1、2013 年浙江省衢州市中考真题数学 一、选择题 (本大题共有 10 小题，每小题 3分，共 30 分 ) 1.(3 分 )比 1 小 2 的数是 ( ) A. 3 B. 1 C. -1 D. -2 解析 ： 1-2=-1. 答案： C. 2.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. 3a+2b=5ab B. aa 4=a4 C. a6a 2=a3 D. (-a3b)2=a6b2 解析 ： A、 3a+2b=5ab 无法合并，故本选项错误； B、 aa 4=a5，故本选项错误； C、 a6a 2=a4，故本选项错误； D、 (-a3b)2=a6b2，故本选项正确 . 答案： D. 3.(3分
2、 )衢州新闻网 2月 16日讯， 2013年春节 “ 黄金周 ” 全市接待游客总数为 833100人次 .将数 833100 用科学记数法表示应为 ( ) A. 0.83310 6 B. 83.3110 5 C. 8.33110 5 D. 8.33110 4 解析 ： 833100=8.33110 5， 答案： C. 4.(3 分 )下面简单几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从左面看可得到左右两列正方形个数分别为： 2， 1. 答案： A. 5.(3 分 )若函数 y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 ( )
3、A. m -2 B. m 0 C. m -2 D. m 0 解析 ： 函数 y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大， m+2 0，解得： m -2， 答案： A. 6.(3 分 )将一个有 45 角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上 .另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 角，如图，则三角板的最大边的长为 ( ) A. 3cm B. 6cm C. cm D. cm 解析 ： 过点 C 作 CDAD ， CD=3 ， 在直角三角形 ADC 中， CAD=30 ， AC=2CD=23=6 ， 又 三角板是有
4、 45 角的三角板， AB=AC=6 ， BC 2=AB2+AC2=62+62=72， BC=6 ， 答案： D. 7.(3 分 )一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示 (有两个数据被遮盖 ). 那么被遮盖的两个数据依次是 ( ) A. 80， 2 B. 80， C. 78， 2 D. 78， 解析 ： 根据题意得： 805 -(81+79+80+82)=78， 方差 = (81-80)2+(79-80)2+(78-80)2+(80-80)2+(82-80)2=2. 答案： C. 8.(3 分 )如图，小敏同学想测量一棵大树的高度 .她站在 B 处仰望树顶，测得仰角为 30 ，再往大树
5、的方向前进 4m，测得仰角为 60 ，已知小敏同学身高 (AB)为 1.6m，则这棵树的高度为 ( )(结果精确到 0.1m， 1.73 ). A. 3.5m B. 3.6m C. 4.3m D. 5.1m 解析 ： 设 CD=x，在 RtACD 中， CD=x， CAD=30 ，则 tan30=CD ： AD=x： AD， 故 AD=x， 在 RtCED 中， CD=x， CED=60 ，则 tan60=CD ： ED=x： ED 故 ED= x， 由题意得， AD-ED= x- x=4，解得： x=2 ，则这棵树的高度 =2 +1.65.1m. 答案： D. 9.(3 分 )抛物线 y=x
6、2+bx+c 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3个单位，所得图象的函数解析式为 y=(x-1)2-4，则 b、 c 的值为 ( ) A. b=2， c=-6 B. b=2， c=0 C. b=-6， c=8 D. b=-6， c=2 解析 ： 函数 y=(x-1)2-4 的顶点坐标为 (1， -4)， 是向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到， 1 -2=-1， -4+3=-1， 平移前的抛物线的顶点坐标为 (-1， -1)， 平移前的抛物线为 y=(x+1)2-1，即 y=x2+2x，b=2 ， c=0. 答案： B. 10.(3 分 )如图，正方形 ABCD 的边长为
7、4， P 为正方形边上一动点，沿 ADCBA 的路径匀速移动，设 P 点经过的路径长为 x， APD 的面积是 y，则下列图象能大致反映 y 与 x的函数关系的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 当点 P 由点 A 向点 D 运动时， y 的值为 0； 当点 p 在 DC 上运动时， y 随着 x 的增大而增大； 当点 p 在 CB 上运动时， y 不变； 当点 P 在 BA 上运动时， y 随 x 的增大而减小 . 答案： B. 二、填空题 (本大题共有 6 小题，每小题 4分，共 24 分 .) 11.(4 分 )不等式组 的解集是 . 解析 ： ， 由 得， x2 ； 由 得，
8、 x - ；则不等式组的解集为 x2. 答案： x2. 12.(4 分 )化简： = . 解析 ： = = . 13.(4 分 )小芳同学有两根长度为 4cm、 10cm 的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择 (如图所示 )，从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是 . 解析 ： 小芳同学有两根长度为 4cm、 10cm 的木棒， 桌上有五根木棒供她选择 (如图所示 )，从中任选一根，能钉成三角形相框的有： 10cm， 12cm长的木棒， 从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是： . 答案： . 14.(4 分 )如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器
