1、2013 年湖北省襄阳市中考真题数学 一、选择题 (3*12=36分 ) 1.(3 分 )2 的相反数是 ( ) A. -2 B. 2 C. D. 解析 ： 2 的相反数是 -2. 答案： A. 2.(3 分 )四川芦山发生 7.0 级地震后，一周内，通过铁路部门已运送救灾物资 15810 吨，将15810 吨，将 15810 用科学记数法表示为 ( ) A. 1.58110 3 B. 1.58110 4 C. 15.8110 3 D. 15.8110 4 解析 ： 15810=1.58110 4， 答案： B. 3.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 4a-a=3 B. a a2=a
2、3 C. (-a3)2=a5 D. a6a 2=a3 解析 ： A、 4a-a=3a，选项错误； B、正确； C、 (-a3)2=a6，选项错误； D、 a6a 2=a4，选项错误 . 答案： B. 4.(3 分 )如图，在 ABC 中， D是 BC 延长线上一点， B=40 ， ACD=120 ，则 A 等于 ( ) A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 解析 ： ACD=A+B ， A=ACD -B=120 -40=80 . 答案： C. 5.(3 分 )不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： ， 由 得： x1 ， 由 得： x -3，则
3、不等式组的解集是 -3 x1 ； 答案： D. 6.(3 分 )如图， BD 平分 ABC ， CDAB ，若 BCD=70 ，则 ABD 的度数为 ( ) A. 55 B. 50 C. 45 D. 40 解析 ： CDAB ， ABC+DCB=180 (两直线平行，同旁内角互补 )， BCD=70 ， ABC=180 -70=110 ， BD 平分 ABC ， ABD=55 ， 答案： A. 7.(3 分 )分式方程 的解为 ( ) A. x=3 B. x=2 C. x=1 D. x=-1 解析 ： 去分母得： x+1=2x，解得： x=1，经检验 x=1 是分式方程的解 . 答案： C 8
4、.(3 分 )如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 几何体的左视图和主视图是相同的，则不同的视图是俯视图，俯视图是 D 选项所给的图形 . 答案： D. 9.(3 分 )如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且 AB=5， OCD 的周长为 23，则平行四边形 ABCD 的两条对角线的和是 ( ) A. 18 B. 28 C. 36 D. 46 解析 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD=5 ， OCD 的周长为 23， OD+OC=23 -5=18， BD=2DO ， AC=2OC， 平行
5、四边形 ABCD 的两条对角线的和 =BD+AC=2(DO+OC)=36， 答案： C. 10.(3 分 )二次函数 y=-x2+bx+c 的图象如图所示：若点 A(x1， y1)， B(x2， y2)在此函数图象上，x1 x2 1， y1与 y2的大小关系是 ( ) A. y1y 2 B. y1 y2 C. y1y 2 D. y1 y2 解析 ： a 0， x1 x2 1， y 随 x 的增大而增大 y 1 y2. 答案： B. 11.(3 分 )七年级学生完成课题学习 “ 从数据谈节水 ” 后，积极践行 “ 节约用水，从我做起 ” ，下表是从七年级 400 名学生中选出 10 名学生统计各
6、自家庭一个月的节水情况： 那么这组数据的众数和平均数分别是 ( ) A. 0.4 和 0.34 B. 0.4 和 0.3 C. 0.25 和 0.34 D. 0.25 和 0.3 解析 ： 将数据按从大到小的顺序排列为： 0.2， 0.25， 0.25， 0.3， 0.3， 0.4， 0.4， 0.4， 0.4，0.5， 则众数为： 0.4；平均数为： (0.2+0.25+0.25+0.3+0.3+0.4+0.4+0.4+0.4+0.5)=0.34. 答案： A. 12.(3 分 )如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 RtABC 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点E， B、 E
7、是半圆弧的三等分点，弧 BE 的长为 ，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 连接 BD， BE， BO， EO， B ， E 是半圆弧的三等分点， EOA=EOB=BOD=60 ， BAC=EBA=30 ， BEAD ， 弧 BE 的长为 ， = ，解得： R=2， AB=ADcos30=2 ， BC= AB= ， AC= =3， S ABC = BCAC= 3= ， BOE 和 ABE 同底等高， BOE 和 ABE 面积相等， 图中阴影部分的面积为： SABC -S 扇形 BOE= - = - . 答案： D. 二、填空题 (3*5=15分 ) 13.(3 分
8、 )计算： |-3|+ = . 解析 ： 原式 =3+1=4. 答案 ： 4. 14.(3 分 )使代数式 有意义的 x 的取值范围是 . 解析 ： 根据题意得， 2x-10 且 3-x0 ，解得 x 且 x3 . 答案 ： x 且 x3 . 15.(3 分 )如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB 为 0.8m，则排水管内水的深度为 m. 解析 ： 过 O 作 OCAB ，交 AB 于点 C，可得出 AC=BC= AB=0.4m， 由直径是 1m，半径为 0.5m， 在 RtAOC 中，根据勾股定理得： OC= = =0.3(m)， 则排水管内水的深度为： 0.
