1、2013 年浙江省义乌市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分 ) 1.(3 分 )在 2， -2， 8， 6 这四个数中，互为相反数的是 ( ) A. -2 与 2 B. 2 与 8 C. -2 与 6 D. 6 与 8 解析 ： 2， -2 是互为相反数， 答案： A. 2.(3 分 )如图几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为： 2， 1， 1， 答案： C. 3.(3 分 )如图，直线 ab ，直线 c 与 a、 b 相交， 1=55 ，则 2= ( ) A. 55 B. 35 C. 125
2、 D. 65 解析 ： ab ， 1=3 ， 1=55 ， 3=55 ，又 2=3 ， 2=55 ， 答案： A. 4.(3 分 )2012 年，义乌市城市居民人均可支配收入约为 44500 元，居全省县级市之首，数字44500 用科学记数法可表示为 ( ) A. 4.4510 3 B. 4.4510 4 C. 4.4510 5 D. 4.4510 6 解析 ： 44500=4.4510 4， 答案： B. 5.(3 分 )两圆的半径分别为 3 和 5，圆心距为 7，则两圆的位置关系是 ( ) A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 解析 ： 根据题意，得 R+r=5+3=8， R-r
3、=5-3=2，圆心距 =7， 2 7 8， 两圆相交 . 答案： B. 6.(3 分 )已知两点 P1(x1， y1)、 P2(x2、 y2)在反比例函数 y= 的图象上，当 x1 x2 0时，下列结论正确的是 ( ) A. 0 y1 y2 B. 0 y2 y1 C. y1 y2 0 D. y2 y1 0 解析 ： 3 0， y= 在第一、三象限，且随 x 的增大 y 值减小， x 1 x2 0， 0 y1 y2. 答案： A. 7.(3 分 )下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解析 ： 第一个是中心对称图形，也是轴
4、对称图形； 第二个不是中心对称图形，是轴对称图形； 第三个不是中心对称图形，是轴对称图形； 第四个既是中心对称图形又是轴对称图形 . 综上可得，共有 2 个符合题意 . 答案： C. 8.(3 分 )已知圆锥的底面半径为 6cm，高为 8cm，则这个圆锥的母线长为 ( ) A. 12cm B. 10cm C. 8cm D. 6cm 解析 ： 圆锥的母线长 = =10(cm). 答案： B. 9.(3 分 )为支援雅安灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前 5 位，后三位由5， 1， 2，这三个数字组成，但具体顺序忘记了，他第一次就拨通电话的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析
5、 ： 她只记得号码的前 5 位，后三位由 5， 1， 2，这三个数字组成， 可能的结果有： 512， 521， 152， 125， 251， 215； 他第一次就拨通电话的概率是： . 答案： C. 10.(3 分 )如图，抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴交于点 A(-1， 0)，顶点坐标为 (1， n)，与 y 轴的交点在 (0， 2)、 (0， 3)之间 (包含端点 )，则下列结论： 当 x 3 时， y 0； 3a+b 0； -1a - ； 3n4 中， 正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A(-1， 0)，对称轴直线
6、是 x=1， 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是 (3， 0)， 根据图示知，当 x 3 时， y 0.故 正确； 根据图示知，抛物线开口方向向下，则 a 0. 对称轴 x=- =1， b= -2a， 3a+b=3a -2a=a 0，即 3a+b 0.故 错误； 抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是 (-1， 0)， (3， 0)， -13= -3， =-3，则 a=- . 抛物线与 y 轴的交点在 (0， 2)、 (0， 3)之间 (包含端点 )， 2c3 ， -1 - - ，即 -1a - .故 正确； 根据题意知， a=- ， - =1， b= -2a= ， n=a+b+c= c.