9、的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧 ( )对应的圆心角 (AOB )为 120 ， OC 的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为 . 解析 ： AOB=120 ， BOC=60 ， 在 RtOBC 中， OC=2cm， BOC=60 ， OBC=30 ， OB=4cm ， BC=2 cm， 则 S 扇形 OAB= = (cm2)， SOBC = OCBC=2 (cm2)， 故 S 重叠 =S 扇形 OAB+SOBC = +2 (cm2) 答案： +2 (cm2). 15.(4 分 )某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子 .根据经验估计，每多种一颗树，平均每
10、棵树就会少结 5 个橘子 .设果园增种 x 棵橘子树，果园橘子总个数为 y 个，则果园里增种 棵橘子树，橘子总个数最多 . 解析 ： 假设果园增种 x 棵橘子树，那么果园共有 (x+100)棵橘子树， 每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橘子， 这时平均每棵树就会少结 5x 个橘子，则平均每棵树结 (600-5x)个橘子 . 果园橘子的总产量为 y， 则 y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000， 当 x=- =- =10(棵 )时，橘子总个数最多 . 答案： 10. 16.(4 分 )如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10， A=60 .顺次连结菱形 ABCD
11、 各边中点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1各边中点，可得四边形 A2B2C2D2；顺次连结四边 形 A2B2C2D2各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此规律继续下去 .则四边形 A2B2C2D2的周长是 ；四边形 A2013B2013C2013D2013的周长是 . 解析 ： 菱形 ABCD 中，边长为 10， A=60 ，顺次连结菱形 ABCD 各边中点， AA 1D1是等边三角形，四边形 A2B2C2D2是菱形， A 1D1=5， C1D1= AC=5 ， A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5， 四边形 A2B2C2D2的周长是： 54=20
12、， 同理可得出： A3D3=5 ， C3D3= C1D1= 5 ， A5D5=5( )2， C5D5= C3D3=( )25 ， 四边形 A2013B2013C2013D2013的周长是： = . 答案： 20； . 三、简答题 17.(6 分 ) -23| -2| (-7+5) 解析 ： 先进行开方和乘方运算得到原式 =2-82( -2)，再进行乘除运算，然后进行加法运算 . 答案： 原式 =2-82( -2)=2+8=10. 18.(6 分 )如图所示，在长和宽分别是 a、 b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形 . (1)用 a， b， x 表示纸片剩余部分的面积； (2)
13、当 a=6， b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长 . 解析 ： (1)边长为 x 的正方形面积为 x2，矩形面积减去 4 个小正方形的面积即可 . (2)依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出 x 的值即可 . 答案： (1)ab-4x2； (2)依题意有： ab-4x2=4x2， 将 a=6， b=4，代入上式，得 x2=3， 解得 x1= ， x2=- (舍去 ). 即正方形的边长为 19.(6 分 )如图，函数 y1=-x+4 的图象与函数 y2= (x 0)的图象交于 A(a， 1)、 B(1， b)两点 . (1)求函数 y2的表达式； (2)观察
14、图象，比较当 x 0 时， y1与 y2的大小 . 解析 ： (1)由函数 y1=-x+4 的图象与函数 y2= (x 0)的图象交于 A(a， 1)、 B(1， b)两点，把 A 代入函数 y1=-x+4，可求得 A 的坐标，继而求得函数 y2的表达式； (2)观察图象可得即可求得：当 x 0 时， y1与 y2的大小 . 答案： (1)把点 A 坐标代入 y1=-x+4，得 -a+4=1，解得： a=3， A(3 ， 1)， 把点 A 坐标代入 y2= ， k 2=3， 函数 y2的表达式为： y2= . (2) 由图象可知， 当 0 x 1 或 x 3 时， y1 y2， 当 x=1 或
15、 x=3 时， y1=y2， 当 1 x 3 时， y1 y2. 20.(8 分 )如图，已知 AB 是 O 的直径， BCAB ，连结 OC，弦 ADOC ，直线 CD交 BA 的延长线于点 E. (1)求证：直线 CD 是 O 的切线； (2)若 DE=2BC，求 AD： OC 的值 . 解析 ： (1)首选连接 OD，易证得 CODCOB(SAS) ，然后由全等三角形的对应角相等，求得 CDO=90 ，即可证得直线 CD 是 O 的切线； (2)由 CODCOB. 可得 CD=CB，即可得 DE=2CD，易证得 EDAECO ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 AD： OC 的值 .