9、5-0.3=0.2(m). 答案 ： 0.2. 16.(3 分 )襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩 .如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站 (每个景点被选为第一站的可能性相同 )，那么他们都选择古隆中为第一站的概率是 . 解析 ： 李老师先选择，然后儿子选择， 画出树状图如下： 一共有 9 种情况，都选择古隆中为第一站的有 1 种情况， 所以， P(都选择古隆中为第一站 )= . 答案 ： . 17.(3 分 )在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三
10、角形纸片的斜边长是 . 解析 ： 如图所示： 连接 CD， ， CD= = ， D 为 AB 中点， AB=2CD=2 ； 如图所示： 连接 EF， ， EF= =3 ， E 为 AB 中点， AB=2EF=6 ， 答案 ： 6 或 2 . 三、解答题 (69 分 ) 18.(6 分 )先化简，再求值： ，其中， a=1+ ， b=1- . 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a、 b 的值代入进行计算即可 答案： 原式 = = = =- ， 当 a=1+ ， b=1- 时，原式 =- =- =- . 19.(6 分 )如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 AB 的
11、高度，站在教学楼上的 C处测得旗杆低端 B 的俯角为 45 ，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30 ，如旗杆与教学楼的水平距离 CD 为 9m，则旗杆的高度是多少？ (结果保留根号 ) 解析 ： 根据在 RtACD 中， tanACD= ，求出 AD 的值，再根据在 RtBCD 中， tanBCD=，求出 BD 的值，最后根据 AB=AD+BD，即可求出答案 . 答案： 在 RtACD 中， tanACD= ， tan30= ， = ， AD=3 m， 在 RtBCD 中， tanBCD= ， tan45= ， BD=9m ， AB=AD+BD=3 +9(m). 答：旗杆的高度是 (3 +9)m.
12、 20.(6 分 )有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感 . (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解析 ： (1)设每轮传染中平均每人传染了 x 人，根据经过两轮传染后共有 64 人患了流感，可求出 x， (2)进而求出第三轮过后，又被感染的人数 . 答案： (1)设每轮传染中平均每人传染了 x 人， 1+x+x(x+1)=64 x=7 或 x=-9(舍去 ). 答：每轮传染中平均一个人传染了 7 个人； (2)647=448 (人 ). 答：第三轮将又有 448 人被传染 . 21.(6 分 )某中学为了预测本校应届毕
13、业女生 “ 一分钟跳绳 ” 项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图 10 所示的部分频数分布直方图 (从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值 )和扇形统计图 . 根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，并指出这个样本数据的中位数落在第 三 小组； (2)若测试九年级女生 “ 一分钟跳绳 ” 次数不低于 130 次的成绩为优秀，本校九年级女生共有 260 人，请估计该校九年级女生 “ 一分钟跳绳 ” 成绩为优秀的人数； (3)如测试九年级女生 “ 一分钟跳绳 ” 次数不低于 170 次的成绩为满分，在这个样本中，从
14、成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是多少？ 解析 ： (1)首先求得总人数，然后求得第四组的人数，即可作出统计图； (2)利用总人数 260 乘以所占的比例即可求解 ； (3)利用概率公式即可求解 . 答案： (1)总人数是： 1020%=50 (人 )， 第四组的人数是： 50-4-10-16-6-4=10， ， 中位数位于第三组； (2)该校九年级女生 “ 一分钟跳绳 ” 成绩为优秀的人数是： 260=104 (人 )； (3)成绩是优秀的人数是： 10+6+4=20(人 )， 成绩为满分的人数是 4，则从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是=0.2. 22.(
15、6 分 )平行四边形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中 A(-4， 0)， B(2， 0)，C(3， 3)反比例函数 y= 的图象经过点 C. (1)求此反比例函数的解析式； (2)将平行四边形 ABCD 沿 x 轴翻折得到平行四边形 ADCB ，请你通过计算说明点 D 在双曲线上； (3)请你画出 ADC ，并求出它的面积 . 解析 ： (1)把点 C(3， 3)代入反比例函数 y= ，求出 m，即可求出解析式； (2)过 C 作 CEx 轴于点 E，过 D作 DFx 轴于点 F，则 CBEDAF ，根据线段之间的数量关系进一步求出点 D 的坐标，再点 D 与点 D 关于 x
