1、 黄 石市 2013 年初中毕业生学业考试 数 学 试 题 卷 姓名： 准考证号： 一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3分，共 30 分） 1. 7 的倒数是 A. 17B. 7 C. D. 7 2一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化， 1 个天文单位是地球与太阳之间平均距离，即 1.4960 亿千米，用科学记数法表示 1 个天文单位应是 A. 71.4960 10 千米 B. 714.960 10 千米 C. 81.4960 10 千米 D. 90.14960 10 千米 3分式方程 3121xx 的解为 A. 1x B. 2x C. 4x D. 3x 4如图，下列四个几何体
2、中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不相同的几何体是 A B C D 5已知直角三角形 ABC 的一条直角边 12AB cm ，另一条直角边 5BC cm ，则以 AB 为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是 A. 290cm B. 2209cm C. 2155cm D. 265cm 6为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班 15 名同学积极捐款，他们捐款数额如下表： 关于这 15 名同学所捐款的数额，下列说法正确的是 A.众数是 100 B.平均数是 30 C.极差是 20 D.中位数是 20 7四川雅安地震期间，为了紧急安置 60 名地震灾民，需要搭建可容纳
3、 6 人或 4 人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这 60 名灾民，则不同的搭建方案有 A.4 种 B.11 种 C.6 种 D.9 种 8如右图，在 Rt ABC 中， 90ACB， 3AC ， 4BC ，以点为圆心， CA 为半径的圆与 AB 交于点 D ，则 AD 的长为 A. B. 245C. 185D. 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数（单位：个） 2 4 5 3 1 正方体 圆柱 圆锥 球 C A D B 9把一副三角板如图甲放置，其中90A C B D E C ， 45A ，30D ，斜边 6AB ， 7DC ，把三角板 DCE 绕着点顺时
4、针旋转 15得到11DCE（如图乙），此时 AB 与1CD交于点，则线段1AD的长度为 A.32 B. C. 4 D. 31 10.如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为 ，高度为，则关于的函数图像大致是 二、认真填一填（本题有 6 个小题，每小题 3分，共 18 分） 11.分解因式： 23 27x . 12.若关于的函数 2 21y kx x 与轴仅有一个公共点，则实数的值为 . 13.甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字 0、 1、 2、 3，先由甲心中任选一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所选的数字，记
5、为。若、满足 1mn，则称甲、乙两人“心有灵犀”。则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 . 14.如右图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，圆1O与圆2O外切，且圆1O分别与 DA 、 DC 边相切，圆2O分别与 BA 、C D O2 O1 A B y O x A. y O x B. y O x C. y O x D. D C A E B A D1 O E1 B C 图甲 图乙 BC 边相切，则圆心距 12OO 为 . 15. 如 右 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 次 函 数( 0 )y ax b a 的图像与反比例函数 ( 0)kykx的图像交于二、四象限的、两点，与轴
6、交于点。已知( 2, )Am ， ( , 2)Bn ， 2tan 5BOC， 则此一次函数的解析式为 . 16.在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。而计数制方法很多，如 60 进位制： 60 秒化为 1 分， 60 分化为 1 小时； 24 进位制： 24 小时化为 1天； 7 进位制： 7 天化为 1 周等而二进位制是计算机处理数据的依据。已知二进位制与十进位制的比较如下表： 十进位制 0 1 2 3 4 5 6 二进制 0 1 10 11 100 101 110 请将二进制数 10101010（二） 写成十进制数为 . 三、全面答一答（本题有 9 个小题，共 72分）
7、 17.（本小题满分 7 分）计算： 013 13 3 t a n 3 0 8 ( 2 0 1 3 ) ( )3 18.（本小题满分 7 分）先化简，后计算： 11()ba b b a a b，其中 512a ， 512b . 19.（本小题满分 7 分）如图， AB 是圆的直径， AM 和 BN 是圆的两条切线，是圆上一点， D 是 AM 上一点，连接 DE 并延长交 BN 于，且 /OD BE ， /OF BN . （ 1）求证： DE 是圆的切线； （ 2）求证： 12OF CD. A D M O E F B C N O A y C B x 20.（本小题满分 8 分）解方程： 22 1
8、2 22 2 5 3xyxy 21.（本小题满分 8 分）青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校 600 名学生的心理健康状况，举行了一次“心理健康”知识测试，并随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图 . 请解答下列问题： （ 1）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图； （ 2）若成绩在 70 分以上（不含 70 分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的 70以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就需要加强心理辅导。请根据上述数据分析该校学生是否需要加强心
9、理辅导，并说明理由 . 22.（本小题满分 8 分）高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音。如图，点是某市一高考考点，在位于考点南偏西 15方向距离 125 米的点处有一消防队。在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于点北偏东 75方向的 F 点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径为 100 米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶。试问： 分 组 频数 频率 50.5 60.5 4 0.08 60.5 70.5 14 0.28 70.5 80.5 16 80.5 90. 5 90.5 100.5 10 0.20 合 计 1.00
10、50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 x O y 频率 组距 消防车是否需要改道行驶？说明理由 .（ 3 取 1.732） 23.（本小题满分 8 分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车 同时出发，设客车离甲地的距离为1y千米，出租车离甲地的距离为2y千米，两车行驶的时间为小时，1y、2y关于的函数图像如右图所示： （ 1）根据图像，直接写出1y、2y关于的函数关系式； （ 2）若两车之间的距离为千米，请写出关于的函数关系式； （ 3）甲、乙两地间有、两个加油站，相距 200 千米，若客车进入加油站时，出租车恰好进入加油站，求加油站离甲地的距离 .
