1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利 ! 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，那么 球的表面积公式 (
2、)()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 AB， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ()()()PAB PA PB= 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 i 是虚数单位，32i1i=（ ） 1i+ 1i+ 1i 1i 2设变量 x y， 满足约束条件1133xyxyxy + ， 的离心率为 3 ，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） 22112 24xy= 22148 96xy = 222133xy= 22136xy = 5函数2log ( 4 2)( 0)yxx=+的反函数是（ ） 142( 2)xx
3、yx+= 142( 1)xxyx+= 242( 2)xxyx+= 242( 1)xxyx+= 6设 ab， 为两条直线， ， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） 若 ab， 与 所成的角相等，则 ab 若 ab ， ， ，则 ab 若 abab ， ，则 若 ab ， ， ，则 ab 7在 R 上定义的函数 ()f x 是偶函数，且 () (2 )f xf x= ，若 ()f x 在区间 1 2， 上是减函数，则 ()f x （ ） 在区间 2 1， 上是增函数，在区间 3 4， 上是增函数 在区间 2 1， 上是增函数，在区间 3 4， 上是减函数 在区间 2 1， 上是减函数，
4、在区间 3 4， 上是增函数 在区间 2 1， 上是减函数，在区间 3 4， 上是减函数 8设等差数列 na 的公差 d 不为 0，19ad= 若ka 是1a 与2ka 的等比中项，则 k =（ ） 2 4 6 8 9设 abc， 均为正数，且122logaa= ，121log2bb=，21log2cc=则（ ） abc （）求数列 na 的通项公式； （）求数列 na 的前 n 项和nS ； ABC D PE（）证明存在 kN ，使得11nknkaaaa+ 对任意 nN 均成立 22 （本小题满分 14 分） 设椭圆22221( 0)xyabab+=的左、右焦点分别为12FFA， 是椭圆上的
5、一点，212AF F F ，原点 O 到直线1AF 的距离为113OF （）证明 2ab= ； （）设12QQ， 为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ，过原点 O 作直线12QQ 的垂线 OD ，垂足为 D ，求点 D 的轨迹方程 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 11 2 12 14 13 3 14 30xy+= 1583 16 390 三、解答题 17本小题考查三角函数
6、中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin( )yA x =+的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分 （）解：( ) 2cos (sin cos ) 1 sin 2 cos 2 2 sin 24fx x x x x x x=+= 因此，函数 ()f x 的最小正周期为 （） 解法一： 因为() 2sin24fx x=在区间 388 ， 上为增函数， 在区间3 384，上为减函数， 又08f=，328f=，3 3 2sin 2cos 14244f = = = ， 故函数 ()f x 在区间 384 ， 上的最大值为 2 ，最小值为 1 解法二：作函数() 2sin
7、24fx x=在长度为一个周期的区间 984 ， 上的图象如下： y x O 22 83858347898由图象得函数 ()f x 在区间 384， 上的最大值为 2 ，最小值为314f= 18本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分 （）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A ， “从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 B 由于事件 AB， 相互独立，且23241()2CPAC= = ，24262()5CPBC= 故取出的 4 个球均为黑球的概率为12 1()()()25 5PAB P
