC=1，点 D 在边 AC 上且 BD 平分 ABC ，设 CD=x. (1)求证： ABCBCD ； (2)求 x 的值； (3)求 cos36 -cos72 的值 . 解析： (1)由等腰三角形 ABC 中，利用顶角的度数求出两底角度数，再由 BD 为角平分线求出DBC 的度数，得到 DBC=A ，再由 C 为公共
22、角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形 ABC 与三角形 BCD 相似； (2)根据 (1)结论得到 AD=BD=BC，根据 AD+DC 表示出 AC，由 (1)两三角形相似得比例求出 x的值即可； (3)过 B 作 BE 垂直于 AC，交 AC 于点 E，在直角三角形 ABE和直角三角形 BCE中，利用锐角三角函数定义求出 cos36 与 cos72 的值，代入原式计算即可得到结果 . 答案： (1) 等腰 ABC 中， AB=AC， BAC=36 ， ABC=C=72 ， BD 平分 ABC ， ABD=CBD=36 ， CBD=A=36 ， C=C ， ABCBCD ； (2)A=AB
23、D=36 ， AD=BD ， BD=BC ， AD=BD=BC=1 ， 设 CD=x，则有 AB=AC=x+1， ABCBCD ， = ，即 = ，整理得： x2+x-1=0， 解得： x1= ， x2= (负值，舍去 )，则 x= ； (3)过 B 作 BEAC ，交 AC 于点 E， BD=BC ， E 为 CD 中点，即 DE=CE= ， 在 RtABE 中， cosA=cos36= = = ， 在 RtBCE 中， cosC=cos72= = = ， 则 cos36 -cos72= - = . 28.(9 分 )如图 ，已知等腰梯形 ABCD 的周长为 48，面积为 S， ABCD ，
24、 ADC=60 ，设 AB=3x. (1)用 x 表示 AD 和 CD； (2)用 x 表示 S，并求 S 的最大值； (3)如图 ，当 S 取最大值时，等腰梯形 ABCD 的四个顶点都在 O 上，点 E 和点 F 分别是 AB和 CD 的中点，求 O 的半径 R 的值 . 解析： (1)作 AHCD 于 H， BGCD 于 G，如图 ，易得四边形 AHGB 为矩形，则 HG=AB=3x，再根据等腰梯形的性质得 AD=BC， DH=CG，在 RtADH 中，设 DH=t，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 AD=2t， AH= t，然后根据等腰梯形 ABCD 的周长为 48 得3x+2t
25、+t+3x+t+2t=48，解得 t=8-x，于是可得 AD=18-2x， CD=16+x； (2)根据梯形的面积公式计算可得到 S=-2 x2+8 x+64 ，再进行配方得 S=-2(x-2)2+72 ，然后根据二次函数的最值问题求解； (3)连 结 OA、 OD，如图 ，由 (2)得到 x=2 时，则 AB=6， CD=18，等腰梯形的高为 6 ，所以 AE=3， DF=9，由于点 E 和点 F 分别是 AB和 CD 的中点，根据等腰梯形的性质得直线 EF 为等腰梯形 ABCD的对称轴，所以 EF垂直平分 AB和 CD， EF为等腰梯形 ABCD的高，即 EF=6 ，根据垂径定理的推论得等
26、腰梯形 ABCD 的外接圆的圆心 O 在 EF 上，设 OE=a，则 OF=6 -a，在 RtAOE 中，利用勾股定理得 a2+32=R2，在 RtODF 中，利用勾股定理得 (6 -a)2+92=R2，然后消去 R 得到 a 的方程 a2+32=(6 -a)2+92，解得 a=5 ，最后利用 R2=(5 )2+32求解 . 答案： (1)作 AHCD 于 H， BGCD 于 G，如图 ， 则四边形 AHGB 为矩形， HG=AB=3x ， 四边形 ABCD 为等腰梯形， AD=BC ， DH=CG， 在 RtADH 中，设 DH=t， ADC=60 ， DAH=30 ， AD=2t ， AH
27、= t， BC=2t ， CG=t， 等腰梯形 ABCD 的周长为 48， 3x+2t+t+3x+t+2t=48 ，解得 t=8-x， AD=2 (8-x)=16-2x， CD=8-x+3x+8-x=16+x； (2)S= (AB+CD) AH= (3x+16+x) (8-x)=-2 x2+8 x+64 ， S= -2 (x-2)2+72 ， 当 x=2 时， S 有最大值 72 ； (3)连结 OA、 OD，如图 ， 当 x=2 时， AB=6， CD=16+2=18，等腰梯形的高为 (8-2)=6 ，则 AE=3， DF=9， 点 E 和点 F 分别是 AB 和 CD的中点， 直线 EF为等腰梯形 ABCD的对称轴， EF 垂直平分 AB 和 CD， EF 为等腰梯形 ABCD 的高，即 EF=6 ， 等腰梯形 ABCD 的外接圆的圆心 O 在 EF 上， 设 OE=a，则 OF=6 -a， 在 RtAOE 中， OE 2+AE2=OA2， a 2+32=R2， 在 RtODF 中， OF 2+DF2=OD2， (6 -a)2+92=R2， a 2+32=(6 -a)2+92，解得 a=5 ， R 2=(5 )2+32=84， R=2 .
