1、在职硕士学位入学资格考试 GCT 数学真题 2010 年 A 卷及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、（25 题，每题 4 分，共 100 分）(总题数：25，分数：100.00)1.=( ) （分数：4.00）A.B.C.D.2.如果图 1 中给出了平面直角坐标系中直线 l:y=ax+b 的图像，那么坐标为(a，b)的点在( ) （分数：4.00）A.(A) 第象限B.(B) 第象限C.(C) 第象限D.(D) 第象限3.若某单位员工的平均年龄为 45 岁，男员工的平均年龄为 55 岁、女员工的平均年龄为 40 岁，则该单位男、女员工人数之比为( )（分数：4.00）A.
2、(A) 2:3B.(B) 3:2C.(C) 1:2D.(D) 2:14.如果图 2 中四边形 ABCD 顶点的坐标依次为 A(-2，2)，B(-1，5)，C(4，3)，D(2，1)，那么四边形 ABCD的面积等于( ) （分数：4.00）A.(A) 16.5B.(B) 15C.(C) 13.5D.(D) 125.在实验室密闭容器中培育某种细菌，如果该细菌因每天的密度增长 1 倍，它在 20 天内密度增长到 4 百万株/m 3，那么该细菌密度增长到百万株/m 3时用了( )天 （分数：4.00）A.(A) 2B.(B) 4C.(C) 8D.(D) 166.若图 3 中给出的函数 y=x2+ax+
3、a 的图像与 x 轴相切，则 a=( ) （分数：4.00）A.(A) 0B.(B) 1C.(C) 2D.(D) 47.如果 sin(+)=0.8，cos(-)=0.3，那么(sin-cos)(sin-cos)=( )（分数：4.00）A.(A) 0.6B.(B) 0.5C.(C) -0.5D.(D) -0.68.函数 f(x)是奇函数，g(x)是以 4 为周期的周期函数，且 f(-2)=g(-2)=6，若 （分数：4.00）A.(A) 2B.(B) 1C.(C) 0D.(D) -19.若复数 （分数：4.00）A.(A) B.(B) C.(C) 1D.(D) 210.如图 4 所示正三角形
4、ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F，G 分别是 DE，BC 的中点已知 BD=8 厘米，CE=6 厘米，则 FG=( )厘米 （分数：4.00）A.B.C.D.11.如图 5 所示，边长分别为 1 和 2 的两个正方形，放在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形设从小正方形开始穿人大正方形到恰好离开大正方形所用的时间为 t0，大正方形内除去小正方形占有部分之后剩下的面积为 S(空白部分)，则表示 S 与时间 t 函数关系的大致图像为( )（分数：4.00）A.B.C.D.12.若某公司有 10 个股东，他们中任意 6 个股东所持股份的和都不少于总股份的 50%
5、，则持股最多的股东所持股份占总股份的最大百分比是( )（分数：4.00）A.(A) 25%B.(B) 30%C.(C) 35%D.(D) 40%13.一个封闭透明的正四面体容器内装有水，正四面体的一个面放置在水平桌面时，体内水面高度为四面体高 h 的 ，现将它倒置使原底面平行于水平桌面，此时水面的高度与 h 的比值为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.14.若从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数中任意取 3 个不同的数，则它们能构成公比大于 1 的等比数列的概率是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.15.若由双曲线 的右焦点 F2(c，0)向曲线 所引切线的
6、方程是 ，则双曲线的离心率（分数：4.00）A.(A) B.(B) 1C.(C) D.(D) 216.=( ) （分数：4.00）A.(A) 0B.(B) 2C.(C) 4D.(D) 17.设 f(x)=x2，h(x)=f(1+g(x)，其中 g(x)可导，且 g(1)=h(1)=2，则 g(1)=( )（分数：4.00）A.(A) -2B.(B) C.(C) 0D.(D) 218.设函数 g(x)导数连续，其图像在原点与曲线 y=ln(1+2x)相切，若函数 f(x)= （分数：4.00）A.(A) -2B.(B) 0C.(C) 1D.(D) 219.若 a，b，c，d 成等比数列，则函数
7、（分数：4.00）A.(A) 有极大值，而无极小值B.(B) 无极大值，而有极小值C.(C) 有极大值，也有极小值D.(D) 无极大值，也无极小值20.若连续周期函数 y=f(x)(不恒为常数)，对任何 x 恒有 （分数：4.00）A.(A) 7B.(B) 8C.(C) 9D.(D) 1021.设曲线 L：y=x(1-x)，该曲线在 O(0，0)和 A(1，0)的切线相交于 B 点，若该两切线与 L 所围区域的面积为 S1，L 和 x 轴所围区域的面积为 S2，则( )（分数：4.00）A.(A) S1=S2B.(B) S1=2S2C.(C) D.(D) 22.已知 （分数：4.00）A.(A
8、) -5B.(B) -1C.(C) 1D.(D) 523.设向量组 S=a1，a 2，a 3线性无关，下列向量组中，与 S 等价的有( ) a 1-a3，a 2-a3 a 1，a 1+a2，a 1+a2+a3 a 1-a3，a 1+a3，2a 1，3a 3 a 1-a3，a 1+a3，2a 2，3a 3（分数：4.00）A.(A) 1B.(B) 2C.(C) 3D.(D) 424.线性方程组 （分数：4.00）A.(A) t0 时无解B.(B) t0 时有无穷多解C.(C) t=0 时无解D.(D) t=0 时有无穷多解25.下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是( ) （分数：4.00）A.B.
