1、2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） 理科数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 II 卷第 22 题为选考题，其他题为必考题考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上 2选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚 3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出
2、答题区域书写的答案无效 4保持卡面清洁，不折叠，不破损 5作选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 参考公式： 样本数据1x ，2x ， null ，nx 的标准差 锥体体积公式 22 2121( ) ( ) ( ) nsxxxx xxn=+null 13VSh= 其中 x为样本平均数 其中 S 为底面面积、 h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 VSh= 24SR= ，343VR= 其中 S 为底面面积， h为高 其中 R为球的半径 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
3、的 1已知命题 :pxR ， sin 1x ，则（ ） :pxR ， sin 1x :px R ， sin 1x :pxR ， sin 1x :px R ， sin 1x 2已知平面向量 (1 1) (1 1)= =， ，ab，则向量1322 =ab（ ） (2 1)， (21) ， (10) ， (12) ， 3函数sin 23yx=在区间2， 的简图是（ ） 4已知 na 是等差数列，1010a = ，其前 10 项和1070S = ，则其公差 d =（ ） 23 13 13235如果执行右面的程序框图，那么输出的 S =（ ） 2450 2500 2550 2652 6已知抛物线22(
4、0)ypxp=的焦点为 F ， 点11 1 2 2 2()( )Px y Px y， ， ，33 3()Px y， 在抛物线上， 且2132x xx=+， 则有（ ） 12 3FP FP FP+= 22 212 3FP FP FP+= 2132 FP FP FP=+ 2213FP FP FP= 7已知 0x ， 0y ， x aby， 成等差数列， x cdy， 成等比数列，则2()abcd+的最小值是（ ） 0 1 2 4 yx11 23O 6 yx1123O6 yx1 1 23O6 yx 261O13开始 1k = 0S = 50?k是 2SS k=+ 1kk=+ 否 输出 S 结束 8已
5、知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： cm） ，可得这个几何体的体积是（ ） 34000cm338000cm332000cm 34000cm 9若cos 2 2 2sin4=，则 cos sin + 的值为（ ） 72 12 127210曲线12exy = 在点2(4 e )， 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 29e224e 22e 2e 11甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表 123sss， 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） 312sss 213sss 123sss 231sss 12一个四棱锥和一
6、个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等， 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等 设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ， h，则12:hhh=（ ） 3:1:1 3:2:2 3:2: 2 3:2: 3 甲的成绩 环数 7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩 环数 78910频数 644 6丙的成绩 环数 7 8 9 10频数 4 6 6 42020正视图 20侧视图 101020俯视图 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22 题为选考题，考生根据要求做答 二
7、、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为 14设函数(1)( )()x xafxx+= 为奇函数，则 a = 15 i是虚数单位，51034ii +=+ （用 abi+ 的形式表示， abR， ） 16某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种 （用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 如图，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C 与 D现测得
8、BCD BDC CD s = =， ，并在点 C 测得塔顶 A的仰角为 ，求塔高 AB 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 S ABC 中，侧面 SAB与侧面 SAC 均为等边三角形， 90BAC= ， O为 BC中点 （）证明： SO 平面 ABC ； （）求二面角 A SC B 的余弦值 19 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy中，经过点 (0 2)， 且斜率为 k 的直线 l与椭圆2212xy+=有两个不同的交点 P和 Q （ I）求 k 的取值范围； （ II）设椭圆与 x轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 AB， ，是否存在常数 k ，使得向量OP OQ
9、+nullnullnullnull nullnullnullnull与 ABnullnullnullnull共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由 O S BAC20 （本小题满分 12 分） 如图，面积为 S 的正方形 ABCD中有一个不规则的图形 M ，可按下面方法估计 M 的面积：在正方形 ABCD中随机投掷 n个点，若 n个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计值为mSn，假设正方形 ABCD的边长为 2， M 的面积为 1，并向正方形 ABCD中随机投掷 10000个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目 （ I）求 X 的均值 EX ； （ II）求用以上方
10、法估计 M 的面积时， M 的面积的估计值与实际值之差在区间 (0.03 )0.03， 内的概率 附表：10000100000( ) 0.25 0.75ktt ttPk C=k 2424 2425 2574 2575 ()Pk 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590 21 （本小题满分 12 分） 设函数2() ln( )f xxax=+ （ I）若当 1x = 时， ()f x 取得极值，求 a的值，并讨论 ()f x 的单调性； （ II）若 ()f x 存在极值，求 a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2 22 请考生在 ABC， 三题中任选一题作答，如果多做，则按