8、A PB= = （）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球，1 个是黑球”为事件 C ， “从甲盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 D 由于事件 CD， 互斥， 且2 113 2422464()15C CCPCCC= ，1 23 422461()5C CPDCC= = 故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为417()()()15 5 15PC D PC PD+ =+=+= （）解： 可能的取值为 0123， ， ， 由（） ， （）得1(0)5P = = ，7(1)15P = ，
9、13224611(3)30CPCC = = 从而3(2)1(0)(1)(3)10PPPP= = = = = = 的分布列为 0 1 2 3 P 15715310130 的数学期望17 3 1701 2 3515 10 306E =+ + + = 19本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力满分 12 分 （）证明：在四棱锥 P ABCD 中，因 PA 底面 ABCD ， CD 平面 ABCD ，故PA CD AC CD PA AC A=， ， CD 平面 PAC 而 AE 平面 PAC ， CD AE （）证明：由 PA AB BC=
10、 = ， 60ABC = ，可得 AC PA= E 是 PC 的中点， AE PC 由（）知， AECD ，且 PC CD C= ，所以 AE 平面 PCD 而 PD 平面 PCD ， AE PD PA 底面 ABCD PD， 在底面 ABCD 内的射影是 AD ， ABAD ， ABPD 又 AB AE A= ，综上得 PD 平面 ABE （） 解法一： 过点 A 作 AMPD ， 垂足为 M ， 连结 EM 则 （） 知， AE 平面 PCD ，AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ，则 EMPD 因此 AME 是二面角 A PD C的平面角 由已知，得 30CAD= 设 ACa= ，
11、可得23 21 233PA a AD a PD a AE a= = =， 在 ADPRt 中， AMPD ， AMPD PAAD= ， 则232737213aaPA ADAM aPDa= = 在 AEMRt 中，14sin4AEAMEAM= 所以二面角 APDC的大小是14arcsin4 解法二：由题设 PA 底面 ABCD ， PA平面 PAD ，则平面 PAD 平面 ACD ，交线为 AD 过点 C 作 CF AD ，垂足为 F ，故 CF 平面 PAD 过点 F 作 FM PD ，垂足为 M ，连结 CM ，故 CM PD 因此 CMP 是二面角 A PD C 的平面角 由已知，可得 3
12、0CAD= ，设 ACa= ， 可得23 21 1 33326PAaAD aPD aCF aFD a= = = =， FMD PAD ，FM FDPA PD= 于是，37614213aaFD PAFM aPDa= 在 CMFRt 中，12tan 7714aCFCMFFMa= = 所以二面角 APDC的大小是 arctan 7 20本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法满分 12 分 （）解：当 1a = 时，22()1xfxx=+，4(2)5f = ， ABC D PE F M ABC D PEM又2
13、222 222( 1) 2 2 2 2()(1) (1)x xx xfxxx+ =+，6(2)25f = 所以，曲线 ()y fx= 在点 (2 (2)f， 处的切线方程为46(2)525yx = ， 即 62320xy+= （）解：2222 222( 1) 2(2 1) 2( )( 1)()(1) (1)ax xaxa xaaxfxxx+ + + =+ 由于 0a ，以下分两种情况讨论 （ 1）当 0a 时，令 () 0fx = ，得到11xa= ，2x a= 当 x 变化时， () ()f xfx ， 的变化情况如下表： x 1a，1a1aa， a ()a +， ()f x 0 + 0 (
14、)f x + 极小值null 极大值null 所以 ()f x 在区间1a， ， ()a +， 内为减函数，在区间1aa， 内为增函数 函数 ()f x 在11xa= 处取得极小值1fa，且21f aa =， 函数 ()f x 在21xa= 处取得极大值 ()f a ，且 () 1fa= （ 2）当 0a ， 可得111221nnaa+ =+ ， 所以2nnna为等差数列， 其公差为 1， 首项为 0， 故21nnnan =， 所以数列 na的通项公式为 (1) 2nnnan= + （）解：设234 123 (2) (1)nnnTnn =+ + + +null ， 345 123 (2)(1)