9、C.D.在职硕士学位入学资格考试 GCT 数学真题 2010 年 A 卷答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、（25 题，每题 4 分，共 100 分）(总题数：25，分数：100.00)1.=( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 2.如果图 1 中给出了平面直角坐标系中直线 l:y=ax+b 的图像，那么坐标为(a，b)的点在( ) （分数：4.00）A.(A) 第象限B.(B) 第象限 C.(C) 第象限D.(D) 第象限解析：解析 由图可知 a0，b0，所以坐标为(a，b)的点在第象限，选(B)3.若某单位员工的平均年龄为 45 岁，男员工的平均年龄为
10、 55 岁、女员工的平均年龄为 40 岁，则该单位男、女员工人数之比为( )（分数：4.00）A.(A) 2:3B.(B) 3:2C.(C) 1:2 D.(D) 2:1解析：解析 假设男员工人数是 x，女员工人数是 y，根据题意可知 45(x+y)=55x+40y，所以 y=2x即男、女员工人数之比为 1:2，选(C)。4.如果图 2 中四边形 ABCD 顶点的坐标依次为 A(-2，2)，B(-1，5)，C(4，3)，D(2，1)，那么四边形 ABCD的面积等于( ) （分数：4.00）A.(A) 16.5B.(B) 15C.(C) 13.5 D.(D) 12解析：解析 如图 32，增加 4
11、个点坐标SABCD=SABCD=SAAD -SCDD -SABB -SCCB =13.5选(C)5.在实验室密闭容器中培育某种细菌，如果该细菌因每天的密度增长 1 倍，它在 20 天内密度增长到 4 百万株/m 3，那么该细菌密度增长到百万株/m 3时用了( )天 （分数：4.00）A.(A) 2B.(B) 4C.(C) 8D.(D) 16 解析：解析 假设第一天的细菌密度是 a，由题意可知第 n 天的细菌密度是 a2n-1由 a220-1=4(百万株)，及 a2k-1=6.若图 3 中给出的函数 y=x2+ax+a 的图像与 x 轴相切，则 a=( ) （分数：4.00）A.(A) 0B.(
12、B) 1C.(C) 2D.(D) 4 解析：解析 由于 y=x2+ax+a 的图像与 x 轴相切，所以判别式=a 2-4a=0由图知 a0，所以 a=4，选(D)7.如果 sin(+)=0.8，cos(-)=0.3，那么(sin-cos)(sin-cos)=( )（分数：4.00）A.(A) 0.6B.(B) 0.5C.(C) -0.5 D.(D) -0.6解析：解析 由公式得到：(sin-cos)(sin-cos)=sinsin-sincos-cossin+coscos-cos(-)-sin(+)=0.3-0.8=-0.5，选(C)8.函数 f(x)是奇函数，g(x)是以 4 为周期的周期函
13、数，且 f(-2)=g(-2)=6，若 （分数：4.00）A.(A) 2 B.(B) 1C.(C) 0D.(D) -1解析：解析 f(-2)=g(-2)=6，f(2)=-6，f(0)=0 由9.若复数 （分数：4.00）A.(A) B.(B) C.(C) 1D.(D) 2解析：解析 ，故|z|=|-1-i|=10.如图 4 所示正三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F，G 分别是 DE，BC 的中点已知 BD=8 厘米，CE=6 厘米，则 FG=( )厘米 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 方法一 取三角形的边长为 8，这时 D 与 A 重合，点 F 在边 A
14、C 上由 CF=7，OG=4，C=60，得GF2=42+72-247cos60=37即方法二 取三角形边长为 12，以 G 为原点，BC 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 D(-2， )，E(3，)，所以 ， ，选(B)11.如图 5 所示，边长分别为 1 和 2 的两个正方形，放在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形设从小正方形开始穿人大正方形到恰好离开大正方形所用的时间为 t0，大正方形内除去小正方形占有部分之后剩下的面积为 S(空白部分)，则表示 S 与时间 t 函数关系的大致图像为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据所剩面积变化的对称性及所剩面