7、2c3 ， c4 ，即 n4. 故 错误 . 综上所述，正确的说法有 . 答案： D. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分 ) 11.(4 分 )把角度化为度、分的形式，则 20.5=20 . 解析 ： 20.5=2030. 答案： 30. 12.(4 分 )计算： 3a a2+a3= . 解析 ： 原式 =3a3+a3=4a3， 答案： 4a3. 13.(4 分 )若数据 2， 3， -1， 7， x 的平均数为 2，则 x= . 解析 ： 由题意得， (2+3-1+7+x)=2，解得： x=-1. 答案： -1. 14.(4 分 )如图，已知 B=C ，添加一个条件使
8、 ABDACE (不标注新的字母，不添加新的线段 )，你添加的条件是 . 解析 ： 添加条件： AB=AC， 在 ABD 和 ACE 中， ， ABDACE(ASA) ， 答案： AB=AC. 15.(4 分 )如图， ADBC 于点 D， D 为 BC 的中点，连接 AB， ABC 的平分线交 AD 于点 O，连结 OC，若 AOC=125 ，则 ABC= . 解析 ： ADBC ， AOC=125 ， C=AOC -ADC=125 -90=35 ， D 为 BC 的中点， ADBC ， OB=OC ， OBC=C=35 ， OB 平分 ABC ， ABC=2OBC=235=70. 答案：
9、70. 16.(4 分 )如图，直线 l1x 轴于点 A(2， 0)，点 B 是直线 l1上的动点 .直线 l2： y=x+1 交 l1于点 C，过点 B 作直线 l3垂直于 l2，垂足为 D，过点 O， B 的直线 l4交 l2于点 E，当直线 l1，l2， l3能围成三角形时，设该三角形面积为 S1，当直线 l2， l3， l4能围成三角形时，设该三角形面积为 S2. (1)若点 B 在线段 AC 上，且 S1=S2，则 B 点坐标为 ； (2)若点 B 在直线 l1上，且 S2= S1，则 BOA 的度数为 . 解析 ： (1)设 B 的坐标是 (2， m)， 直线 l2： y=x+1
10、交 l1于点 C， ACE=45 ， BCD 是等腰直角三角形 .BC=|3-m|， 则 BD=CD= BC= |3-m|， S1= ( |3-m|)2= (3-m)2. 设直线 l4的解析式是 y=kx，过点 B，则 2k=m，解得： k= ，则直线 l4的解析式是 y= x. 根据题意得： ，解得： ，则 E 的坐标是 ( ， ). SBCE = BC| |= |3-m| |= . S 2=SBCE -S1= - (3-m)2.当 S1=S2时， - (3-m)2= (3-m)2. 解得： m1=4 或 m2=0，易得点 C 坐标为 (2， 3)，即 AC=3， 点 B 在线段 AC 上，
11、 m 1=4 不合题意舍去，则 B的坐标是 (2， 0)； (2)分三种情况： 当点 B 在线段 AC 上时 ， 当 S2= S1时， - (3-m)2= (3-m)2. 解得： m=4-2 或 2 (不在线段 AC 上，舍去 )，或 m=3(l2 和 l4 重合，舍去 ).则 AB=4-2 . 在 OA 上取点 F，使 OF=BF，连接 BF，设 OF=BF=x. 则 AF=2-x，根据勾股定理， ， 解得： ， sinBFA= ， BFA=30 ， BOA=15 ； 当点 B 在 AC 延长线上时，此时， 当 S2= S1时，得： ， 解得符合题意有： AB=4+2 . 在 AB 上取点
12、G，使 BG=OG，连接 OG，设 BG=OG=x， 则 AG=4+2 -x.根据勾股定理，得 ，解得： x=4， sinOGA= ， OGA=30 ， OBA=15 ， BOA=75 ； 当点 B 在 CA 延长线上时 ， 此时 ， 当 S2= S1时，得：， 解得： m=3(l2和 l4重合，舍去 )， 此时满足条件的点 B 不存在， 综上所述， BOA 的度数为 15 或 75. 三、解答题 (共 8 小题，第 17-19 题每题 6 分，第 20、 21 题每题 8 分，第 22、 23 题每题 10分、第 24题 12 分，满分 66 分 ) 17.(6 分 )计算： ( -3.14
13、)0+( )-1+|-2 |- . 解析 ： 根据零指数幂与负整数指数幂得到原式 =1+2+2 -2 ，然后合并即可 . 答案： 原式 =1+2+2 -2 =3. 18.(6 分 )解方程 (1)x2-2x-1=0 (2) = . 解析 ： (1)方程常数项移到右边，两边加上 1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； (2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案： (1)移项得： x2-2x=1，配方得： x2-2x+1=2，即 (x-1)2=2， 开方得： x-1= ，则 x1=1+ ， x2=1- ；
14、(2)去分母得： 4x-2=3x，解得： x=2，经检验 x=2 是分式方程的解 . 19.(6 分 )如图 1 所示，从边长为 a 的正方形纸片中减去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段 AB 剪开，把剪成的两张纸拼成如图 2 的等腰梯形， (1)设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2，请直接用含 a、 b 的代数式表示S1和 S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式 . 解析 ： (1)先用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求出 S1，再根据梯形的面积公式即可求出 S2. (2)根据 (1)得出的值，直接可写出乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2.
