1、2013 年浙江省温州市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题，每小题 4分，共 40分。 ) 1.(4 分 )计算： (-2)3 的结果是 ( ) A. -6 B. -1 C. 1 D. 6 解析 ： (-2)3= -23= -6. 答案： A. 2.(4 分 )小明对九 (1)班全班同学 “ 你最喜欢的球类项目是什么？ (只选一项 )” 的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的扇形统计图，由图可知，该班同学最喜欢的球类项目是 ( ) A. 羽毛球 B. 乒乓球 C. 排球 D. 篮球 解析 ： 喜欢篮球比赛的人所占的百分比最大，故该班最喜欢的球类项目是篮球 . 答案： D. 点
2、评： 本题考查的是扇形图的定义 .在扇形统计图中，各部分占总体的百分比之和为 1， 3.(4 分 )下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、可以折叠成一个正方体； B、是 “ 凹 ” 字格，故不能折叠成一个正方体； C、折叠后有两个面重合，缺少一个底面，所以也不能折叠成一个正方体； D、是 “ 田 ” 字格，故不能折叠成一个正方体 . 答案： A. 4.(4 分 )下列各组数可能是一个三角形的边长的是 ( ) A. 1， 2， 4 B. 4， 5， 9 C. 4， 6， 8 D. 5， 5， 11 解析 ： A、因为 1+2 4，所以本组数不能构
3、成三角形 .故本选项错误； B、因为 4+5=9，所以本组数不能构成三角形 .故本选项错误； C、因为 4+6 8，所以本组数可以构成三角形 .故本选项正确； D、因为 5+5 11，所以本组数不能构成三角形 .故本选项错误； 答案： C. 5.(4 分 )若分式 的值为 0，则 x 的值是 ( ) A. x=3 B. x=0 C. x=-3 D. x=-4 解析 ： 由题意得： x-3=0，且 x+40 ，解得： x=3， 答案： A. 6.(4 分 )已知点 P(1， -3)在反比例函数 y= (k0 )的图象上，则 k 的值是 ( ) A. 3 B. -3 C. D. - 解析 ： 点
4、P(1， -3)在反比例函数 y= (k0) 的图象上， -3= ，解得 k=-3. 答案： B. 7.(4 分 )如图，在 O 中， OC 弦 AB 于点 C， AB=4， OC=1，则 OB 的长是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： OC 弦 AB 于点 C， AC=BC= AB，在 RtOBC 中， OB= = . 答案： B. 8.(4 分 )如图，在 ABC 中， C=90 ， AB=5， BC=3，则 sinA 的值是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： sinA= = . 答案： C. 9.(4 分 )如图，在 ABC 中，点 D， E 分别在边 AB， AC 上，
5、 DEBC ，已知 AE=6， ，则EC 的长是 ( ) A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14 解析 ： DEBC ， = ，即 = ，解得 EC=8. 答案： B. 10.(4 分 )在 ABC 中， C 为锐角，分别以 AB， AC 为直径作半圆，过点 B， A， C 作 ，如图所示 .若 AB=4， AC=2， S1-S2= ，则 S3-S4的值是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： AB=4 ， AC=2， S 1+S3=2 ， S2+S4= ， S 1-S2= ， (S 1+S3)-(S2+S4)=(S1-S2)+(S3-S4)= S 3-S4= ， 答案： D.
6、 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 5分，共 30分 ) 11.(5 分 )因式分解： m2-5m= . 解析 ： m2-5m=m(m-5). 答案： m(m-5). 12.(5 分 )在演唱比赛中， 5 位评委给一位歌手的打分如下： 8.2 分， 8.3 分， 7.8 分， 7.7分， 8.0 分，则这位歌手的平均得分是 分 . 解析 ： 根据题意得： (8.2+8.3+7.8+7.7+8.0)5=8( 分 )； 答案： 8. 13.(5 分 )如图，直线 a， b 被直线 c 所截，若 ab ， 1=40 ， 2=70 ，则 3= 度 . 解析 ： ab ， 1=40 ， 4=1=4
7、0 ， 3=2+4=70+40=110. 答案： 110. 14.(5 分 )方程 x2-2x-1=0 的解是 . 解析 ： x 2-2x-1=0， x 2-2x=1， x 2-2x+1=2， (x -1)2=2， x=1 ， 原方程的解为： x1=1+ ， x2=1- . 答案： x1=1+ ， x2=1- . 15.(5 分 )如图，在平面直角坐标系中， ABC 的两个顶点 A， B 的坐标分别为 (-2， 0)， (-1，0)， BCx 轴，将 ABC 以 y 轴为对称轴作轴对称变换，得到 ABC (A 和 A ， B 和 B ，C 和 C 分别是对应顶点 )，直线 y=x+b 经过点
