1、2014 年黑龙江省黑河市中考真题数学 一、单项选择题 (每小题 3 分，满分 30分 ) 1.(3 分 )下列各式计算正确的是 ( ) A. a4 a3=a12 B. 3a 4a=12a C. (a3)4=a12 D. a12a 3=a4 解析 ： A、底数不变指数相加，故 A 错误； B、底数不变指数相加，故 B 错误； C、底数不变指数相乘，故 C 正确； D、底数不变指数相减，故 D 错误； 答案： C. 2.(3 分 )下列英文字母既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、图形 A 是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； B、图形 B
2、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、图形 C 不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、图形 D 是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确 . 答案： D. 3.(3 分 )现测得齐齐哈尔市扎龙自然保护区六月某五天的最高气温分别为 27、 30、 27、 32、34(单位： )，这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A. 34、 27 B. 27、 30 C. 27、 34 D. 30、 27 解析 ： 27 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 27； 把这组数据从小到大排列： 27， 27， 30， 32， 34，最中间的数是 30，则中位数是 30； 答
3、案： B. 4.(3 分 )将一张面值 100 元的人民币，兑换成 10 元或 20 元的零钱，兑换方案有 ( ) A. 6 种 B. 7 种 C. 8 种 D. 9 种 解析 ： 设兑换成 10 元 x 张， 20 元的零钱 y 元，由题意得： 10x+20y=100， 整理得： x+2y=10，方程组的整数解为： ， ， ， ， ， ， 因此兑换方案有 6 种， 答案： A. 5.(3 分 )关于 x 的分式方程 =1 的解为正数，则字母 a 的取值范围为 ( ) A. a -1 B. a -1 C. a -1 D. a -1 解析 ： 分式方程去分母得： 2x-a=x+1，解得： x=a
4、+1， 根据题意得： a+1 0 且 a+1+10 ，解得： a -1 且 a -2.即字母 a 的取值范围为 a -1. 答案： B. 6.(3 分 )如图，在 O 中， ODBC ， BOD=60 ，则 CAD 的度数等于 ( ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 解析 ： 在 O 中， ODBC ， = ， CAD= BOD= 60=30 . 答案： D. 7.(3 分 )若等腰三角形的周长是 80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长 ycm 与底边长 xcm的函数关系式的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据题意， x+2y=80， 所以 y=- x+40，
5、 根据三角形的三边关系， x y-y=0， x y+y=2y， 所以 x+x 80，解得 x 40， 所以， y 与 x 的函数关系式为 y=- x+40(0 x 40)， 只有 D 选项符合 . 答案： D. 8.(3 分 )如图，由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数是 ( ) A. 5 个或 6 个 B. 6 个或 7 个 C. 7 个或 8 个 D. 8 个或 9 个 解析 ： 从俯视图可得最底层有 4个个小正方体，由主视图可得上面一层是 2个或 3小正方体， 则组成这个几何体的小正方体的个数是 6 个或 7 个； 答案： B. 9.(3 分
6、)如图，二次函 y=ax2+bx+c(a0 )图象的一部分，对称轴为直线 x= ，且经过点 (2，0)，下列说法： abc 0； a+b=0 ； 4a+2b+c 0； 若 (-2， y1)， ( ， y2)是抛物线上的两点，则 y1 y2，其中说法正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 二次函数的图象开口向下， a 0， 二次函数的图象交 y 轴的正半轴于一点， c 0， 对称轴是直线 x= ， - = ， b= -a 0， abc 0.故 正确； 由 中知 b=-a， a+b=0 ，故 正确； 把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a+2b+c， 抛物线经过点 (2
7、， 0)， 当 x=2 时， y=0，即 4a+2b+c=0.故 错误； (-2， y1)关于直线 x= 的对称点的坐标是 (3， y1)， 又 当 x 时， y 随 x 的增大而减小， 3， y 1 y2.故 正确； 综上所述，正确的结论是 . 答案： A. 10.(3 分 )如图，四边形 ABCD 是矩形， AB=6cm， BC=8cm，把矩形沿直线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处， BE 与 AD 相交于点 F，连接 AE，下列结论： FBD 是等腰三角形； 四边形 ABDE 是等腰梯形； 图中共有 6 对全等三角形； 四边形 BCDF 的周长为 cm； AE 的长为 cm. 其中结