15、 答案： (1) 大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b， S 1=a2-b2， S2= (2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b)； (2)根据题意得： (a+b)(a-b)=a2-b2； 20.(8 分 )在义乌市中小学生 “ 我的中国梦 ” 读书活动中，某校对部分学生做了一次主题为：“ 我最喜爱的图书 ” 的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类 .学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图 . 请你结合图中信息，解答下列问题： (1)本次共调查了 名学生； (2)被调查的学生中，最喜爱丁类图书的学生有 人，最喜爱甲类图书
16、的人数占本次被调查人数的 %； (3)在最喜爱丙类图书的学生中，女生人数是男生人数的 1.5 倍，若这所学校共有学生 1500人，请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少人？ 解析 ： (1)根据百分比 =频数 总数可得共调查的学生数； (2)最喜爱丁类图书的学生数 =总数减去喜欢甲、乙、丙三类图书的人数即可；再根据百分比=频数 总数计算可得最喜爱甲类图书的人数所占百分比； (3)设男生人数为 x 人，则女生人数为 1.5x 人，由题意得方程 x+1.5x=150020% ，解出 x的值可得答案 . 答案： (1)共调查的学生数： 4020%=200( 人 )； (2)最喜爱丁类图书的
17、学生数： 200-80-65-40=15(人 )； 最喜爱甲类图书的人数所占百分比： 80200100%=40% ； (3)设男生人数为 x 人，则女生人数为 1.5x 人，由题意得： x+1.5x=150020% ， 解得： x=120，当 x=120 时， 1.5x=180. 答：该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有 180 人， 120 人 . 21.(8 分 )已知直线 PD 垂直平分 O 的半径 OA 于点 B， PD 交 O 于点 C、 D， PE 是 O 的切线，E 为切点，连结 AE，交 CD 于点 F. (1)若 O 的半径为 8，求 CD 的长； (2)证明： PE=PF；
18、 (3)若 PF=13， sinA= ，求 EF 的长 . 解析 ： (1)首先连接 OD，由直线 PD 垂直平分 O 的半径 OA 于点 B， O 的半径为 8，可求得OB 的长，又由勾股定理，可求得 BD 的长，然后由垂径定理，求得 CD 的长； (2)由 PE 是 O 的切线，易证得 PEF=90 -AEO ， PFE=AFB=90 -A ，继而可证得PEF=PFE ，根据等角对等边的性质，可得 PE=PF； (3)首先过点 P 作 PGEF 于点 G，易得 FPG=A ，即可得 FG=PFsinA =13 =5，又由等腰三角形的性质，求得答案 . 答案： (1)连接 OD， 直线 PD
19、 垂直平分 O 的半径 OA 于点 B， O 的半径为 8， OB= OA=4， BC=BD= CD， 在 RtOBD 中， BD= =4 ， CD=2BD=8 ； (2)PE 是 O 的切线， PEO=90 ， PEF=90 -AEO ， PFE=AFB=90 -A ， OE=OA ， A=AEO ， PEF=PFE ， PE=PF ； (3)过点 P 作 PGEF 于点 G， PGF=ABF=90 ， PFG=AFB ， FPG=A ， FG=PFsinA=13 =5， PE=PF ， EF=2FG=10. 22.(10 分 )为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购 A， B 两种产品共
20、20 件，产品的采购单价 (元 /件 )是采购数量 (件 )的一次函数，下表提供了部分采购数据 . (1)设 A 产品的采购数量为 x(件 )，采购单价为 y1(元 /件 )，求 y1与 x 的关系式； (2)经商家与厂家协商，采购 A 产品的数量不少于 B 产品数量的 ，且 A 产品采购单价不低于 1200 元，求该商家共有几种进货方案； (3)该商家分别以 1760 元 /件和 1700 元 /件的销售单价售出 A， B 两种产品，且全部售完，在(2)的条件下，求采购 A 种产品多少件时总利润最大，并求最大利润 . 解析 ： (1)设 y1与 x 的关系式 y1=kx+b，由表列出 k和