11、24.（本小题满分 9 分）如图 1，点将线段 AB 分成两部分，如果 AC BCAB AC，那么称点为线段 AB 的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S、2S，如果121SSSS，那么称直线为该图形的黄金分 割线 . （ 1）如图 2，在 ABC 中， 36A ， AB AC ， C 的平分线交 AB 于点 D ，请问点 D 是否是AB 边上的黄金分割点，并证明你的结论； （ 2）若 ABC 在（ 1）的条件下，如图（ 3），请问直线 CD 是不是 ABC 的黄
12、金分割线，并证明你的结论； （ 3）如图 4，在直角梯形 ABCD 中， 90DC ，对角线 AC 、 BD 交于点 F ，延长 AB 、 DC交于点，连接 EF 交梯形上、下底于 G 、 H 两点，请问直线 GH 是不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线，C 北 A 15 75 F 北 y（千米） x(小时 ) 10 6 O 600 出租车 客车 并证明你的结论 . 25.（本小题满分 10 分）如图 1 所示，已知直线 y kx m与轴、轴分别交于、两点，抛物线 2y x bx c 经过、两点，点是抛物线与轴的另一个交点，当 12x时，取最大值 254. （ 1）求抛物线和直线的解析式； （
13、 2）设点是直线 AC 上一点，且 S ABP ： S BPC 1:3 ，求点的坐标； （ 3）若直线 12y x a与（ 1）中所求的抛物线交于 M 、 N 两点，问 : 是否存在的值，使得 090MON？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 猜想当 090MON时，的取值范围（不写过程，直接写结论） . （参考公式：在平面直角坐标系中，若11( , )M x y，22( , )N x y，则 M ， N 两点间的距离为222 1 2 1( ) ( )M N x x y y ） 黄石市 2013 年初中毕业生学业考试 E A C B A D B C A C D H A B B F C D
14、 图 1 图 2 图 3 图 4 A C O B x y 图 1 数学答案及评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B A D C C B A 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11 3( 3)( 3)xx 12 0k 或 1k 13 14 6 3 2 15 3yx 16 170 三、解答题（ 9 小题，共 72 分） 17 (7 分 )解：原式 33 3 2 1 33 （ 5 分） 4 （ 2 分） 18 （ 7 分）解：原式 22()a b a a b ba b a b （ 2 分） 2()()a b
15、 a ba b a b a b （ 2 分） 当 512a ， 512b 时，原式的值为 5 。 （ 3 分） 19（ 1）证明：连接 OE ， AM 是的切线， OA是的半径 90DAO AD BC AO D O BE ， D O E O EB OB OE O EB O BE 在 AOD 和 DOE 中 O A O EA O D D O EO D O D A O D D O E 90D A O D E O DE 与相切 （ 3 分） （ 2） AM 和 BN 是的两切线 MA AB ， NB AB AD BC 是 AB 的中点， OF BN OF 1 ()2 AD BC且 1 ()2O F
16、A D B C DE 切于点 DA DE ， CB CE DC AD CB 12OF CDAD E C BF （ 4 分） 20 (8 分 )解：依题意 22 12 22 2 5 3xyxy （ 2 分） 由 得 224 2 1xy 由 得 2 2 5 3x 将 代入 化简得 29 6 5 5 0yy （ 4 分） 即 1253yy 代入 得 1216xx 原方程组的解为12121653xxyy （ 4 分） 21（ 8 分）解：（ 1） 分 组 频数 频率 50.5 60.5 4 0.08 60.5 70.5 14 0.28 70.5 80.5 16 0.32 80.5 90.5 6 0.1
17、2 90.5 100.5 10 0.20 合 计 50 1.00 （ 6 分） （ 2） 0 . 3 2 0 . 1 2 0 . 2 0 0 . 6 4 0 . 7 0 说明该校的学生心理健康状况不正常，需要加强心理辅导 （ 2分） 22（ 8 分）解：过点作 AH CF 交 CF 于 H 点，由图可知 0 0 07 5 1 5 6 0A C H （ 3 分） 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 x O y 频率 组距 0 3 1 . 7 3 2s i n 6 0 1 2 5 1 2 5 1 0 8 . 2 5 ( )22A H A C m （ 3 分） 100AH
