2013年浙江省绍兴市中考真题数学.docx

1、2013 年浙江省绍兴市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分 ) 1.(4 分 )-2 的绝对值是 ( ) A. 2 B. -2 C. 0 D. 解析 ： -2 的绝对值是 2， 答案： A. 2.(4 分 )计算 3a( 2b)的结果是 ( ) A. 3ab B. 6a C. 6ab D. 5ab 解析 ： 3a(2b)=32ab=6ab. 答案： C. 3.(4 分 )地球半径约为 6400000 米，则此数用科学记数法表示为 ( ) A. 0.6410 9 B. 6.410 6 C. 6.410 4 D. 6410 3 解析 ： 6 400 000

2、=6.410 6， 答案： B. 4.(4 分 )由 5 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为： 1， 1， 2. 答案： C. 5.(4 分 )一个不透明的袋子中有 3 个白球、 2 个黄球和 1 个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据题意可得：袋子中有 3 个白球， 2 个黄球和 1 个红球，共 6 个， 从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率 26= . 答案： B. 6.(4 分 )绍兴是著名的桥乡

3、，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD 为 8m，桥拱半径 OC 为5m，则水面宽 AB 为 ( ) A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m 解析 ： 连接 OA， 桥拱半径 OC 为 5m， OA=5m ， CD=8m ， OD=8 -5=3m， AD= = =4m， AB=2AD=24=8(m) ； 答案： D. 7.(4 分 )若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是 ( ) A. 90 B. 120 C. 150 D. 180 解析 ： 设正圆锥的底面半径是 r，则母线长是 2r，底面周长是 2r ， 设正圆锥的侧面展开图的圆心角是 n ，

4、则 =2r ，解得： n=180. 答案： D. 8.(4 分 )如图是我国古代计时器 “ 漏壶 ” 的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出 .壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用 x 表示时间， y 表示壶底到水面的高度，则 y 与 x 的函数关系式的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以 y 的初始位置应该大于 0，可以排除 A、B； 由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除 D 选项； 答案： C. 9.(4 分 )小敏在作 O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤： (1)作 O 的两条互相垂

5、直的直径，再作 OA 的垂直平分线交 OA 于点 M，如图 1； (2)以 M 为圆心， BM 长为半径作圆弧，交 CA 于点 D，连结 BD，如图 2.若 O 的半径为 1，则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是 ( ) A. BD2= OD B. BD2= OD C. BD2= OD D. BD2= OD 解析 ： 如图 2，连接 BM， 根据题意得： OB=OA=1， ADOB ， BM=DM， OA 的垂直平分线交 OA 于点 M， OM=AM= OA= ， BM= = ， DM= ， OD=DM -OM= - = ， BD 2=OD2+OB2= = = OD. 答案： C

6、. 10.(4 分 )教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升 10 ，加热到100 ，停止加热，水温开始下降，此时水温 ( )与开机后用时 (min)成反比例关系 .直至水温降至 30 ，饮水机关机 .饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序 .若在水温为 30时，接通电源后，水温 y( )和时间 (min)的关系如图，为了在上午第一节下课时 (8： 45)能喝到不超过 50 的水，则接通电源的时间可以是当天上午的 ( ) A. 7： 20 B. 7： 30 C. 7： 45 D. 7： 50 解析 ： 开机加热时每分钟上升 10 ， 从 30 到 100 需要 7 分钟

7、， 设一次函数关系式为： y=k1x+b， 将 (0， 30)， (7， 100)代入 y=k1x+b 得 k1=10， b=30， y=10x+30(0x7) ，令 y=50，解得 x=2； 设反比例函数关系式为： y= ，将 (7， 100)代入 y= 得 k=700， y= ， 将 y=30 代入 y= ，解得 x= ； y= (7x )，令 y=50，解得 x=14. 所以，饮水机的一个循环周期为 分钟 .每一个循环周期内，在 0x2 及 14x 时间段内，水温不超过 50. 逐一分析如下： 选项 A： 7： 20 至 8： 45 之间有 85 分钟 .85- 3=15 ，位于 14x

8、 时间段内，故可行； 选项 B： 7： 30 至 8： 45 之间有 75 分钟 .75- 3=5 ，不在 0x2 及 14x 时间段内，故不可行； 选项 C： 7： 45 至 8： 45 之间有 60 分钟 .60- 2= 13.3 ，不在 0x2 及 14x时间段内，故不可行； 选项 D： 7： 50 至 8： 45 之间有 55 分钟 .55- 2= 8.3 ，不在 0x2 及 14x 时间段内，故不可行 . 综上所述，四个选项中，唯有 7： 20 符合题意 . 答案： A. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分 ) 11.(5 分 )分解因式： x2-y2= .

