1、2014 年黑龙江省绥化市中考真题数学 一、填空题 (每小题 3 分，满分 33 分 ) 1.(3 分 )-2014 的相反数 . 解析： -2014 的相反数是 2014， 答案： 2014. 2.(3 分 )使二次根式 有意义的 x 的取值范围是 . 解析： 根据二次根式的意义，得 x+30 ，解得 x -3. 答案： x -3. 3.(3 分 )如图， AC、 BD 相交于点 O， A=D ，请补充一个条件，使 AOBDOC ，你补充的条件是 (填出一个即可 ). 解析： AB=CD， 理由是： 在 AOB 和 DOC 中 ， ， AOBDOC (AAS)， 答案： AB=CD(答案不唯
2、一 ). 4.(3 分 )布袋中装有 3 个红球和 6 个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 . 解析： 一个布袋里装有 3 个红球和 6 个白球， 摸出一个球摸到红球的概率为： = . 答案： . 5.(3 分 )化简 - 的结果是 . 解析： 原式 = - =- =- . 答案： - . 6.(3 分 )如图，直线 a、 b 被直线 c 所截， ab ， 1+2 的度数是 . 解析： ab ， 1=3 ， 2+3=180 ， 1+2=180 ， 答案： 180 . 7.(3 分 )服装店销售某款服装，一件服装的标价为 300 元，若按
3、标价的八折销售，仍可获利60 元，则这款服装每件的标价比进价多 元 . 解析： 设这款服装每件的进价为 x 元，由题意，得 3000 .8-x=60，解得： x=180. 标价比进价多 300-180=120 元 . 答案： 120. 8.(3 分 )一个扇形的圆心角为 120 ，半径为 3，则这个扇形的面积为 (结果保留 ) 解析： 由题意得， n=120 ， R=3，故 S 扇形 = = =3 . 答案： 3 . 9.(3 分 )分解因式： a3-4a2+4a= . 解析： a3-4a2+4a， =a(a2-4a+4)， =a(a-2)2. 答案： a(a-2)2. 10.(3 分 )如图
4、，在平面直角坐标系中，已知点 A(1， 1)， B(-1， 1)， C(-1， -2)， D(1， -2)，把一根长为 2014 个单位长度且没有弹性的细线 (线的粗细忽略不计 )的一端固定在 A 处，并按 ABCDA 的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 . 解析： A (1， 1)， B(-1， 1)， C(-1， -2)， D(1， -2)， AB=1 -(-1)=2， BC=1-(-2)=3， CD=1-(-1)=2， DA=1-(-2)=3， 绕四边形 ABCD 一周的细线长度为 2+3+2+3=10， 201410=2014 ， 细线另一端在绕四
5、边形第 202 圈的第 4 个单位长度的位置， 即线段 BC 的中间位置，点的坐标为 (-1， -1). 答案： (-1， -1). 11.(3 分 )矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8， AB=6， E 是边 BC 上的点，以 AE 为折痕折叠纸片，使点 B 落在点 F 处，连接 FC，当 EFC 为直角三角形时， BE 的长为 . 解析： 当 EFC=90 时，如图 1， AFE=B=90 ， EFC=90 ， 点 A、 F、 C 共线， 矩形 ABCD 的边 AD=8， BC=AD=8 ，在 RtABC 中， AC= = =10， 设 BE=x，则 CE=BC-BE=8-x，由翻折的
6、性质得， AF=AB=6， EF=BE=x， CF=AC -AF=10-6=4， 在 RtCEF 中， EF2+CF2=CE2，即 x2+42=(8-x)2，解得 x=3，即 BE=3； 当 CEF=90 时，如图 2， 由翻折的性质得， AEB=AEF= 90=45 ， 四边形 ABEF 是正方形， BE=AB=6 ， 综上所述， BE 的长为 3 或 6. 答案： 3 或 6. 二、单项选择题 (每题 3 分，满分 21 分 ) 12.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. (a3)2=a6 B. 3a+3b=6ab C. a6a 3=a2 D. a3-a=a2 解析： A、底数不变指