18、米 不需要改道行驶 （分） 23（ 8 分）解：（ 1）1 60yx（ 10x ） 2 1 0 0 6 0 0yx （ 6x ） （ 2 分） （ 2）1 6 0 6 0 01 6 0 6 0 060xSxx15(0 )415( 6)4(6 10)xxx（ 3）由题意得： 200S 当 1504x时， 1 6 0 6 0 0 2 0 0x 52x1 6 0 1 5 0yx（ km ） 当 15 64 x时， 1 6 0 6 0 0 2 0 0x 5x 1 6 0 3 0 0yx（ km ） 当 6 10x 时， 60 360x （舍） （ 3 分） 24（ 9 分）解：（ 1） 点 D 是 A
19、B 边上的黄金分割点，理由如下： 36A ， AB AC 72B A C B CD 平分 ACB 36DCB 72B D C B A BCD ， BB BCD BAC BC BDAB BC又 BC CD AD AD BDAB AB D 是 AB 边上的黄金分割点 （ 3 分） （ 2） 直线 CD 是 ABC 的黄金分割线，理由如下： 设 ABC 的边 AB 上的高为，则 12A D CS A D h， 12D B CS B D h， 12ABCS A B h :A D C A B CS S A D A B， :D B C A D CS S B D A D D 是 AB 的黄金分割点 AD B
20、DAB AD :A D C A B C D B C A D CS S S S CD 是 ABC 的黄金分割线 （ 3 分） （ 3） GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线 BC AD EBG EAH ， EGC EHD BG EGAH EH GC EGHD EH 由 、 得 BG GCAH HD即 BG AHGC HD 同理，由 BGF DHF ， CGF AHF 得 BG GCHD AH 即 BG HDGC AH 由 、 得 AH HDHD AH AH HD BG GC 梯形 ABGH 与梯形 GCDH 上下底分别相等，高也相等 梯形ABGH S 梯形 GCDH 12S 梯形 ABCD
21、 GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线 （ 3 分） 25（ 10 分）解：（ 1）由题意得 212 ( 1 ) 24 ( 1 ) 2 54 ( 1 ) 4bcb 解得 16bc抛物线的解析式为 2 6y x x ( 3,0)A ， (2,0)B 直线 AC 的解析式为 26yx （ 2 分） （ 2）分两种情况： 点在线段 AC 上时，过 作 PH x 轴，垂足为 H 13ABPBPCS APS P C 14APAC PH CO 14P H A H A PC O A O A C 32PH， 34AH 94HO 93( , )42P 点 在线段 CA 的延长线上时，过作 PG x 轴，垂
22、足为 G 13ABPBPCS APS P C 12APAC PG CO 12P G A G A PC O A O A C 3PG ， 32AG 92GO 9( , 3)2P 综上所述，193( , )42P 或29( , 3)2P （ 4 分） （ 3） 方法 1：假设存在 的值，使直线 12y x a与（ 1）中所求的抛物线2 6y x x 交于 11( , )M x y 、 22( , )N x y 两点（ M 在 N 的左侧 ） ，使得090MON 由212 6y x ay x x 得 22 3 2 1 2 0x x a 1232xx ，12 6x x a 又1112y x a，2212
23、y x a1 2 1 211( ) ( )22y y x a x a 21 2 1 211 ()42x x x x a a 26344a aa 090MON 2 2 2O M O N M N 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 1 2 1( ) ( )x y x y x x y y 1 2 1 2 0x x y y 2636044aa a a 即 22 1 5 0aa 3a 或 52a存在 3a 或 52a使得 090MON （ 3 分） 方法 2：假设存在 的值，使直线 12y x a与（ 1）中所求的抛物 线 2 6y x x 交于11( , )M x y、22( , )N x y两点（ M 在 轴 上 侧 ） ，使得090MON，如图，过 M作 MP x 于 ，过 N 作NQ x 于 可证明 MPO OQN MP POOQ QN即1122yxxy 1 2 1 2x x y y即1 2 1 2 0x x y y 以下过程同上 当 532a 时， 090MON （ 1 分） A C O B x y M N P Q A C O B x y M N P Q M N -3 52