9、解析 ： x2-y2=(x+y)(x-y). 答案 ： (x+y)(x-y) 12.(5 分 )分式方程 =3 的解是 . 解析 ： 去分母得： 2x=3x-3，解得： x=3，经检验 x=3 是分式方程的解 . 答案： x=3 13.(5 分 )我国古代数学名著孙子算经中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有94 足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有 只，兔有 只 . 解析 ： 设鸡有 x 只，兔有 y 只，由题意，得： ，解得： ， 鸡有 22 只，兔有

10、 11 只 . 答案： 22， 11. 14.(5 分 )在平面直角坐标系中， O 是原点， A 是 x 轴上的点，将射线 OA 绕点 O 旋转，使点 A与双曲线 y= 上的点 B 重合，若点 B 的纵坐标是 1，则点 A的横坐标是 . 解析 ： 如图所示： 点 A 与双曲线 y= 上的点 B 重合，点 B 的纵坐标是 1， 点 B 的横坐标是 ， OB= =2， A 点可能在 x 轴的正半轴也可能在负半轴， A 点坐标为： (2， 0)， (-2， 0). 答案： 2 或 -2. 15.(5 分 )如图钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架，若 AP1=P1P2=P2P3=P 13P14

11、=P14A，则 A 的度数是 . 解析 ： 设 A=x ， AP 1=P1P2=P2P3=P 13P14=P14A， A=AP 2P1=AP 13P14=x， P 2P1P3=P 13P14P12=2x， P 3P2P4=P 12P13P11=3x， ， P 7P6P8=P 8P9P7=7x， AP 7P8=7x， AP 8P7=7x， 在 AP 7P8中， A+AP 7P8+AP 8P7=180 ， 即 x+7x+7x=180 ，解得 x=12 ，即 A=12. 答案： 12. 16.(5 分 )矩形 ABCD 中， AB=4， AD=3， P， Q 是对角线 BD 上不重合的两点，点 P

12、关于直线 AD，AB 的对称点分别是点 E、 F，点 Q 关于直线 BC、 CD 的对称点分别是点 G、 H.若由点 E、 F、 G、H 构成的四边形恰好为菱形，则 PQ 的长为 . 解析 ： 由矩形 ABCD 中， AB=4， AD=3，可得对角线 AC=BD=5. 依题意画出图形，如 图所示 . 由轴对称性质可知， PAF+PAE=2PAB+2PAD=2(PAB+PAD)=180 ， 点 A 在菱形 EFGH 的边 EF 上 .同理可知，点 B、 C、 D均在菱形 EFGH的边上 . AP=AE=AF ， 点 A 为 EF 中点 .同理可知，点 C 为 GH中点 . 连接 AC，交 BD

13、于点 O，则有 AF=CG，且 AFCG ， 四边形 ACGF为平行四边形， FG=AC=5 ，即菱形 EFGH 的边长等于矩形 ABCD 的对角线长 .EF=FG=5 ， AP=AE=AF ， AP= EF=2.5. OA= AC=2.5， AP=AO ，即 APO 为等腰三角形 . 过点 A 作 ANBD 交 BD 于点 N，则点 N 为 OP 的中点 . 由 SABD = ABAD= ACAN ，可求得： AN=2.4. 在 RtAON 中，由勾股定理得： ON= = =0.7， OP=2ON=1.4 ； 同理可求得： OQ=1.4， PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8. 答案：

14、2.8. 三、解答题 (本大题共有 8 小题，第 17-20小题每小题 8 分，第 21 小题 10分，第 22、 23小题每小题 8分，第 24 小题 14 分，共 80分 ) 17.(8 分 ) (1)化简： (a-1)2+2(a+1) (2)解不等式： + 1 . 解析 ： (1)原式第一项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果 . 答案： (1)原式 =a2-2a+1+2a+2=a2+3； (2)去分母得： 3(x+1)+2(x-1)6 ，去括号得： 3x+3+2x-26 ，解得： x1. 18.(8 分 )某市出租车计费方法如图所示， x(km)表示行驶里程， y(元 )表示车