8、论正确的个数为 ( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 解析 ： 由折叠的性质知， CD=ED， BE=BC. 四边形 ABCD 是矩形， AD=BC ， AB=CD， BAD=90 ， AB=DE ， BE=AD， BD=BD， ABDEDB ， EBD=ADB ， BF=DF ，即 FBD 是等腰三角形，结论正确； AD=BE ， AB=DE， AE=AE， AEDEAB (SSS)， AEB=EAD ， AFE=BFD ， AEB=EBD ， AEBD ， 又 AB=DE ， 四边形 ABDE 是等腰梯形 .结论正确； 图中的全等三角形有： ABDCDB ， AB
9、DEDB ， CDBEDB ， ABFEDF ，ABEEDA 共有 5 对，则结论错误； BC=BE=8cm ， CD=ED=AB=6cm，则设 BF=DF=xcm，则 AF=8-xcm， 在直角 ABF 中， AB2+AF2=BF2，则 36+(8-x)2=x2，解得： x= cm， 则四边形 BCDF 的周长为： 8+6+2 =14+ = cm，则结论正确； 在直角 BCD 中， BD= =10， AEBD ， BDFEAF ， = = ， AE= BD= 10= cm.则结论正确 . 综上所述，正确的结论有 ，共 4 个 . 答案： C. 二、填空题 (每小题 3 分，满分 30 分 )
10、 11.(3 分 )财政部近日公开的情况显示， 2014 年中央本级 “ 三公 ” 经费财政款预算比去年年初预算减少 8.18 亿元，用科学记数法表示 8.18 亿元为 . 解析 ： 8.18 亿元 =8.1810 8元 . 答案： 8.1810 8元 . 12.(3 分 )在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 由题意得， 2x-10 且 x-30 ，解得 x 且 x3 . 答案： x 且 x3 . 13.(3 分 )如图，已知 ABC 中， AB=AC，点 D、 E 在 BC 上，要使 ABDACE ，则只需添加一个适当的条件是 .(只填一个即可 ) 解析 ： BD=CE
11、，理由是： AB=AC ， B=C ， 在 ABD 和 ACE 中， ， ABDACE (SAS)， 答案： BD=CE. 14.(3 分 )已知 x2-2x=5，则代数式 2x2-4x-1 的值为 . 解析 ： x 2-2x=5， 2x 2-4x-1=2(x2-2x)-1， =25 -1， =10-1， =9. 答案： 9. 15.(3 分 )从 2、 3、 4 这三个数字中任取两个数字组成一个两位数，其中能被 3 整除的两位数的概率是 . 解析 ： 画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，其中能被 3 整除的两位数的有： 24， 42， 其中能被 3 整除的两位数的概率是： = . 答案：
12、 . 16.(3 分 )用一个圆心角为 240 半径为 6 的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 . 解析 ： 扇形的弧长 = =8 ， 圆锥的底面半径为 82=4 . 答案： 4. 17.(3 分 )在 RtABC 中， ACB=90 ， CD 是斜边 AB 上的中线， CD=4， AC=6，则 sinB的值是 . 解析 ： RtABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线， CD=4， AB=2CD=8 ，则 sinB= = = . 答案： . 18.(3 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离为 3 个单位长度，到原点 O 的距离为 5 个单位长度，则经过点
13、P 的反比例函数的解析式为 . 解析 ： 根据题意， P 的坐标可能是： (4， 3)， (4， -3)， (-4， 3)， (-4， -3)， 设反比例解析式为 y= ，将 P 坐标分别代入得： k=12或 k=-12，则反比例解析式为 y= 或y=- . 答案： y= 或 y=- . 19.(3 分 )已知正方形 ABCD 的边长为 2cm，以 CD 为边作等边三角形 CDE，则 ABE 的面积为 cm2. 解析 ： 如图， CDE 是等边三角形， 点 E 到 CD 的距离为 2 = cm， 点 E 到 AB 的距离 =2+ cm或 2- cm， ABE 的面积 = 2 (2+ )=2+
14、cm2，或 ABE 的面积 = 2 (2- )=2- cm2. 故答案为： (2+ )或 (2- ). 20.(3 分 )如图，在在平面直角坐标系 xOy 中，有一个等腰直角三角形 AOB， OAB=90 ，直角边 AO在 x轴上，且 AO=1.将 RtAOB 绕原点 O顺时针旋转 90 得到等腰直角三角形 A1OB1，且 A1O=2AO，再将 RtA 1OB1绕原点 O 顺时针旋转 90 得到等腰三角形 A2OB2，且 A2O=2A1O ，依此规律，得到等腰直角三角形 A2014OB2014，则点 A2014的坐标为 . 解析 ： 将 RtAOB 绕原点 O 顺时针旋转 90 得到等腰直角三