16、 轴对称，求出 D 坐标，进而判断点 D是不是在双曲线； (3)根据 C(3， 3)， D (-3， -3)得到点 C 和点 D 关于原点 O 中心对称，进一步得出 DO=CO=DC ，由 SADC =2SAOC =2 AO CE 求出面积的值 . 答案： (1) 点 C(3， 3)在反比例函数 y= 的图象上， 3= ， m=9 ， 反比例函数的解析式为 y= ； (2)过 C 作 CEx 轴于点 E，过 D 作 DFx 轴于点 F， 则 CBEDAF ， AF=BE ， DF=CE， A (-4， 0)， B(2， 0)， C(3， 3)， DF=CE=3 ， OA=4， OE=3， OB
17、=2， OF=OA -AF=OA-BE=OA-(OE-OB)=4-(3-2)=3， D (-3， 3)， 点 D 与点 D 关于 x 轴对称， D (-3， -3)， 把 x=-3 代入 y= 得， y=-3， 点 D 在双曲线上； (3)C (3， 3)， D (-3， -3)， 点 C 和点 D 关于原点 O 中心对称， DO=CO= DC ， S ADC =2SAOC =2 AO CE=2 43=12 ，即 SADC =12. 23.(7 分 )如图 1，点 A 是线段 BC 上一点， ABD 和 ACE 都是等边三角形 . (1)连结 BE， CD，求证： BE=CD； (2)如图 2
18、，将 ABD 绕点 A 顺时针旋转得到 ABD . 当旋转角为 60 度时，边 AD 落在 AE 上； 在 的条件下，延长 DD 交 CE 于点 P，连接 BD ， CD .当线段 AB、 AC 满足什么数量关系时， BDD 与 CPD 全等？并给予证明 . 解析 ： (1)根据等边三角形的性质可得 AB=AD， AE=AC， BAD=CAE=60 ，然后求出BAE=DAC ，再利用 “ 边角边 ” 证明 BAE 和 DAC 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； (2) 求出 DAE ，即可得到旋转角度数； 当 AC=2AB 时， BDD 与 CPD 全等 .根据旋转的性质可得 AB=BD
19、=DD=AD ，然后得到四边形 ABDD 是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得 ABD=DBD=30 ，菱形的对边平行可得 DPBC ，根据等边三角形的性质求出 AC=AE， ACE=60 ，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出 PCD=ACD=30 ，从而得到ABD=DBD=BDD=ACD=PDC=30 ，然后利用 “ 角边角 ” 证明 BDD 与CPD 全等 . 答案： (1)ABD 和 ACE 都是等边三 角形 .AB=AD ， AE=AC， BAD=CAE=60 ， BAD+DAE=CAE+DAE ，即 BAE=DAC ， 在 BAE 和 DAC 中， ， BAEDAC (SAS)
20、， BE=CD ； (2)BAD=CAE=60 ， DAE=180 -602=60 ， 边 AD 落在 AE 上， 旋转角 =DAE=60 . 故答案为： 60. 当 AC=2AB 时， BDD 与 CPD 全等 . 理由如下：由旋转可知， AB 与 AD 重合， AB=BD=DD=AD ， 四边形 ABDD 是菱形， ABD=DBD= ABD= 60=30 ， DPBC ， ACE 是等边三角形， AC=AE ， ACE=60 ， AC=2AB ， AE=2AD ， PCD=ACD= ACE= 60=30 ， 又 DPBC ， ABD=DBD=BDD=ACD=PCD=PDC=30 ， 在 B
21、DD 与 CPD 中， ， BDDCPD (ASA). 24.(9 分 )某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买 10 副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配 x(x2 )个羽毛球，供社区居民免费借用 .该社区附近 A、 B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为 30 元，每个羽毛球的标价为 3 元，目前两家超市同时在做促销活动： A 超市：所有商品均打九折 (按标价的 90%)销售； B 超市：买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球 . 设在 A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yA(元 )，在 B 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yB(元 ).请解答下列问题： (
22、1)分别写出 yA、 yB与 x 之间的关系式； (2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配 15 个 羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案 . 解析 ： (1)根据购买费用 =单价 数量建立关系就可以表示出 yA、 yB的解析式； (2)分三种情况进行讨论，当 yA=yB时，当 yA yB时，当 yA yB时，分别求出购买划算的方案； (3)分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论 . 答案： (1)由题意，得 yA=(1030+310x )0.9=27x+270 ； yB=1030+3 (10x-20)=30x+2