15、费，请根据图象回答下面的问题： (1)出租车的起步价是多少元？当 x 3 时，求 y 关于 x 的函数关系式 . (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为 32 元，求这位乘客乘车的里程 . 解析 ： (1)根据函数图象可以得出出租车的起步价是 8 元，设当 x 3 时， y与 x 的函数关系式为 y=kx+b，运用待定系数法就可以求出结论； (2)将 y=32 代入 (1)的解析式就可以求出 x 的值 . 答案： (1)由图象得：出租车的起步价是 8 元； 设当 x 3 时， y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k0) ， 由函数图象，得 ，解得： ，故 y 与 x 的函数关系式为： y=

16、2x+2； (2)32 元 8 元， 当 y=32 时， 32=2x+2， x=15. 答：这位乘客乘车的里程是 15km. 19.(8 分 )如图，矩形 ABCD 中， AB=6，第 1 次平移将矩形 ABCD沿 AB 的方向向右平移 5 个单位，得到矩形 A1B1C1D1，第 2 次平移将矩形 A1B1C1D1沿 A1B1的方向向右平移 5 个单位，得到矩形 A2B2C2D2 ，第 n 次平移将矩形 An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿 An-1Bn-1的方向平移 5个单位，得到矩形AnBnCnDn(n 2). (1)求 AB1和 AB2的长 . (2)若 ABn的长为 56，求 n. 解析

17、 ： (1)根据平移的性质得出 AA1=5， A1A2=5， A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，进而求出 AB1和 AB2的长； (2)根据 (1)中所求得出数字变化规律，进而得出 ABn=(n+1)5+1 求出 n 即可 . 答案： (1)AB=6 ，第 1次平移将矩形 ABCD沿 AB的方向向右平移 5个单位，得到矩形 A1B1C1D1， 第 2 次平移将矩形 A1B1C1D1沿 A1B1的方向向右平移 5 个单位，得到矩形 A2B2C2D2 ， AA 1=5， A1A2=5， A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1， AB 1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11， A

18、B 2的长为： 5+5+6=16； (2)AB 1=25+1=11 ， AB2=35+1=16 ， AB n=(n+1)5+1=56 ，解得： n=10. 20.(8 分 )某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从兵乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图 .根据以上统计图，解答下列问题： (1)这次被调查的共有多少名同学？并补全条形统计图 . (2)若全校有 1200 名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有多少名同学？ 解析 ： (1)利用条形统计图可得喜欢羽毛球的人数有 30 人，根据扇形统

19、计图可得喜欢羽毛球的人数有 15%，利用 3015% 即可得到被调查的总人数；用总人数 -喜欢乒乓球的人数 -喜欢篮球的人数 -喜欢羽毛球的人数 -喜欢排球的人数可得喜欢跳绳的人数，再补图即可； (2)计算出调查的人数中喜欢篮球和排球的人数所占百分比，再乘以 1200 即可 . 答案： (1)这次被调查的学生总数： 3015%=200( 人 )， 跳绳人数： 200-70-40-30-12=48，如图所示： (2)1200 100%=312( 人 ). 答：全校有 1200 名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有 312 名同学 . 21.(10分 )如图，伞不论张开还是收紧，伞柄 AP始终平

20、分同一平面内两条伞架所成的角 BAC ，当伞收紧时，结点 D 与点 M 重合，且点 A、 E、 D 在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位： cm (1)求 AM 的长 . (2)当 BAC=104 时，求 AD 的长 (精确到 1cm). 备用数据： sin52=0.788 ， cos52=0.6157 ， tan52=1.2799 . 解析 ： (1)根据 AM=AE+DE 求解即可； (2)先根据角平分线的 定义得出 EAD= BAC=52 ，再过点 E作 EGAD 于 G，由等腰三角形的性质得出 AD=2AG，然后在 AEG 中，利用余弦函数的定义求出 AG 的长，进而得到 AD

21、的长度 . 答案： (1)由题意，得 AM=AE+DE=36+36=72(cm).故 AM 的长为 72cm； (2)AP 平分 BAC ， BAC=104 ， EAD= BAC=52. 过点 E 作 EGAD 于 G， AE=DE=36 ， AG=DG ， AD=2AG. 在 AEG 中， AGE=90 ， AG=AEcosEAG=36cos52=360.6157=22.1652 ， AD=2AG=222.165244(cm). 故 AD 的长约为 44cm. 22.(12 分 )若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图 1，矩形 ABCD中， BC=2AB，则称 ABCD

22、为方形 . (1)设 a， b 是方形的一组邻边长，写出 a， b 的值 (一组即可 ). (2)在 ABC 中，将 AB， AC 分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边 B1C1， B2C2， B3C3， B4C4的对边分别在 B2C2， B3C3， B4C4， BC 上，如图 2所示 . 若 BC=25， BC 边上的高为 20，判断以 B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？ 若以 B3C3为一边的矩形为方形，求 BC 与 BC 边上的高之比 . 解析 ： (1)答案不唯一，根据已知举出即可； (2) 求出 ABCAB 1C1AB 2C2AB 3C3A