15、角形 A1OB1，且 A1O=2AO， 再将 RtA 1OB1绕原点 O 顺时针旋转 90 得到等腰三角形 A2OB2，且 A2O=2A1O ，依此规律， 每 4 次循环一周， A1(0， -2)， A2(-4， 0)， A3(0， 8)， A4(16， 0)， 20144=5032 ， 点 A2014与 A2同在 x轴负半轴， -4=-22， 8=23， 16=24， 点 A2014(-22014， 0). 答案： (-22014， 0). 三、解答题 (满分 60 分 ) 21.(5 分 )先化简，再求值： ( - ) ，其中 x=-1. 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法
16、法则计算，再利用除法法则计算，约分得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = = = ， 当 x=-1 时，原式 =1. 22.(6 分 )如图，在四边形 ABCD 中， (1)画出四边形 A1B1C1D1，使四边形 A1B1C1D1与四边形 ABCD关于直线 MN成轴对称； (2)画出四边形 A2B2C2D2，使四边形 A2B2C2D2与四边形 ABCD关于点 O中心对称； (3)四边形 A1B1C1D1与四边形 A2B2C2D2是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心 . 解析 ： (1)根据网格结构找出点 A、 B、 C、 D 关于直线 MN 的对称点 A1、
17、 B1、 C1、 D1的位置，然后顺次连接即可； (2)根据网格结构找出点 A、 B、 C、 D 关于点 O 的对称点 A2、 B2、 C2、 D2的位置，然后顺次连接即可； (3)观察图形，根据轴对称的性质解答 . 答案： (1)四边形 A1B1C1D1如图所示； (2)四边形 A2B2C2D2如图所示； (3)如图所示，四边形 A1B1C1D1与四边形 A2B2C2D2关于直线 PQ成轴对称 . 23.(6 分 )如图，已知抛物线的顶点为 A(1， 4)，抛物线与 y 轴交于点 B(0， 3)，与 x 轴交于C、 D 两点，点 P 是 x 轴上的一个动点 . (1)求此抛物线的解析式； (
18、2)当 PA+PB 的值最小时，求点 P 的坐标 . 解析 ： (1)设抛物线顶点式解析式 y=a(x-1)2+4，然后把点 B 的坐标代入求出 a 的值，即可得解； (2)先求出点 B 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，连接 AB 与 x轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点 P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线 AB 的解析式，再求出与 x 轴的交点即可 . 答案： (1) 抛物线的顶点为 A(1， 4)， 设抛物线的解析式 y=a(x-1)2+4， 把点 B(0， 3)代入得， a+4=3，解得 a=-1， 抛物线的解析式为 y=-(x-1)2+4； (2)点 B
19、 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为 (0， -3)， 由轴对称确定最短路线问题，连接 AB 与 x 轴的交点即为点 P， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k0 )， 则 ，解得 ， 直线 AB 的解析式为 y=7x-3， 令 y=0，则 7x-3=0，解得 x= ， 所以 当 PA+PB 的值最小时的点 P 的坐标为 ( ， 0). 24.(7 分 )在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小龙在全校随机抽取一部分同学就“ 我最喜爱的体育项目 ” 进行了一次抽样调查，下面是他通过收集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题： (1)小龙共抽取 名学生； (
20、2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中， “ 立定跳远 ” 部分对应的圆心角的度数是 度； (4)若全校共 2130 名学生，请你估算 “ 其他 ” 部分的学生人数 . 解析 ： (1)根据跳绳的人数是 15，占 30%，即可求得总人数； (2)根据百分比的意义求得踢毽子的人数，则其他项目的人数可求得，从而补全直方图； (3)利用 360 乘以对应的比例即可求得； (4)利用总人数 2130 乘以对应的比例即可求解 . 答案： (1)抽取的总人数是： 1530%=50 (人 )； (2)踢毽子的人数是： 5018%=9 (人 )，则其他项目的人数是： 50-15-16-9=10(人 )，
21、(3)“ 立定跳远 ” 部分对应的圆心角的度数是： 360 =115.2 ； (4)“ 其他 ” 部分的学生人数是： 2130 =426(人 ). 25.(8 分 )已知， A、 B 两市相距 260 千米，甲车从 A 市前往 B市运送物资，行驶 2小时在 M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从 A 市赶来维修 (通知时间忽略不计 )，乙车到达M地后又经过 20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速 1.5倍的速度前往 B市，如图是两车距 A 市的路程 y(千米 )与甲车行驶时间 x(小时 )之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲车提速后的速度是 千米 /时，乙车的速度是