8、A， C ，则点 C 的坐标是 . 解析 ： A( -2， 0)， B(-1， 0)， AO=2 ， OB=1， ABC 和 ABC 关于 y 轴对称， OB=OB=1 ， B(1 ， y) 直线 y=x+b 经过点 A， C ， ， 点 C 的坐标为 (1， 3). 答案： (1， 3). 16.(5 分 )一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线的交点上 .木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了 PQ 与圆洞的切点 K 到点 B 的距离及相关数据 (单位： cm)，从点 N沿折线NF-FM(NFBC ， FMAB )
9、切割，如图 1 所示 .图 2 中的矩形 EFGH 是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图 (不重叠，无缝隙，不记损耗 )，则 CN， AM 的长分别是 . 解析 ： 如图，延长 OK 交线段 MF 于点 M ，延长 PQ 交 BC 于点 G，交 FN于点 N. 设圆孔半径为 r. 在 RtKBG 中，根据勾股定理，得 BG2+KG2=BK2，即 (130-50)2+(44+r)2=1002， 解得 r=16(cm). 根据题意知，圆心 O 在矩形 EFGH 的对角线上，则 KN= AB=42cm， OM=KM+r= CB=65cm. QN=KN -KQ=42-16=26(cm)，
10、KM=49(cm) ， CN=QG -QN=44 -26=18(cm)， AM=BC -PD-KM=130 -50-49=31(cm)， 综上所述， CN， AM 的长分别是 18cm、 31cm. 答案： 18cm、 31cm. 三、解答题 (本题有 8 小题，共 80 分 ) 17.(10 分 ) (1)计算： +( )+( )0 (2)化简： (1+a)(1-a)+a(a-3) 解析 ： (1)原式第一项化为最简二次根式，第二项去括号，最后一项利用零指数幂法则计算，合并即可得到结果； (2)原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果 . 答案：
11、 (1)原式 =2 + -1+1=3 ； (2)原式 =1-a2+a2-3a=1-3a. 18.(8 分 )如图，在 ABC 中， C=90 ， AD 平分 CAB ，交 CB 于点 D，过点 D作 DEAB 于点 E. (1)求证： ACDAED ； (2)若 B=30 ， CD=1，求 BD 的长 . 解析 ： (1)AD 平分 CAB ， DEAB ， C=90 ， CD=ED ， DEA=C=90 ， 在 RtACD 和 RtAED 中 ， ， RtACDRtAED(HL) ； (2)DC=DE=1 ， DEAB ， DEB=90 ， B=30 ， BD=2DE=2. 19.(8 分
12、)如图，在方格纸中， ABC 的三个顶点和点 P 都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上 . (1)将 ABC 平移，使点 P 落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图； (2)以点 C 为旋转中心，将 ABC 旋转，使点 P 落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图 . 解析 ： (1)根据网格结构，把 ABC 向右平移后可使点 P 为三角形的内部的三个格点中的任意一个； (2)把 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90 即可使点 P 在三角形内部 . 答案： (1)平移后的三角形如图所示； (2)如图所示，旋转后的三角形如图所示 . 20.(10 分 )如图，抛物
13、线 y=a(x-1)2+4与 x 轴交于点 A， B，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CDx轴交抛物线的对称轴于点 D，连接 BD，已知点 A 的坐标为 (-1， 0) (1)求该抛物线的解析式； (2)求梯形 COBD 的面积 . 解析 ： (1)将 A 坐标代入抛物线解析式，求出 a 的值，即可确定出解析式； (2)抛物线解析式令 x=0 求出 y 的值，求出 OC 的长，根据对称轴求出 CD的长，令 y=0求出x 的值，确定出 OB 的长，利用梯形面积公式即可求出梯形 COBD 的面积 . 答案： (1)将 A(-1， 0)代入 y=a(x-1)2+4 中，得： 0=4a+4，解得：
14、 a=-1，则抛物线解析式为y=-(x-1)2+4； (2)对于抛物线解析式，令 x=0，得到 y=3，即 OC=3， 抛物线解析式为 y=-(x-1)2+4 的对称轴为直线 x=1， CD=1 ， A( -1， 0)， B(3 ， 0)，即 OB=3，则 S 梯形 COBD= =6. 21.(10 分 )一个不透明的袋中装有 5 个黄球， 13 个黑球和 22 个红球，它们除颜色外都相同 . (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于 ，问至少取出了多少个黑球？ 解析 ： (1)根据概率公式，求摸到
15、黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率； (2)假设取走了 x 个黑球，则放入 x 个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可 . 答案： (1) 一个不透明的袋中装有 5 个黄球， 13 个黑球和 22 个红球， 摸出一个球摸是黄球的概率为： = ； (2)设取走 x 个黑球，则放入 x 个黄球， 由题意，得 ，解得： x ， x 为整数， x 的最小正整数解是 x=9. 答：至少取走了 9 个黑球 . 22.(10 分 )如图， AB 为 O 的直径，点 C 在 O 上，延长 BC 至点 D，使 DC=CB，延长 DA 与 O的另一个交点为 E，连接 AC， CE