23、B 4C4，推出 = = ， = = ，= = ， = = ，求出 B1C1=5， B2C2=10， B3C3=15， B4C4=20， AE=4， AH=8， AG=12，AN=16， MN=GN=GH=HE=4， B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可； 设 AM=h，根据 ABCAB 3C3，得出 = = ，求出 MN=GN=GH=HE= h，分为两种情况：当 B3C3=2 h，时，当 B3C3= h 时，代入求出即可 . 答案： (1)答案不唯一，如 a=2， b=4； (2) 以 B1C1为一边的矩形不是方形 . 理由是：过 A 作 AMBC 于 M，交 B1C1于 E

24、，交 B2C2于 H，交 B3C3于 G，交 B4C4于 N， 则 AMB 4C4， AMB 3C3， AMB 2C2， AMB 1C1， 由矩形的性质得： BCB 1C1B 2C2B 3C3B 4C4， ABCAB 1C1AB 2C2AB 3C3AB 4C4， = = ， = = ， = = ， = = ， AM=20 ， BC=25， B 1C1=5， B2C2=10， B3C3=15， B4C4=20， AE=4， AH=8， AG=12， AN=16， MN=GN=GH=HE=4 ， B 1Q=B2O=B3Z=B4K=4， 即 B1C12B 1Q， B1Q2B 1C1， 以 B1C1为

25、一边的矩形不是方形； 以 B3C3为一边的矩形为方形，设 AM=h， ABCAB 3C3， = = ，则 AG= h， MN=GN=GH=HE= h， 当 B3C3=2 h 时， = = ； 当 B3C3= h 时， = = . 综合上述： BC 与 BC 边上的高之比是 或 . 23.(12 分 )在 ABC 中， CAB=90 ， ADBC 于点 D，点 E 为 AB 的中点， EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上 . (1)如图 1， AC： AB=1： 2， EFCB ，求证： EF=CD. (2)如图 2， AC： AB=1： ， EFCE ，求 EF： EG 的值 .

26、解析 ： (1)根据同角的余角相等得出 CAD=B ，根据 AC： AB=1： 2 及点 E 为 AB 的中点，得出 AC=BE，再利用 AAS 证明 ACDBEF ，即可得出 EF=CD； (2)作 EHAD 于 H， EQBC 于 Q，先证明四边形 EQDH是矩形，得出 QEH=90 ，则 FEQ=GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明 EFQEGH ，得出 EF： EG=EQ： EH，然后在 BEQ中，根据正弦函数的定义得出 EQ= BE，在 AEH 中，根据余弦函数的定义得出 EH= AE，又 BE=AE，进而求出 EF： EG 的值 . 答案： (1)在 ABC 中， CAB=

27、90 ， ADBC 于点 D， CAD=B=90 -ACB. AC ： AB=1： 2， AB=2AC ， 点 E 为 AB 的中点， AB=2BE ， AC=BE. 在 ACD 与 BEF 中， ， ACDBEF ， CD=EF ，即 EF=CD； (2)如图 2，作 EHAD 于 H， EQBC 于 Q， EHAD ， EQBC ， ADBC ， 四边形 EQDH 是矩形， QEH=90 ， FEQ=GEH=90 -QEG ， 又 EQF =EHG=90 ， EFQEGH ， EF ： EG=EQ： EH. AC ： AB=1： ， CAB=90 ， B=30. 在 BEQ 中， BQE=

28、90 ， sinB= = ， EQ= BE. 在 AEH 中， AHE=90 ， AEH=B=30 ， cosAEH= = ， EH= AE. 点 E 为 AB 的中点， BE=AE ， EF ： EG=EQ： EH= BE： AE=1： . 24.(14 分 )抛物线 y=(x-3)(x+1)与 x 轴交于 A， B 两点 (点 A 在点 B 左侧 )，与 y 轴交于点 C，点 D 为顶点 . (1)求点 B 及点 D 的坐标 . (2)连结 BD， CD，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E. 若线段 BD 上一点 P，使 DCP=BDE ，求点 P 的坐标 . 若抛物线上一点 M，作 MN