21、b 的二元一次方程，求出 k和 b 的值，函数关系式即可求出； (2)首先根据题意求出 x 的取值范围，结合 x 为整数，即可判断出商家的几种进货方案； (3)令总利润为 W，根据利润 =售价 -成本列出 W 与 x 的函数关系式 W=30x2-540x+12000，把一般式写成顶点坐标式，求出二次函数的最值即可 . 答案： (1)设 y1与 x 的关系式 y1=kx+b， 由表知 ，解得 k=-20， b=1500，即 y1=-20x+1500(0 x20 ， x 为整数 )， (2)根据题意可得 ，解得 11x15 ， x 为整数， x 可取的值为： 11， 12， 13， 14， 15，
22、 该商家共有 5 种进货方案； (3)解法一： y2=-10(20-x)+1300=10x+1100， 令总利润为 W， 则 W=(1760-y1)x+(20-x)1700 -(10x+1100)=30x2-540x+12000=30(x-9)2+9570， a=30 0， 当 x9 时， W 随 x 的增大而增大， 11x15 ， 当 x=15 时， W 最大 =10650； 解法二：根据题意可得 B 产品的采购单价可表示为： y2=-10(20-x)+1300=10x+1100， 则 A、 B 两种产品的每件利润可分别表示为： 1760-y1=20x+260， 1700-y2=-10x+6
23、00， 则当 20x+260 -10x+600 时， A 产品的利润高于 B 产品的利润， 即 x =11 时， A 产品越多，总利润越高， 11x15 ， 当 x=15 时，总利润最高， 此时的总利润为 (2015+260)15+( -1015+600)5=10650. 答：采购 A 种产品 15 件时总利润最大，最大利润为 10650 元 . 23.(10 分 )小明合作学习小组在探究旋转、平移变换 .如图 ABC ， DEF 均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为 A(1， 1)， B(2， 2)， C(2， 1)， D( ， 0)， E(2 ， 0)， F( ， - ). (1)他们将
24、ABC 绕 C 点按顺时针方向旋转 45 得到 A 1B1C1.请你写出点 A1， B1的坐标，并判断 A1C 和 DF 的位置关系； (2)他们将 ABC 绕原点按顺时针方向旋转 45 ，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线 y=2 x2+bx+c 上，请你求出符合条件的抛物线解析式； (3)他们继续探究，发现将 ABC 绕某个点旋转 45 ，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线 y=x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点 P 的坐标，请你直接写出点 P 的所有坐标 . 解析 ： (1)由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解； (2)首先明确 ABC 绕原点按顺时针方向旋转 45
25、后的三角形即为 DEF ，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解； (3)旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点 A 和点 B、点 B 和点 C、点C 和点 D 三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解 . 答案： (1)A1(2- ， 1+ )， B1(2+ ， 1+ ).A1C 和 DF 的位置关系是平行 . (2)ABC 绕原点按顺时针方向旋转 45 后的三角形即为 DEF ， 当抛物线经过点 D、 E 时， 根据题意可得： ，解得 ， y= x2-12x+ . 当抛物线经过点 D、 F 时， 根据题意可得： ，解得 ， y= x2-11x+ ； 当抛物线经
26、过点 E、 F 时， 根据题意可得： ，解得 y= x2-13x+ . (3)在旋转过程中，可能有以下情形： 顺时针旋转 45 ，点 A、 B 落在抛物线上，如答图 1 所示： 易求得点 P 坐标为 (0， )； 顺时针旋转 45 ，点 B、 C 落在抛物线上，如答图 2 所示： 设点 B ， C 的横坐标分别为 x1， x2. 易知此时 BC 与一、三象限角平分线平行， 设直线 BC 的解析式为 y=x+b， 联立 y=x2与 y=x+b 得： x2=x+b，即 x2-x-b=0， x 1+x2=1， x1x2=-b. BC=1 ， 根据题意易得： |x1-x2|= ， (x 1-x2)2=