22、千米 /时，点 C 的坐标为 ； (2)求乙车返回时 y 与 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围； (3)求甲车到达 B 市时乙车已返回 A 市多长时间？ 解析 ： (1)由甲车行驶 2小时在 M地且 M地距 A市 80 千米，由此求得甲车原来的速度 802=40千米 /小时，进一步求得甲车提速后的速度是 401.5=60 千米 /时；乙车从出发到返回共用4-2=2 小时，行车时间为 2- = 小时，速度为 802 =96 千米 /时；点 C 的横坐标为 2+ = ，纵坐标为 80； (2)设乙车返回时 y 与 x 的函数关系式 y=kx+b，代入点 C 和 (4， 0)求得答案即可
23、； (3)求出甲车提速后到达 B 市所用的时间减去乙车返回 A 市所用的时间即可 . 答案： (1)甲车提速后的速度： 8021.5=60 千米 /时， 乙车的速度： 802 (2- )=96 千米 /时； 点 C 的横坐标为 2+ + = ，纵坐标为 80，坐标为 ( ， 80)； (2)设乙车返回时 y 与 x 的函数关系式 y=kx+b， 代入 ( ， 80)和 (4， 0)得 ，解得 ， 所以 y 与 x 的函数关系式 y=-96x+384( x4 )； (3)(260-80)60 -8096 =3- = (小时 ). 答：甲车到达 B 市时乙车已返回 A 市 小时 . 26.(8 分
24、 )在等腰直角三角形 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MNBC ，过点B 为一锐角顶点作 RtBDE ， BDE=90 ，且点 D 在直线 MN 上 (不与点 A 重合 )，如图 1， DE与 AC 交于点 P，易证： BD=DP.(无需写证明过程 ) (1)在图 2 中， DE与 CA 延长线交于点 P， BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； (2)在图 3 中， DE与 AC 延长线交于点 P， BD与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明 . 解析 ： (1)如答图 2，作辅助线，构造全等三角形 BDFPDA
25、，可以证明 BD=DP； (2)如答图 3，作辅助线，构造全等三角形 BDFPDA ，可以证明 BD=DP. 答案： 题干引论： 证明：如答图 1，过点 D 作 DFMN ，交 AB 于点 F，则 ADF 为等腰直角三角形， DA=DF . 1+FDP=90 ， FDP+2=90 ， 1=2 . 在 BDF 与 PDA 中， BDFPDA (ASA)BD=DP . (1)答： BD=DP 成立 .证明：如答图 2，过点 D 作 DFMN ，交 AB 的延长线于点 F， 则 ADF 为 等腰直角三角形， DA=DF . 1+ADB=90 ， ADB+2=90 ， 1=2 . 在 BDF 与 PD
26、A 中， BDFPDA (ASA)BD=DP . (2)答： BD=DP.证明：如答图 3，过点 D 作 DFMN ，交 AB 的延长线于点 F， 则 ADF 为等腰直角三角形， DA=DF . 在 BDF 与 PDA 中， BDFPDA (ASA)， BD=DP . 27.(10 分 )某工厂计划生产 A、 B 两种产品共 60 件，需购买甲、乙两种材料，生产一件 A 产品需甲种材料 4 千克，乙种材料 1 千克；生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 3 千克，经测算，购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 60 元；购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3千克共需资金 155 元 . (1)甲
27、、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 9900 元，且生产 B 产品不少于 38 件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ (3)在 (2)的条件下，若生产一件 A 产品需加工费 40 元，若生产一件 B 产品需加工费 50 元，应选择哪种 生产方案，使生产这 60 件产品的成本最低？ (成本 =材料费 +加工费 ) 解析 ： (1)设甲材料每千克 x 元，乙材料每千克 y 元，根据购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 60 元；购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 155元，可列出方程组，解方程组即可得到甲材料每千克 25 元，乙材料