23、40； (2)当 yA=yB时， 27x+270=30x+240，得 x=10； 当 yA yB时， 27x+270 30x+240，得 x 10； 当 yA yB时， 27x+270 30x+240，得 x 10 当 2x 10 时，到 B 超市购买划算，当 x=10 时，两家超市一样划算，当 x 10时在 A超市购买划算 . (3)由题意知 x=15， 15 10， 选择 A 超市， yA=2715+270=675 (元 )， 先选择 B 超市购买 10 副羽毛球拍，送 20 个羽毛球，然后在 A超市购买剩下的羽毛球： (1015 -20)30.9=351 (元 )，共需要费用 1030+
24、351=651 (元 ). 651 元 675 元， 最佳方案是先选择 B 超市购买 10 副羽毛球拍，然后在 A 超市购买 130个羽毛球 . 25.(10 分 )如图， ABC 内接于 O ，且 AB 为 O 的直径 .ACB 的平分线交 O 于点 D，过点D 作 O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B作 BFCD 于点F. (1)求证： DPAB ； (2)若 AC=6， BC=8，求线段 PD 的长 . 解析 ： (1)连结 OD，由 AB 为 O 的直径，根据圆周角定理得 AB 为 O 的直径得 ACB=90 ，再由 ACD=BCD=
25、45 ，则 DAB=ABD=45 ，所以 DAB 为等腰直角三角形，所以 DOAB ，根据切线的性质得 ODPD ，于是可得到 DPAB ； (2)先根据勾股定理计算出 AB=10，由于 DAB 为等腰直角三角形，可得到 AD= =5 ；由ACE 为等腰直角三角形，得到 AE=CE= =3 ，在 RtAED 中利用勾股定理计算出 DE=4 ，则 CD=7 ，易证得 PDAPCD ，得到 = = = ，所以 PA= PD， PC= PD，然后利用 PC=PA+AC 可计算出 PD. 答案： (1)连结 OD，如图， AB 为 O 的直径， ACB=90 ， ACB 的平分线交 O 于点 D， A
26、CD=BCD=45 ， DAB=ABD=45 ， DAB 为等腰直角三角形， DOAB ， PD 为 O 的切线， ODPD ， DPAB ； (2)在 RtACB 中， AB= =10， DAB 为等腰直角三角形， AD= = =5 ， AECD ， ACE 为等腰直角三角形， AE=CE= = =3 ， 在 RtAED 中， DE= = =4 ， CD=CE+DE=3 +4 =7 ， PDA=PCD ， P=P ， PDAPCD ， = = = ， PA= PD， PC= PD，而 PC=PA+AC， PD+6= PD， PD= . 26.(13 分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx+
27、c 与 x 轴的一个交点 A的坐标为 (-1， 0)，对称轴为直线 x=-2. (1)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； (2)点 D 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是抛物线上的另一点 .已知以 AB 为一底边的梯形 ABCD的面积为 9.求此抛物线的解析式，并指出顶点 E 的坐标； (3)点 P 是 (2)中抛物线对称轴上一动点，且以 1 个单位 /秒的速度从此抛物线的顶点 E 向上运动 .设点 P 运动的时间为 t 秒 . 当 t 为 秒时， PAD 的周长最小？当 t 为 秒时， PAD 是以 AD 为腰的等腰三角形？ (结果保留根号 ) 点 P 在运动过程中，是否存在一点
28、 P，使 PAD 是以 AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)根据抛物线的轴对称性可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； (2)先根据梯形 ABCD 的面积为 9，可求 c 的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点 E 的坐标； (3) 根据轴对称 -最短路线问题的求法可得 PAD 的周长最小时 t 的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得 PAD 是以 AD 为腰的等腰三角形时 t 的值； 先证明 APNPDM ，根据相似三角形的性质求得 PN 的值，从而得到点 P 的坐标 . 答案： (1)由抛物线的
29、轴对称性及 A(-1， 0)，可得 B(-3， 0). (2)设抛物线的对称轴交 CD 于点 M，交 AB 于点 N， 由题意可知 ABCD ，由抛物线的轴对称性可得 CD=2DM. MNy 轴， ABCD ， 四边形 ODMN 是平行四边形 DON=90 平行四边形 ODMN 是矩形 . DM=ON=2 ， CD=22=4 . A (-1， 0)， B(-3， 0)， AB=2 ， 梯形 ABCD 的面积 = (AB+CD) OD=9， OD=3 ，即 c=3. 把 A(-1， 0)， B(-3， 0)代入 y=ax2+bx+3 得 ，解得 . y=x 2+4x+3.将 y=x2+4x+3 化为顶点式为 y=(x+2)2-1，得 E(-2， -1). (3) 当 t 为 2 秒时， PAD 的周长最小；当 t 为 4 或 4- 或 4+ 秒时， PAD 是以 AD为腰的等腰三角形 . 故答案为： 2； 4 或 4- 或 4+ . 存在 .设 CD 交抛物线对称轴于 M， AB 交抛物线对称轴于 N， APD=90 ， PMD=PNA=90 ， DPM+APN=90 ， DPM+PDM=90 ， PDM=APN ， PMD=ANP ， APNPDM ， = ， = ， PN 2-3PN+2=0， PN=1 或 PN=2.P (-2， 1)或 (-2， 2).