15、积的最小值为 3，利用排除法即知选(A)12.若某公司有 10 个股东，他们中任意 6 个股东所持股份的和都不少于总股份的 50%，则持股最多的股东所持股份占总股份的最大百分比是( )（分数：4.00）A.(A) 25% B.(B) 30%C.(C) 35%D.(D) 40%解析：解析 除了最大股东外，其他 9 人中的任意 6 人所持股份要不少于 50%，所以此 9 人所持股份要不少于 75%，因此最大股东所持的股份最多为 25%，选(A)13.一个封闭透明的正四面体容器内装有水，正四面体的一个面放置在水平桌面时，体内水面高度为四面体高 h 的 ，现将它倒置使原底面平行于水平桌面，此时水面的高
16、度与 h 的比值为( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设正四面体的体积是 V，则水的体积是 ，所以要求的水面高度与 h 的比值是14.若从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数中任意取 3 个不同的数，则它们能构成公比大于 1 的等比数列的概率是( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 中任取 3 个不同的数所有取法共有 = ，其中能构成公比大于 1 的等比数列的是 1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9 共 4 组所以要求的概率是，选(B)15.若由双曲线 的右焦点 F2(c，0)向曲
17、线 所引切线的方程是 ，则双曲线的离心率（分数：4.00）A.(A) B.(B) 1C.(C) D.(D) 2 解析：解析 由题可知，切线的斜率为 ，故 ，解得16.=( ) （分数：4.00）A.(A) 0B.(B) 2C.(C) 4 D.(D) 解析：解析 17.设 f(x)=x2，h(x)=f(1+g(x)，其中 g(x)可导，且 g(1)=h(1)=2，则 g(1)=( )（分数：4.00）A.(A) -2B.(B) C.(C) 0D.(D) 2解析：解析 由 f(x)=x2，所以 h(x)=f(1+g(x)=1+g(x)2，求导得 h(x)=21+g(x)g(x)由于 g(1)=h(
18、1)=2，所以，选(B)18.设函数 g(x)导数连续，其图像在原点与曲线 y=ln(1+2x)相切，若函数 f(x)= （分数：4.00）A.(A) -2B.(B) 0C.(C) 1D.(D) 2 解析：解析 可取 g(x)=ln(1+2x)，则19.若 a，b，c，d 成等比数列，则函数 （分数：4.00）A.(A) 有极大值，而无极小值B.(B) 无极大值，而有极小值C.(C) 有极大值，也有极小值D.(D) 无极大值，也无极小值 解析：解析 取 a=b=c=d=1，则 ，y=x 2+2x+1=(x+1)20，即函数单调递增，选(D)20.若连续周期函数 y=f(x)(不恒为常数)，对任
19、何 x 恒有 （分数：4.00）A.(A) 7B.(B) 8C.(C) 9 D.(D) 10解析：解析 由21.设曲线 L：y=x(1-x)，该曲线在 O(0，0)和 A(1，0)的切线相交于 B 点，若该两切线与 L 所围区域的面积为 S1，L 和 x 轴所围区域的面积为 S2，则( )（分数：4.00）A.(A) S1=S2B.(B) S1=2S2C.(C) D.(D) 解析：解析 由题 - ，所以22.已知 （分数：4.00）A.(A) -5 B.(B) -1C.(C) 1D.(D) 5解析：解析 因为 ，所以 A+E 可逆，由 r(AB+B)=2 知 r(B)=2 由于23.设向量组
20、S=a1，a 2，a 3线性无关，下列向量组中，与 S 等价的有( ) a 1-a3，a 2-a3 a 1，a 1+a2，a 1+a2+a3 a 1-a3，a 1+a3，2a 1，3a 3 a 1-a3，a 1+a3，2a 2，3a 3（分数：4.00）A.(A) 1B.(B) 2 C.(C) 3D.(D) 4解析：解析 由于向量组和的秩最大是 2，所以其不可能与 a1，a 2，a 3等价由于a 1，a 1+a2，a 1+a2+a3及a 1-a3，a 1+a3，2a 2，3a 3与向量组 a1，a 2，a 3都能相互线性表示，所以它们与向量组 a1，a 2，a 3等价，选(B)24.线性方程组
21、 （分数：4.00）A.(A) t0 时无解B.(B) t0 时有无穷多解C.(C) t=0 时无解D.(D) t=0 时有无穷多解 解析：解析 由 所以当 t=0 时，25.下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 选项(A)中的矩阵有三个不同特征值，可以对角化对于选项(B)，|-B|= 对于=1，E-B= ，即 r(E-B)=2，所以二重特征值 =1 只对应一个线性无关的特征向量，故选项B 中的矩阵不能对角化选项(C)中的矩阵是对称阵，也可以对角化对于选项(D)， ，即 r(E-D)=1，所以二重特征值 =1 可对应 2 个线性无关的特征向量，故选项(D)中的矩阵能对角化所以选(B)