28、每千克 35 元； (2)设生产 A 产品 m 件，生产 B 产品 (60-m)件，先表示出生产这 60件产品的材料费为254m+351m+253 (60-m)+353 (60-m)=-45m+10800，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过 9900 元得到 -45m+108009900 ，根据生产 B 产品不少于 38 件得到 60-m38 ，然后解两个不等式求出其公共部分得到 20m22 ，而 m 为整数，则 m 的值为 20， 21， 22，易得符合条件的生产方案； (3)设总生产成本为 W 元，加工费为： 40m+50(60-m)，根据成本 =材料费 +加工费得到W=-45m+1080
29、0+40m+50(60-m)=-55m+13800，根据一次函数的性质得到 W 随 m 的增大而减小，然后把 m=22 代入，即可得到最低成本的生产方案 . 答案： (1)设甲材料每千克 x 元，乙材料每千克 y 元，则 ，解得 ， 所以甲材料每千克 25 元，乙材料每千克 35 元； (2)设生产 A 产品 m 件，生产 B 产品 (60-m)件，则生产这 60件产品的材料费为 254m+351m+253 (60-m)+353 (60-m)=-45m+10800， 由题意： -45m+108009900 ，解得 m20 ， 又 60 -m38 ，解得 m22 ， 20m22 ， m 的值为
30、20， 21， 22， 共有三种方案： 生产 A 产品 20 件，生产 B 产品 40件； 生产 A 产品 21 件，生产 B 产品 39件； 生产 A 产品 22 件，生产 B 产品 38件； (3)设生产 A 产品 m 件，总生产成本为 W 元，加工费为： 40m+50(60-m)， 则 W=-45m+10800+40m+50(60-m)=-55m+13800， -55 0， W 随 m 的增大而减小，而 m=20， 21， 22， 当 m=22 时，总成本最低 . 答：选择生产 A 产品 22 件，生产 B 产品 38件，总成本最低 . 28.(10 分 )如图，在平面直角坐标系中，已知
31、 RtAOB 的两直角边 OA、 OB 分别在 x 轴、 y轴的正半轴上 (OA OB)，且 OA、 OB 的长分别是一元二次方程 x2-14x+48=0 的两个根 .线段 AB的垂直平分线 CD 交 AB 于点 C，交 x 轴于点 D，点 P是直线 CD上一个动点，点 Q是直线 AB上一个动点 . (1)求 A、 B 两点的坐标； (2)求直线 CD 的解析式； (3)在坐标平面内是否存在点 M，使以点 C、 P、 Q、 M 为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为 AB 长？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)利用因式分解法解方程 x2-14x+4
32、8=0，求出 x 的值，即可得到 A、 B 两点的坐标； (2)先在 RtAOB 中利用勾股定理求出 AB= =10，根据线段垂直平分线的性质得到 AC= AB=5.再由两角对应相等的两三角形相似证明 ACDAOB ，由相似三角形对应边成比例得出 = ，求出 AD= ，得到 D 点坐标 (- ， 0)，根据中点坐标公式得出 C(3，4)，然后利用待定系数法即可求出直线 CD 的解析式； (3)分两种情况进行讨论： 当点 Q 与点 B 重合时，先求出 BM 的解析式为 y= x+8，设 M(x，x+8)，再根据 BM=5 列出方程 ( x+8-8)2+x2=52，解方程即可求出 M 的坐标； 当
33、点 Q与点A 重合时，先求出 AM 的解析式为 y= x- ，设 M(x， x- )，再根据 AM=5 列出方程 ( x-)2+(x-6)2=52，解方程即可求出 M 的坐标 . 答案： (1)解方程 x2-14x+48=0，得 x1=6， x2=8， OA OB， A (6， 0)， B(0， 8)； (2)在 RtAOB 中， AOB=90 ， OA=6， OB=8， AB= =10， 线段 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 C， AC= AB=5. 在 ACD 与 AOB 中， ， ACDAOB ， = ，即 = ，解得 AD= ， A (6， 0)，点 D 在 x 轴上， D
34、(- ， 0). 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，由题意知 C 为 AB 中点， C (3， 4)， D (- ， 0)， ，解得 ， 直线 CD 的解析式为 y= x+ ； (3)在坐标平面内存在点 M，使以点 C、 P、 Q、 M 为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为 AB 长 . AC=BC= AB=5， 以点 C、 P、 Q、 M 为顶点的正方形的边长为 5，且点 Q 与点 B 或点 A 重合 .分两种情况： 当点 Q 与点 B 重合时，易求 BM 的解析式为 y= x+8，设 M(x， x+8)， B (0， 8)， BM=5， ( x+8-8)2+x2=52，化简整理，得 x2=16，解得 x=4 ， M 1(4， 11)， M2(-4， 5)； 当点 Q 与点 A 重合时，易求 AM 的解析式为 y= x- ，设 M(x， x- )， A (6， 0)， AM=5， ( x- )2+(x-6)2=52，化简整理，得 x2-12x+20=0，解得 x1=2， x2=10， M 3(2， -3)， M4(10， 3)； 综上所述，所求点 M 的坐标为 M1(4， 11)， M2(-4， 5)， M3(2， -3)， M4(10， 3).