7、数相乘，故 A 正确； B、不是同类项不能合并，故 B 错误； C、底数不变指数相减，故 C 错误； D、不是同底数幂的除法，指数不能相减，故 D 错误； 答案： A. 13.(3 分 )下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. 角 B. 等边三角形 C. 圆 D. 平行四边形 解析： A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、圆既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误 . 答案： C. 14.(3 分 )分式方程 的解是 ( )
8、A. x=-2 B. x=2 C. x=1 D. x=1 或 x=2 解析： 方程的两边同乘 (x-2)，得 2x-5=-3，解得 x=1. 检验：当 x=1 时， (x-2)=-10 . 原方程的解为： x=1. 答案： C. 15.(3 分 )如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由俯视图中的数字可得：左视图有 3 列，从左到右分别是 2， 3 个正方形 . 答案： D. 16.(3 分 )如图，过点 O 作直线与双曲线 y= (k0 )交于 A、 B 两点，过点 B作 BCx
9、轴于点C，作 BDy 轴于点 D.在 x 轴上分别取点 E、 F，使点 A、 E、 F在同一条直线上，且 AE=AF.设图中矩形 ODBC 的面积为 S1， EOF 的面积为 S2，则 S1、 S2的数量关系是 ( ) A. S1=S2 B. 2S1=S2 C. 3S1=S2 D. 4S1=S2 解析： 设 A 点坐标为 (m， -n)， 过点 O 的直线与双曲线 y= 交于 A、 B 两点，则 A、 B 两点关与原点对称，则 B 的坐标为 (-m，n)； 矩形 OCBD 中，易得 OD=n， OC=m；则 S1=mn； 在 RtEOF 中， AE=AF，故 A 为 EF 中点， 由中位线的性
10、质可得 OF=2n， OE=2m；则 S2= OFOE=2mn ；故 2S1=S2. 答案： B. 17.(3 分 )如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A(3， 0)，二次函数图象的对称轴是 x=1，下列结论正确的是 ( ) A. b2 4ac B. ac 0 C. a-b+c 0 D. 4a+2b+c 0 解析： 抛物线与 x 轴有两个交点， b 2-4ac 0，即 b2 4ac，所以 A 选项正确； 抛物线开口向下， a 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c 0， ac 0，所以 B 选项错误； 抛物线过点 A(3， 0)，二次函数图象的对称轴是 x=
11、1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为 (-1， 0)， a -b+c=0，所以 C 选项错误； 当 x=2 时， y 0， 4a+2b+c 0，所以 D 选项错误 . 答案： A. 18.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AD= AB， BAD 的平分线交 BC 于点 E， DHAE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F，连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论： AED=CED ； OE=OD ； BH=HF ； BC -CF=2HE； AB=HF ， 其中正确的有 ( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 解析： 在矩形 ABCD 中， AE 平分
12、BAD ， BAE=DAE=45 ， ABE 是等腰直角三角形， AE= AB， AD= AB， AE=AD ， 在 ABE 和 AHD 中， ， ABEAHD (AAS)， BE=DH ， AB=BE=AH=HD ， ADE=AED= (180 -45 )=67.5 ， CED=180 -45 -67.5=67 .5 ， AED=CED ，故 正确； AB=AH ， AHB= (180 -45 )=67.5 ， OHE=AHB (对顶角相等 )， OHE=67 .5=AED ， OE=OH ， DHO=90 -67.5=22 .5 ， ODH=67 .5 -45=22 .5 ， DHO=OD