16、. (1)求证： B=D ； (2)若 AB=4， BC-AC=2，求 CE 的长 . 解析 ： (1)由 AB 为 O 的直径，易证得 ACBD ，又由 DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得 AD=AB，即可得： B=D ； (2)首先设 BC=x，则 AC=x-2，由在 RtABC 中， AC2+BC2=AB2，可得方程： (x-2)2+x2=42，解此方程即可求得 CB 的长，继而求得 CE 的长 . 答案： (1)AB 为 O 的直径， ACB=90 ， ACBC ， 又 DC=CB ， AD=AB ， B=D ； (2)设 BC=x，则 AC=x-2， 在 RtABC 中，
17、AC2+BC2=AB2， (x -2)2+x2=42，解得： x1=1+ ， x2=1- (舍去 )， B=E ， B=D ， D=E ， CD=CE ， CD=CB ， CE=CB=1+ . 23.(10 分 )某校举办八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图，趣题巧解，数学应用，魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，下表为甲，乙，丙三位同学得分情况 (单位：分 ) (1)比赛后，甲猜测七巧板拼图，趣题巧解，数学应用，魔方复原这四个项目得分分别按 10%，40%， 20%， 30%折算 记入总分，根据猜测，求出甲的总分； (2)本次大赛组委会最后决定，总分为 80
18、分以上 (包含 80 分 )的学生获一等奖，现获悉乙，丙的总分分别是 70分， 80分 .甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是 20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖？ 解析 ： (1)根据求加权平均数的方法就可以直接求出甲的总分； (2)设趣题巧解所占的百分比为 x，数学运用所占的百分比为 y，由条件建立方程组求出其解就可以求出甲的总分 而得出结论 . 答案： (1)由题意，得甲的总分为： 6610%+8940%+8620%+6830%=79.8( 分 )； (2)设趣题巧解所占的百分比为 x，数学运用所占的百分比为 y， 由题意，得 ，解得： ， 甲的总分为： 20+890.3+
19、860.4=81.1 80， 甲能获一等奖 . 24.(14 分 )如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴， y 轴分别交于点 A(6， 0)， B(0，8)，点 C 的坐标为 (0， m)，过点 C 作 CEAB 于点 E，点 D为 x 轴上的一动点，连接 CD， DE，以 CD， DE 为边作 CDEF. (1)当 0 m 8 时，求 CE 的长 (用含 m 的代数式表示 )； (2)当 m=3 时，是否存在点 D，使 CDEF 的顶点 F 恰好落在 y 轴上？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点 D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得 CDEF 为
20、矩形，请求出所有满足条件的 m 的值 . 解析 ： (1)首先证明 BCEBAO ，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得； (2)证明 EDABOA ，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得； (3)分 m 0， m=0 和 m 0 三种情况进行讨论，当 m=0 时，一定成立，当 m 0 时，分 0 m8 和 m 8 两种情况，利用三角函数的定义即可求解 .当 m 0 时，分点 E 与点 A 重合和点 E与点 A 不重合时，两种情况进行讨论 . 答案： (1)A(6 ， 0)， B(0， 8).OA=6 ， OB=8.AB=10 ， CEB=AOB=90 ， 又 OBA=EBC ， BCEB
21、AO ， = ，即 = ， CE= - m； (2)m=3 ， BC=8 -m=5， CE= - m=3.BE=4 ， AE=AB -BE=6. 点 F 落在 y 轴上 (如图 2). DEBO ， EDABOA ， = 即 = .OD= ， 点 D 的坐标为 ( ， 0). (3)取 CE 的中点 P，过 P 作 PGy 轴于点 G.则 CP= CE= - m. () 当 m 0 时， 当 0 m 8 时，如图 3.易证 GCP=BAO ， cosGCP=cosBAO= ， CG=CPcosGCP= ( - m)= - m. OG=OC+CG=m+ - m= m+ . 根据题意得，得： OG=CP， m+ = - m，解得： m= ； 当 m8 时， OG CP，显然不存在满足条件的 m 的值 . () 当 m=0 时，即点 C 与原点 O 重合 (如图 4). () 当 m 0 时， 当点 E 与点 A 重合时， (如图 5)， 易证 COAAOB ， = ，即 = ，解得： m=- . 当点 E 与点 A 不重合时， (如图 6). OG=OC-CG=-m-( - m)=- m- . 由题意得： OG=CP， - m- = - m.解得 m=- . 综上所述， m 的值是 或 0 或 - 或 - .