27、 ，即 (x1+x2)2-4x1x2= 1+4b= ，解得 b= .x 2-x+ =0，解得 x= 或 x= . 点 C 的横坐标较小， x= . 当 x= 时， y=x2= ， P( ， )； 顺时针旋转 45 ，点 C、 A 落在抛物线上，如答图 3 所示： 设点 C ， A 的横坐标分别为 x1， x2. 易知此时 CA 与二、四象限角平分线平行， 设直线 CA 的解析式为 y=-x+b， 联立 y=x2与 y=-x+b 得： x2=-x+b，即 x2+x-b=0， x 1+x2=-1， x1x2=-b. CA=1 ， 根据题意易得： |x1-x2|= ， (x 1-x2)2= ，即 (
28、x1+x2)2-4x1x2= ， 1+4b= ，解得 b= . x 2+x+ =0，解得 x= 或 x= . 点 C 的横坐标较大， x= . 当 x= 时， y=x2= ， P( ， )； 逆时针旋转 45 ，点 A、 B 落在抛物线上 . 因为逆时针旋转 45 后，直线 AB 与 y 轴平行，因此，与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在； 逆时针旋转 45 ，点 B、 C 落在抛物线上，如答图 4 所示： 与 同理，可求得： P( ， )； 逆时针旋转 45 ，点 C、 A 落在抛物线上，如答图 5 所示： 与 同理，可求得： P( ， ). 综上所述，点 P 的坐标为： (0， )
29、， ( ， )， ( ， )，( ， ). 24.(12 分 )如图 1 所示，已知 y= (x 0)图象上一点 P， PAx 轴于点 A(a， 0)，点 B 坐标为 (0， b)(b 0)，动点 M 是 y 轴正半轴上 B 点上方的点，动点 N 在射线 AP 上，过点 B 作 AB的垂线，交射线 AP 于点 D，交直线 MN 于点 Q 连接 AQ，取 AQ的中点为 C. (1)如图 2，连接 BP，求 PAB 的面积； (2)当点 Q 在线段 BD 上时，若四边形 BQNC 是菱形，面积为 2 ，求此时 P 点的坐标； (3)当点 Q 在射线 BD 上时，且 a=3， b=1，若以点 B，
30、C， N， Q 为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长 . 解析 ： (1)根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出 PAB 的面积； (2)首先求出 BQC=60 ， BAQ=30 ，然后证明 ABQANQ ，进而求出 BAO=30 ，由S 四边形 BQNC=2 ，求出 OA=3，于是 P 点坐标求出； (3)分两类进行讨论，当点 Q 在线段 BD 上，根据题干条件求出 AQ 的长，进而求出四边形的周长，当点 Q 在线段 BD 的延长线上，依然根据题干条件求出 AQ 的长，再进一步求出四边形的周长 . 答案： (1)如图 2，连接 OP.SPAB =SPAO = xy= 6=3
31、 ； (2)如图 1， 四边形 BQNC 是菱形， BQ=BC=NQ ， BQC=NQC ， ABBQ ， C 是 AQ 的中点， BC=CQ= AQ， BQC=60 ， BAQ=30 ， 在 ABQ 和 ANQ 中， ， ABQANQ(SAS) ， BAQ=NAQ=30 ， BAO=30 ， S 菱形 BQNC=2 = CQBN ， 令 CQ=2t=BQ，则 BN=2(2t )=2 t， t=1BQ=2 ， 在 RtAQB 中， BAQ=30 ， AB= BQ=2 ， BAO=30 OA= AB=3， 又 P 点在反比例函数 y= 的图象上， P 点坐标为 (3， 2)； (3)OB=1 ，
32、 OA=3， AB= ， 易得 AOBDBA ， ， BD=3 ， 如图 3，当点 Q 在线段 BD 上， ABBD ， C 为 AQ 的中点， BC= AQ， 四边形 BQNC 是平行四边形， QN=BC ， CN=BQ， CNBD ， = = ， BQ=CN= BD= ， AQ= =2 ， C 四边形 BQNC=2 +2 ； 如图 4，当点 Q 在射线 BD 的延长线上， ABBD ， C 为 AQ 的中点， BC=CQ= AQ， 平行四边形 BNQC 是菱形， BN=CQ， BNCQ ， BNDQAD = = ， BQ=3BD=9 ， AQ= = =2 ， C 四边形 BNQC=2AQ=4 .