13、H ， OH=OD ， OE=OD=OH ，故 正确； EBH=90 -67.5=22 .5 ， EBH=OHD ， 在 BEH 和 HDF 中， ， BEHHDF (ASA)， BH=HF ， HE=DF，故 正确； HE=AE -AH=BC-CD， BC -CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故 正确； AB=AH ， BAE=45 ， ABH 不是等边三角形， ABBH ， 即 ABHF ，故 错误； 综上所述，结论正确的是 共 4 个 . 答案： C. 三、解答题 (满分 66 分 ) 19.(5 分 )计算： . 解析： 分别进
14、行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可 . 答案： 原式 =2 -2 +1-8= . 20.(6 分 )某校 240 名学生参加植树活动，要求每人植树 4 7 棵，活动结束后抽查了 20 名学生每人的植树量，并分为四类： A 类 4 棵、 B 类 5 棵、 C 类 6 棵、 D类 7 棵，将各类的人数绘制成如图所示不完整的条形统计图，回答下列问题： (1)补全条形图； (2)写出这 20 名学生每人植树量的众数和中位数； (3)估计这 240 名学生共植树多少棵？ 解析： (1)根据抽查人数减去 A、 B、 C 类人数，求出 D 类的
15、人数，然后补全统计图即可； (2)根据众数的定义解答，根据中位数的定义，找出第 10 人和第 11 人植树的平均棵树，然后解答即可； (3)求出 20 人植树的平均棵树，然后乘以总人数 240 计算即可得解 . 答案： (1)D 类的人数为： 20-4-8-6=20-18=2 人， 补全统计图如图所示： ； (2)由图可知，植树 5 棵的人数最多，是 8 人， 所以，众数为 5， 按照植树的棵树从少到多排列，第 10 人与第 11 人都是植 5 棵数， 所以 中位数是 5； (3) = =5.3(棵 )， 2405 .3=1272(棵 ). 答：估计这 240 名学生共植树 1272 棵 .
16、21.(6 分 )已知： ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A(0， 3)、 B(3， 4)、 C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度 ). (1)画出 ABC 向下平移 4 个单位长度得到的 A 1B1C1，点 C1的坐标是 ； (2)以点 B 为位似中心，在网格内画出 A 2B2C2，使 A 2B2C2与 ABC 位似，且位似比为 2： 1，点 C2的坐标是 ； (3)A 2B2C2的面积是 平方单位 . 解析： (1)利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案； (2)利用位似图形的性质得出对应点位置即可； (3)利用等腰直角三角形的性质得出 A 2B2C
17、2的面积 . 答案： (1)如图所示： C1(2， -2)； 故答案为： (2， -2)； (2)如图所示： C2(1， 0)； 故答案为： (1， 0)； (3)A 2C22=20， B2C =20， A2B2 =40， A 2B2C2是等腰直角三角形， A 2B2C2的面积是： 20=10 平方单位 . 故答案为： 10. 22.(6 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P在 O 上， 1=BCD . (1)求证： CBPD ； (2)若 BC=3， sinBPD= ，求 O 的直径 . 解析： (1)根据圆周角定理和已知求出 D=BCD ，根据平行线的判定推出
18、即可； (2)根据垂径定理求出弧 BC=弧 BD，推出 A=P ，解直角三角形求出即可 . 答案： (1)D=1 ， 1=BCD ， D=BCD ， CBPD ； (2)连接 AC， AB 是 O 的直径， ACB=90 ， CDAB ， 弧 BD=弧 BC， BPD=CAB ， sinCAB=sinBPD= ，即 = ， BC=3 ， AB=5 ，即 O 的直径是 5. 23.(8 分 )在一条笔直的公路旁依次有 A、 B、 C 三个村庄，甲、乙两人同时分别从 A、 B 两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向 C 村，最终到达 C 村 .设甲、乙两人到 C村的距离 y1， y2(km
19、)与行驶时间 x(h)之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)A、 C 两村间的距离为 km， a= ； (2)求出图中点 P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)乙在行驶过程中，何时距甲 10km？ 解析： (1)由图可知与 y 轴交点的坐标表示 A、 C 两村间的距离为 120km，再由 0.5 小时距离C 村 90km，行驶 120-90=30km，速度为 60km/h，求得 a=2； (2)求得 y1， y2两个函数解析式，建立方程求得点 P 坐标，表示在什么时间相遇以及距离 C村的距离； (3)由 (2)中的函数解析式根据距甲 10km 建立方程；探讨得出答案即可