15、nnn +=+ + + +null 当 1 时，式减去式， 得2123 1 1(1 ) ( 1) ( 1)1nnn nnTn + +=+ = null ， 21 1 2 1222(1) (1)(1 ) 1 (1 )nn nnnnnT + = = 这时数列 na 的前 n 项和21212(1)22(1 )nnnnnnS+=+ 当 1 = 时，(1)2nnnT= 这时数列 na 的前 n 项和1(1)222nnnnS+= + （）证明：通过分析，推测数列1nnaa+ 的第一项21aa最大，下面证明： 21 214,22nna anaa+知 0na ，要使式成立，只要212(4)(2)nnaan+=
16、 121222 2nnnna+=， 所以式成立 因此，存在 1k = ，使得1121nknkaaaaaa+= 对任意 nN 均成立 22 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线方程、 求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14 分 （）证法一：由题设212AF F F 及1(0)Fc ， ，2(0)Fc， ，不妨设点 ()A cy， ，其中0y 由于点 A 在椭圆上，有22221cyab+ = ，即22 2221ab yab+ = 解得2bya= ，从而得到2bAca， 直线1AF 的方程为2()2by xcac=+，整理得2220b
17、x acy bc += 由题设，原点 O 到直线1AF 的距离为113OF ，即242234cbcbac=+， 将222cab=代入上式并化简得222ab= ，即 2ab= 证法二：同证法一，得到点 A 的坐标为2bca， 过点 O 作1OB AF ，垂足为 B ，易知1FBO 12FF A ，故211BOFAOF F A= 由椭圆定义得122AF AF a+=，又113BOOF= ， 所以2212132FA FAFA a FA=， 解得22aFA= ，而22bFAa= ，得22baa= ，即 2ab= （）解法一：设点 D 的坐标为00()x y， 当00y 时，由12OD Q Q 知，直线
18、12QQ 的斜率为00xy ，所以直线12QQ 的方程为0000()xy xx yy= + ，或 ykxm=+，其中00xky= ，2000xmyy=+ 点11 1 2 2 2()( )Qx y Qx y， ， 的坐标满足方程组22222ykxmx yb=+=，将式代入式，得2222( ) 2x kx m b+=， 整理得22 2 2(1 2 ) 4 2 2 0kx kmx m b+=， 于是122412kmxxk+=+，21222212mbxxk=+ 由式得2212 1 2 12 1 2()() ()yy kx m kx m k xx kmx x k= +=+ 22 22222 4 212
19、12 12mb km mbkkkmkk =+=+ + 由12OQ OQ 知12 120xx yy+=将式和式代入得22222322012mbbkk=+， 22 232(1)mbk=+ 将2000x xkmyy y= = +， 代入上式，整理得22 20023x yb+= A O 1F2F B xy 当00y = 时，直线12QQ 的方程为0x x= ，11 1 2 2 2()( )Qx y Qx y， ， 的坐标满足方程组022222xxx yb=+=，所以120x xx=，2201222bxy=， 由12OQ OQ 知12 120xx yy+=，即222 00202bxx = ， 解得220
20、23x b= 这时，点 D 的坐标仍满足22 20023x yb+= 综上，点 D 的轨迹方程为 22 223x yb+= 解法二： 设点 D 的坐标为00()x y， ， 直线 OD 的方程为000yx xy = ， 由12OD Q Q ，垂足为 D ，可知直线12QQ 的方程为2200 00x xyyx y+ =+ 记2200mx y=+（显然 0m ） ，点11 1 2 2 2()( )Qx y Qx y， ， 的坐标满足方程组0022222xx yy mxyb+=+=， 由式得00y ymxx= 由式得22 22 2200 022yx yy yb+= 将式代入式得22 2 220002
21、( ) 2yx m xx yb+ = 整理得222 2 2200 0 0(2 ) 4 2 2 0xyx mxxm by+=， 于是2220122200222mbyxxx y=+ 由式得00x xmyy= 由式得22 22 2200 022x xxyxb+= 将式代入式得222 22000()2myy xy xb+=， 整理得222 2 2200 0 0(2 ) 2 2 0xyy myym bx+=， 于是222012220022mbxyyx y=+ 由12OQ OQ 知12 120xx yy+=将式和式代入得2222220022 2200 0022 20mbymbxxy xy+ =+， 22220032( )0mbxy+= 将2200mx y=+代入上式，得22 20023x yb+= 所以，点 D 的轨迹方程为22 223x yb+=