16、 答案： (1)连结 DO. ADOC ， DAO=COB ， ADO=COD. 又 OA=OD ， DAO=ADO ， COD=COB. 在 COD 和 COB 中， ， CODCOB(SAS) .CDO=CBO =90. 又 点 D 在 O 上， CD 是 O 的切线 . (2)CODCOB.CD=CB.DE=2BC ， ED=2CD. ADOC ， EDAECO. . 21.(8 分 )据 2012 年衢州市国民经济和社会发展统计公报 (2013年 2月 5 日发布 )，衢州市固定资产投资的相关数据统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)求 2012 年的固定资产投资增长速度
17、(年增长速度即年增长率 )； (2)求 2005-2012 年固定资产投资增长速度这组数据的中位数； (3)求 2006 年的固定资产投资金额，并补全条形图； (4)如果按照 2012 年的增长速度，请预测 2013 年衢州市的固定资产投资金额可达到多少亿元 (精确到 1 亿元 )？ 解析 ： (1)根据 2012 年和 2011 年投资进而求出增长率即可； (2)根据中位数的定义，按大小排列后找出最中间的两个求出平均数即可； (3)设 2006 年的固定资产投资金额为 x 亿元，进而得出 280-x=12%x 求出即可； (4)根据 2012 年的增长率，得出 565(1+13%) 求出即可
18、 . 答案： (1)根据题意得出： 100%=13% ； 答： 2012 年的固定资产投资增长速度为 13%； (2)数据按大小排列得出： 10.71%， 12%， 13%， 13.16%， 16.28%， 18.23%， 22.58， 25%， 中位数为： =14.72%； 答： 2005-2012 年固定资产投资增长速度这组数据的中位数是 14.72%； (3)设 2006 年的固定资产投资金额为 x 亿元，则有： 280-x=12%x(或 x-200=25%200) ， 解得： x=250， 所以 2006 年的投资额是 250 亿元；如图所示； (4)565(1+13%)=6 38.4
19、5638( 亿元 )， 答：预测 2013 年可达 638 亿元 . 22.(10 分 ) 【提出问题】 (1)如图 1，在等边 ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点 (不含端点 B、 C)，连结 AM，以 AM 为边作等边 AMN ，连结 CN.求证： ABC=ACN . 【类比探究】 (2)如图 2，在等边 ABC 中，点 M是 BC 延长线上的任意一点 (不含端点 C)，其它条件不变，(1)中结论 ABC=ACN 还成立吗？请说明理由 . 【拓展延伸】 (3)如图 3，在等腰 ABC 中， BA=BC，点 M 是 BC 上的任意一点 (不含端点 B、 C)，连结 AM，以 AM 为
20、边作等腰 AMN ，使顶角 AMN=ABC .连结 CN.试探究 ABC 与 ACN 的数量关系，并说明理由 . 解析 ： (1)利用 SAS 可证明 BAMCAN ，继而得出结论； (2)也可以通过证明 BAMCAN ，得出结论，和 (1)的思路完全一样 . (3)首先得出 BAC=MAN ，从而判定 ABCAMN ，得到 = ，根据 BAM=BAC -MAC ，CAN=MAN -MAC ，得到 BAM=CAN ，从而判定 BAMCAN ，得出结论 . 答案： (1)ABC 、 AMN 是等边三角形， AB=AC ， AM=AN， BAC=MAN=60 ， BAM=CAN ， 在 BAM 和
21、 CAN 中， BAMCAN(SAS) ， ABC=ACN. (2)结论 ABC=ACN 仍成立；理由如下： ABC 、 AMN 是等边三角形， AB=AC ， AM=AN， BAC=MAN=60 ， BAM=CAN ， 在 BAM 和 CAN 中， BAMCAN(SAS) ， ABC=ACN. (3)ABC=ACN ；理由如下： BA=BC ， MA=MN，顶角 ABC=AMN ， 底角 BAC=MAN ， ABCAMN ， = ， 又 BAM=BAC -MAC ， CAN=MAN -MAC ， BAM=CAN ， BAMCAN ， ABC=ACN. 23.(10 分 )“ 五 一 ” 假期
22、，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票 .经调查发现，在车站开始检票时，有 640 人排队检票 .检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站 .设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度 也是固定的 .检票时，每分钟候车室新增排队检票进站 16 人，每分钟每个检票口检票 14 人 .已知检票的前 a 分钟只开放了两个检票口 .某一天候车室排队等候检票的人数 y(人 )与检票时间 x(分钟 )的关系如图所示 . (1)求 a 的值 . (2)求检票到第 20 分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数 . (3)若要在开始检票后 15 分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到