20、 . 答案： (1)A、 C 两村间的距离 120km， a=120 (120-90)0 .5=2； (2)设 y1=k1x+120，代入 (2， 0)解得 y1=-60x+120， y2=k2x+90，代入 (3， 0)解得 y1=-30x+90， 由 -60x+120=-30x+90 解得 x=1，则 y1=y2=60， 所以 P(1， 60)，表示经过 1 小时甲与乙相遇且距 C 村 60km. (3)当 y1-y2=10，即 -60x+120-(-30x+90)=10 解得 x= ， 当 y2-y1=10，即 -30x+90-(-60x+120)=10 解得 x= ， 当甲走到 C 地
21、，而乙距离 C 地 10km 时， -30x+90=10 解得 x= ； 综上所知当 x= h，或 x= h，或 x= h 乙距甲 10km. 24.(8 分 )某商场用 36 万元购进 A、 B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表： (1)该商场购进 A、 B 两种商品各多少件； (2)商场第二次以原进价购进 A、 B 两种商品 .购进 B 种商品的件数不变，而购进 A 种商品的件数是第一次的 2 倍， A 种商品按原售价出售，而 B 种商品打折销售 .若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于 81600 元， B 种商品最低售价为每件多少元？ 解析： (1)设购
22、进 A 种商品 x 件， B 种商品 y 件，列出不等式方程组可求解 . (2)由 (1)得 A 商品购进数量，再求出 B 商品的售价 . 答案： (1)设购进 A 种商品 x 件， B 种商品 y 件， 根据题意得 化简得 ，解之得 . 答：该商场购进 A、 B 两种商品分别为 200 件和 120 件 . (2)由于第二次 A 商品购进 400 件，获利为 (1380-1200)400=72000 (元 ) 从而 B 商品售完获利应不少于 81600-72000=9600(元 ) 设 B 商品每件售价为 z 元，则 120(z-1000)9600 解之得 z1080 所以 B 种商品最低售
23、价为每件 1080 元 . 25.(8 分 )如图，抛物线 y=-x2+3x+4与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 D 在抛物线上且横坐标为 3. (1)求 tanDBC 的值； (2)点 P 为抛物线上一点，且 DBP=45 ，求点 P 的坐标 . 解析： (1)如图，连接 CD，过点 D作 DEBC 于点 E.利用抛物线解析式可以求得点 A、 B、 C、D 的坐标，则易推知 CDAB ，所以 BCD=ABC=45 .利用直角等腰直角三角形的性质和图中相关线段间的和差关系求得 BC=4 ， BE=BC-CE= .由正切三角函数定义知 tanDBC= ； (2)过点 P
24、 作 PFx 轴于点 F.由点 B、 D 的坐标得到 BDx 轴， PBF=DBC ，利用 (1)中的结果得到： tanPBF= .设 P(x， -x2+3x+4)，则利用锐角三角函数定义推知 = ，通过解方程求得点 P 的坐标为 (- ， ). 答案： (1)令 y=0，则 -x2+3x+4=-(x+1)(x-4)=0，解得 x1=-1， x2=4.A (-1， 0)， B(4， 0). 当 x=3 时， y=-32+33+4=4 ， D (3， 4). 如图，连接 CD，过点 D 作 DEBC 于点 E. C (0， 4)， CDAB ， BCD=ABC=45 . 在直角 OBC 中， O
25、C=OB=4 ， BC=4 . 在直角 CDE 中， CD=3.CE=ED= ， BE=BC -CE= .tanDBC= = ； (2)过点 P 作 PFx 轴于点 F. CBF=DBP=45 ， PBF=DBC ， tanPBF= . 设 P(x， -x2+3x+4)，则 = ，解得 x1=- ， x2=4(舍去 )， P (- ， ). 26.(9 分 )在菱形 ABCD 和正三角形 BGF 中， ABC=60 ， P 是 DF的中点，连接 PG、 PC. (1)如图 1，当点 G 在 BC 边上时，易证： PG= PC.(不必证明 ) (2)如图 2，当点 F 在 AB 的延长线上时，线