11、所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 22（本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图，已知 AP是 Onull 的切线， P为切点， AC 是 Onull的割线，与 Onull 交于 B C， 两点，圆心 O在 PAC 的内部，点 M 是 BC的中点 （）证明 APOM， 四点共圆； （）求 OAM APM+的大小 22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 1Onull 和2Onull 的极坐标方程分别为 4cos 4sin = =， （）把1Onull 和2Onull 的极坐标方程化为直角坐标方程； （）求经过1Onull
12、，2Onull 交点的直线的直角坐标方程 22（本小题满分 10 分）选修 45 ；不等式选讲 D CBAM AP OMCB 设函数 () 2 1 4fx x x=+ （ I）解不等式 () 2fx ； （ II）求函数 ()yfx= 的最小值 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案（宁夏） 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题 13 3 14 1 15 12i+ 16 240 三、解答题 17解：在 BCD 中， CBD = 由正弦定理得sin sinBC CDBDC CBD= 所以sin sinsin sin( )CD BDC
13、 sBCCBD =+ 在 ABCRt 中，tan sintansin( )sAB BC ACB =+ 18证明： （）由题设 ABACSBSC= SA，连结 OA， ABC为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA= ，且AOBC ，又 SBC 为等腰三角形，故 SO BC ，且22SO SA= ，从而222OA SO SA+ 所以 SOA 为直角三角形， SO AO 又 AO BO O= 所以 SO 平面 ABC （）解法一： 取 SC 中点 M ，连结 AM OM， ，由（）知 SO OC SA AC= =， ，得OM SC AM SC， OMA 为二面角 A SC B的平面角 由
14、AO BC AO SO SO BC O =， 得 AO 平面 SBC 所以 AO OM ，又32AM SA= ， 故26sin33AOAMOAM= O S BACM所以二面角 ASCB的余弦值为33 解法二： 以 O为坐标原点，射线 OB OA， 分别为 x轴、 y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz 设 (1 0 0)B ， ， ，则 ( 100) (010) (001)CAS ， ， ， ， ， ， SC 的中点11022M， ， ，11 1101(10)22 22MO MA SC= = =nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnul
15、lnullnull， ， ， ， ， ， 00MO SC MA SC=nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull， 故 ,MOSCMASC MOMA nullnullnullnullnull nullnullnullnull，= =nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull， 所以二面角 ASCB的余弦值为33 19解：
16、（）由已知条件，直线 l的方程为 2ykx=+ ， 代入椭圆方程得22(2)12xkx+ += 整理得22122 1 02kx kx+= 直线 l与椭圆有两个不同的交点 P和 Q等价于222184 4202kkk= +=， 解得22k 即 k 的取值范围为2222 +， （）设11 2 2()( )Px y Qx y， ， ，则1212()OP OQ x x y y+=+ +nullnullnullnull nullnullnullnull， ， 由方程，1224212kxxk+=+ 又12 12()22yykxx+= + O S B A CMxz y而 (20) (01) ( 21)ABAB
17、=nullnullnullnull， ， ， 所以 OP OQ+nullnullnullnull nullnullnullnull与 ABnullnullnullnull共线等价于12 122( )x xyy+= + ， 将代入上式，解得22k = 由（）知22k ，故没有符合题意的常数 k 20解： 每个点落入 M 中的概率均为14p = 依题意知1 100004XB， （）110000 25004EX = （）依题意所求概率为 0.03 4 1 0.0310000XP ； 当112x 时， () 0fx 从而， ()f x 分别在区间31122 + ， ， 单调增加，在区间112， 单调减
18、少 （） ()f x 的定义域为 ()a+， ，2221()x axfxxa+ + =+ 方程22210xax+=的判别式248a= （）若 0 ，故 ()f x 的极值 （）若 0= ，则 2a 或 2a = 若 2a = ， (2 )x +， ，2(2 1)()2xfxx =+ 当22x= 时， () 0fx = ， 当22222x +，时， () 0fx ， 所以 ()f x无极值 若 2a = ， (2 )x+， ，2(2 1)() 02xfxx = ， ()f x 也无极值 （）若 0 ，即 2a 或 2a 时，1x a ，2x a ， ()f x 在 ()f x 的定义域内有两个不
19、同的零点，由根值判别方法知 ()f x 在12x xxx=， 取得极值 综上， ()f x 存在极值时， a的取值范围为 (2 )+， ()f x 的极值之和为 22212 1 12 21( ) ( ) ln( ) ln( ) ln 1 1 ln 2 ln22efx fx x a x x a x a+ = + + + + + = + = 22 （）证明：连结 OP OM， 因为 AP与 Onull 相切于点 P，所以 OP AP 因为 M 是 Onull 的弦 BC的中点，所以 OM BC 于是 180OPA OMA+ = 由圆心 O在 PAC 的内部， 可知四边形 APOM 的对角互补，所以
20、 APOM， 四点共圆 （）解：由（）得 APOM， 四点共圆，所以 OAM OPM = 由（）得 OP AP 由圆心 O在 PAC 的内部，可知 90OPM APM+= 所以 90OAM APM+= 22 解：以极点为原点，极轴为 x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位 （） cosx = ， siny = ，由 4cos = 得24cos = 所以224x yx+= 即2240xy x+=为1Onull 的直角坐标方程 同理2240xy y+=为2Onull 的直角坐标方程 （）由22224040xy xxy y +=+=，解得1100xy=，2222xy= 即1Onull ，2Onull 交于点 (0 0)， 和 (2 2)， 过交点的直线的直角坐标方程为 yx= 22解： （）令 21 4yx x=+，则 152133 4254xxyx xxx =的解集为5(7)3x x +， AP OMCB 12 O 2y = 4 xy （）由函数 21 4yx x=+的图像可知，当12x= 时， 21 4yx x= +取得最小值92