29、CD ，交直线 CD 于点 N，使 CMN=BDE ，求点 M 的坐标 . 解析 ： (1)解方程 (x-3)(x+1)=0，求出 x=3 或 -1，根据抛物线 y=(x-3)(x+1)与 x 轴交于 A， B两点 (点 A 在点 B 左侧 )，确定点 B 的坐标为 (3， 0)；将 y=(x-3)(x+1)配方，写成顶点式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，即可确定顶点 D 的坐标； (2) 根据抛物线 y=(x-3)(x+1)，得到点 C、点 E 的坐标 .连接 BC，过点 C 作 CHDE 于 H，由勾股定理得出 CD= ， CB=3 ，证明 BCD 为直角三角形 .分别延长 PC、

30、 DC，与 x 轴相交于点 Q， R.根据两角对应相等的两三角形相似证明 BCDQOC ，则 = = ，得出 Q的坐标 (-9， 0)，运用待定系数法求出直线 CQ 的解析式为 y=- x-3，直线 BD 的解析式为y=2x-6，解方程组 ，即可求出点 P 的坐标； 分两种情况进行讨论： () 当点 M 在对称轴右侧时 .若点 N 在射线 CD 上，如备用图 1，延长 MN 交 y 轴 于点 F，过点 M作 MGy 轴于点 G，先证明 MCNDBE ，由相似三角形对应边成比例得出 MN=2CN.设 CN=a，再证明 CNF ， MGF 均为等腰直角三角形，然后用含 a 的代数式表示点 M 的坐

31、标，将其代入抛物线 y=(x-3)(x+1)，求出 a 的值，得到点 M 的坐标；若点 N 在射线 DC 上，同理可求出点 M 的坐标； () 当点 M 在对称轴左侧时 .由于 BDE 45 ，得到 CMN 45 ，根据直角三角形两锐角互余得出 MCN 45 ，而抛物线左侧任意一点 K，都有 KCN 45 ，所以点 M 不存在 . 答案： (1) 抛物线 y=(x-3)(x+1)与 x 轴交于 A， B 两点 (点 A 在点 B 左侧 )， 当 y=0 时， (x-3)(x+1)=0，解得 x=3 或 -1， 点 B 的坐标为 (3， 0). y=(x -3)(x+1)=x2-2x-3=(x-

32、1)2-4， 顶点 D 的坐标为 (1， -4)； (2) 如 图 . 抛物线 y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3 与与 y 轴交于点 C， C 点坐标为 (0， -3). 对称轴为直线 x=1， 点 E 的坐标为 (1， 0). 连接 BC，过点 C 作 CHDE 于 H，则 H点坐标为 (1， -3)， CH=DH=1 ， CDH=BCO=BCH=45 ， CD= ， CB=3 ， BCD 为直角三角形 . 分别延长 PC、 DC，与 x 轴相交于点 Q， R. BDE=DCP=QCR ， CDB=CDE+BDE=45+DCP ， QCO=RCO+QCR=45+DCP ， CDB=Q

33、CO ， BCDQOC ， = = ， OQ=3OC=9 ，即 Q(-9， 0). 直线 CQ 的解析式为 y=- x-3，直线 BD 的解析式为 y=2x-6. 由方程组 ，解得 . 点 P 的坐标为 ( ， - )； () 当点 M 在对称轴右侧时 . 若点 N 在射线 CD 上，如 图，延长 MN 交 y轴于点 F，过点 M 作 MGy 轴于点 G. CMN=BDE ， CNM=BED=90 ， MCNDBE ， = = ， MN=2CN. 设 CN=a，则 MN=2a. CDE=DCF=45 ， CNF ， MGF 均为等腰直角三角形， NF=CN=a ， CF= a， MF=MN+N

34、F=3a ， MG=FG= a， CG=FG -FC= a， M( a， -3+ a). 代入抛物线 y=(x-3)(x+1)，解得 a= ， M( ， - )； 若点 N 在射线 DC 上，如 图， MN 交 y 轴于点 F，过点 M作 MGy 轴于点 G. CMN=BDE ， CNM=BED=90 ， MCNDBE ， = = ， MN=2CN. 设 CN=a，则 MN=2a. CDE=45 ， CNF ， MGF 均为等腰直角三角形， NF=CN=a ， CF= a， MF=MN -NF=a， MG=FG= a， CG=FG+FC= a， M( a， -3+ a). 代入抛物线 y=(x-3)(x+1)，解得 a=5 ， M(5 ， 12)； () 当点 M 在对称轴左侧时 . CMN=BDE 45 ， MCN 45 ， 而抛物线左侧任意一点 K，都有 KCN 45 ， 点 M 不存在 . 综上可知，点 M 坐标为 ( ， - )或 (5， 12).