26、段 PC、 PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明； (3)如图 3，当点 F 在 CB 的延长线上时，线段 PC、 PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想 (不必证明 ). 解析： (1)延长 GP 交 DC 于点 E，利用 PEDPGF ，得出 PE=PG， DE=FG，得到 CE=CG， CP是 EG 的中垂线，在 RtCPG 中， PCG=60 ，所以 PG= PC. (2)延长 GP 交 DA 于点 E，连接 EC， GC，先证明 DPEFPG ， 再证得 CDECBG ，利用在 RtCPG 中， PCG=60 ，所以 PG= PC. (3)延长 GP到 H，使 PH=PG
27、，连接 CH、 DH，作 FEDC ，先证 GFPHDP ，再证得 HDCGBC ，在 RtCPG 中， PCG=60 ，所以 PG= PC. 答案： (1)提示：如图 1：延长 GP 交 DC 于点 E， 利用 PEDPGF ，得出 PE=PG， DE=FG， BGF 是等边三角形， FG=BG ， 又 四边形 ABCD 是菱形， CD=CB ， CE=CG ， CP 是 EG 的中垂线， 在 RtCPG 中， PCG=60 ， PG= PC. (2)如图 2，延长 GP 交 DA 于点 E，连接 EC， GC， ABC=60 ， BGF 正三角形 GFBCAD ， EDP=GFP ， 在
28、DPE 和 FPG 中 ， ， DPEFPG (ASA)， PE=PG ， DE=FG=BG， CDE=CBG=60 ， CD=CB， 在 CDE 和 CBG 中， ， CDECBG (SAS)， CE=CG ， DCE=BCG ， ECG=DCB=120 ， PE=PG ， CPPG ， PCG= ECG=60PG= PC. (3)猜想： PG= PC.证明：如图 3，延长 GP 到 H，使 PH=PG，连接 CH， CG， DH，作 FEDC P 是线段 DF 的中点， FP=DP ， GPF=HPD ， GFPHDP ， GF=HD ， GFP=HDP ， GFP+PFE=120 ， P
29、FE=PDC ， CDH=HDP+PDC=120 ， 四边形 ABCD 是菱形， CD=CB ， ADC=ABC=60 ，点 A、 B、 G 又在一条直线上 ，GBC=120 ， BFG 是等边三角形， GF=GB ， HD=GB ， HDCGBC ， CH=CG ， DCH=BCG ， DCH+HCB=BCG+HCB=120 ，即 HCG=120 CH=CG ， PH=PG， PGPC ， GCP=HCP=60 ， PG= PC. 27.(10 分 )如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 AOBC 的顶点 C 的坐标是 (2， 4)，动点 P从点 A 出发，沿线段 AO 向终点 O 运动，同时
30、动点 Q从点 B出发，沿线段 BC向终点 C运动 .点 P、 Q 的运动速度均为 1 个单位，运动时间为 t 秒 .过点 P作 PEAO 交 AB于点 E. (1)求直线 AB 的解析式； (2)设 PEQ 的面积为 S，求 S 与 t 时间的函数关系，并指出自变量 t的取值范围； (3)在动点 P、 Q 运动的过程中，点 H 是矩形 AOBC 内 (包括边界 )一点，且以 B、 Q、 E、 H 为顶点的四边形是菱形，直接写出 t 值和与其对应的点 H 的坐标 . 解析： (1)依据待定系数法即可求得； (2)有两种情况：当 0 t 2 时， PF=4-2t，当 2 t4 时， PF=2t-4
31、，然后根据面积公式即可求得； (3)依据菱形的邻边相等关系即可求得 . 答案： (1)C (2， 4)， A (0， 4)， B(2， 0)， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， ，解得 直线 AB 的解析式为 y=-2x+4. (2)如图 2，过点 Q 作 QFy 轴于 F， PEOB ， = = 有 AP=BQ=t， PE= t， AF=CQ=4-t， 当 0 t 2 时， PF=4-2t， S= PE PF= t(4-2t)=t- t2，即 S=- t2+t(0 t 2)， 当 2 t4 时， PF=2t-4， S= PE PF= t(2t-4)= t2-t(2 t4 ). (3)t1= ， H1( ， )， t2=20-8 ， H2(10-4 ， 4).