23、站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？ 解析 ： (1)根据原有的人数 -a 分钟检票额人数 +a 分钟增加的人数 =520 建立方程求出其解就可以； (2)设当 10x30 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，由待定系数法求出函数的解析式，再将 x=20 代入解析式就可以求出结论； (3)设需同时开放 n 个检票口，根据原来的人数 +15 分进站人数 n 个检票口 15 分钟检票人数建立不等式，求出其解即可 . 答案： (1)由图象知， 640+16a-214a=520 ， a=10 ； (2)设当 10x30 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y=k
24、x+b， 由题意，得 ，解得： ， y=-26x+780，当 x=20 时， y=260， 即检票到第 20 分钟时，候车室排队等候检票的旅客有 260 人 . (3)设需同时开放 n 个检票口，则由题意知 14n15640+1615 ， 解得： n4 ， n 为整数， n 最小 =5. 答：至少需要同时开放 5 个检票口 . 24.(12 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，过原点 O 及点 A(0， 2)、 C(6， 0)作矩形 OABC， AOC的平分线交 AB 于点 D.点 P 从点 O 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 OD 方向移动；同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单
25、位长度的速度沿 x轴正方向移动 .设移动时间为 t秒 . (1)当点 P 移动到点 D 时，求出此时 t 的值； (2)当 t 为何值时， PQB 为直角三角形； (3)已知过 O、 P、 Q 三点的抛物线解析式为 y=- (x-t)2+t(t 0).问是否存在某一时刻 t，将 PQB 绕某点旋转 180 后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)首先根据矩形的性质求出 DO 的长，进而得出 t 的值； (2)要使 PQB 为直角三角形，显然只有 PQB=90 或 PBQ=90 ，进而利用勾股定理分别分析得出 PB2=(6-t)2
26、+(2-t)2， QB2=(6-2t)2+22， PQ2=(2t-t)2+t2=2t2，再分别就 PQB=90 和PBQ=90 讨论，求出符合题意的 t 值即可； (3)存在这样的 t 值，若将 PQB 绕某点旋转 180 ，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为 PQ 中点，此时四边形 PBQB 为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出 t 的值 . 答案： (1) 四边形 OABC 是矩形， AOC=OAB=90 ， OD 平分 AOC ， AOD=DOQ=45 ， 在 RtAOD 中， ADO=45 ， AO=AD=2 ， OD=2 ， t= =2； (2)要使 PQB 为
27、直角三角形，显然只有 PQB=90 或 PBQ=90. 如图 1，作 PGOC 于点 G，在 RtPOG 中， POQ=45 ， OPG=45 ， OP= t， OG=PG=t ， 点 P(t， t) 又 Q(2t ， 0)， B(6， 2)， 根据勾股定理可得： PB2=(6-t)2+(2-t)2， QB2=(6-2t)2+22， PQ2=(2t-t)2+t2=2t2， 若 PQB=90 ，则有 PQ2+BQ2=PB2，即： 2t2+(6-2t)2+22=(6-t)2+(2-t)2， 整理得： 4t2-8t=0，解得： t1=0(舍去 )， t2=2， t=2 ， 若 PBQ=90 ，则有
28、PB2+QB2=PQ2， (6 -t)2+(2-t)2+(6-2t)2+22=2t2， 整理得： t2-10t+20=0，解得： t=5 . 当 t=2 或 t=5+ 或 t=5- 时， PQB 为直角三角形 . 解法 2： 如图 2，当 PQB=90 时， 易知 OPQ=90 ， BQODBQC=POQ=45 ， 可得 QC=BC=2， OQ=4 ， 2t=4 ， t=2 ， 如图 3，当 PBQ=90 时，若点 Q 在 OC 上，作 PNx 轴于点 N，交 AB于点 M， 则易证 PBM=CBQ ， PMBQCB = ， CBPM=QCMB ， 2(t -2)=(2t-6)(6-t)，化简
29、得 t2-10t+20=0，解得： t=5 ， t=5 - ； 如图 4，当 PBQ=90 时，若点 Q 在 OC 的延长线上， 作 PNx 轴于点 N，交 AB 延长线于点 M， 则易证 BPM=MBQ=BQC ， PMBQCB ， = ， CBPM=QCMB ， 2(t -2)=(2t-6)(t-6)，化简得 t2-10t+20=0，解得： t=5 ， t=5+； (3)存在这样的 t 值，理由如下： 将 PQB 绕某点旋转 180 ，三个对应顶点恰好都落在抛物线上， 则旋转中心为 PQ 中点，此时四边形 PBQB 为平行四边形 . PO=PQ ，由 P(t， t)， Q(2t， 0)，知旋转中心坐标可表示为 ( t， t)， 点 B 坐标为 (6， 2)， 点 B 的坐标为 (3t-6， t-2)， 代入 y=- (x-t)2+t，得： 2t2-13t+18=0，解得： t1= ， t2=2.
