1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 文科数学试卷 第卷 (共50分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 ,21|,0| = xxBxxA 则 BAU = (A)1| xx (B) 2| xx (C) 20| b2”是“ ab”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）已知a n是等比数列，a 1=2,a4=41,则公比 q= (A)21 (B)-2 (C)2 (D)21(5)已知 则且 ,2,0,0 =+ baba
2、(A)21ab (B) 21ab (C) 222+ba (D) 322+ba (6)在(x-1)(x-2)(x- 3)(x-4)(x-5)的展开式中，含 x4的项的系数是 （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 （7）在同一平面直角坐标系中，函数 )2,0)(232cos( += xxy 的图象和直线21=y 的交点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 （8）若双曲线 12222=byax的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2，则双曲线的离心率是 （A）3 （B）5 （C） 3 （D） 5 （9）对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面,使得 （A） ba ,
3、 （B） ba , （C） ba , (D) ba , (10)若 ,0,0 ba 且当+1,0,0yxyx时,恒有 1+byax ,则以a,b为坐标的点 P(a,b)所形成的平面区域的面积是 (A)21(B)4(C)1 (D)2第卷 (共100 分) 二、填空题：本大题共7 小题，每小题 4分，共28 分。 （11）已知函数 =+= )1(|,2|)(2fxxxf 则 . (12)若 =+ 2cos,53)2sin( 则 . (13)已知 F1、 F2为椭圆 192522=+yx的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、 B 两点 若|F2A|+|F2B|=12，则| AB|= 。 （14）在
4、 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 。若 ,coscos)3( CaAcb = 则cos A = . (15)如图，已知球 O 的面上四点 A、B、C、D ， DA平面 ABC。 AB BC， DA=AB=BC= 3 ， 则球 O 的体积等于 。 （16） 已知 a是平面内的单位向量， 若向量 b满足 b (a-b)=0, 则|b|的取值范围是 （17）用1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和2 相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答） 。 三、解答题：本大题共 5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤。 （18） （本题14 分） 已知数列x n的首项x 1=3,通项x n=2np-np(nN*， p， p 为常数)， 且x 1,x4，x5成等差数列，求： （） p,q 的值； ()数列x n前 n 项和 Sn的公式。 （19） （本题 14 分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有 10 个球，从中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是52;从中任意摸出 2个球，至少得到 1 个白球的概率是97.求： （）从中任意摸出 2个球，得到的都是黑球的概率； （）袋中白球的个数。 （20） （本题14 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BEC
6、F BCF= CEF=90, AD= .2,3 =EF （）求证： AE平面 DCF； （）当 AB 的长为何值时，二面角 A-EF-C 的大小为60？ （21） （本题15 分）已知a 是实数，函数 f(x)=x2(x-a). （）若 f1(1)=3,求a 的值及曲线 )(xfy = 在点 )1(,1( f 处的切线方程； （）求 )(xf 在区间0，2上的最大值。 （22） （本题 15 分）已知曲线 C 是到点 )83,21(P 和到直线85=y 距离相等的点的轨迹， l是过点 Q（-1，0）的直线，M 是 C 上 （不在 l 上） 的动点； A、 B 在 l上， xMBlMA ,轴（如
7、图） 。 （）求曲线 C 的方程； （）求出直线 l 的方程，使得|2QAQB为常数。 数学（文科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。 （1）A （2）B （3）D （4）D （5）C （6）A （7）C （8）D （9）B （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。 （11）2 （12）257 （13）8 （14）33（15）29（16）0,1 （17）40 三、解答题 （18）本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。满分 14 分。 （）解：由 得,31=x 4545 154
8、5523,24,25, 2,32 5 2 8,p qxpqxpqxxxpq pq+=+ =+ +=+=+又且得解得p=1,q=1 ()解： .2)1(22)21()222(12+=+=+nnnSnnnLL（19）本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分 14 分。 （）解：由题意知，袋中黑球的个数为 .45210 = 记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件 A，则 .152)(21024=CCAP （）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 B。 设袋中白球的个数为 x，则 ,971)(1)(221=nnCCBPBP 得到 x=5
9、 (20)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分 14 分。 方法一： （）证明：过点 E 作 EG CF 并 CF于 G，连结 DG，可得四边形 BCGE 为矩形。又 ABCD为矩形， 所以 AD EG,从而四边形 ADGE 为平行四边形，故 AE DG。 因为 AE平面 DCF， DG平面 DCF，所以 AE平面 DCF。 （） 解： 过点 B 作 BH EF 交 FE 的延长线于 H， 连结 AH。 由平面 ABCD平面 BEFG， AB BC，得 AB平面 BEFC， 从而 AH EF， 所以 AHB 为二面角 A-EF-C
10、的平面角。 在 Rt EFG 中，因为EG=AD= .1,60,2,3 = FGCFEEFo所以 又因为 CE EF，所以 CF=4， 从而 BE=CG=3。 于是 BH=BEsin BEH= .233因为 AB=BHtan AHB, 所以当 AB 为29时，二面角 A-EF-G 的大小为60. 方法二： 如图，以点 C 为坐标原点，以 CB、CF 和 CD分别 作为 x 轴、 y轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 C-xyz. 设 AB=a,BE=b,CF=c, 则 C（0，0，0） ， A（ ),0,0,3(),0,3 Ba ).0,0(),0,3( cFbE （）证明： ),0,0(),0
11、,0,3(),0( bBECBabAE = 所以 ,0,0 BECBAECBBECBAECB = 从而 所以 CB平面 ABE。 因为 GB平面 DCF，所以平面 ABE平面 DCF 故 AE平面 DCF （II）解：因为 ( 3 0) ( 3 0)EF c b CE b = =uuur uuur，-， ， ， 所以 0. 2EF CE EF= =uuur uuur uuur，从而 23( )0,3( ) 2.bc bcb+ = + =解得 b3， c4 所以 ( 3,3,0) (0,4,0)E F. 设 (1, , )nyz= 与平面 AEF 垂直， 则 n0,n0AE EF=uuur uu
12、ur， 解得 33(1, 3, )na= 又因为 BA平面 BEFC， (0,0, )BAa=uuur， 所以233 1cos ,2427BA nanBABA n aa（22）本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 （I）解：设 (, )Nxy为 C 上的点，则 2213()(y)28|NP|= x+ + N 到直线58y = 的距离为58y+ 由题设得22135()(y)288x+ y+ =+ 化简，得曲线 C 的方程为21()2yxx= + （II）解法一： 设2(, )2x xMx+，直线 l： ykxk= +
13、 ，则 (, )B xkx k+ ，从而 211QB k x=+ + 在Rt QMA中，因为 22(1)(1 )4xQM x=+ + ， 222(1)( )21xxkMA+k+= 所以 222222(1)(2)4(1 )xQA QM AM kxk+= +21221xkxQAk+ +=+， 2222(1 ) 1 12QBkkxQA kx+k+ += 当 k2 时，255QBQA= 从而所求直线 l 方程为 220xy+= 解法二： 设2(, )2x Mx+，直线直线 l： ykxk= + ，则 (, )B xkx k+ ，从而 211QB k x=+ + 过 (1,0) 垂直于 l的直线 l1： (1)1y= xk + ， 因为 QA MH= ，所以 21221xkxQAk+ +=+， 2222(1 ) 1 12QBkkxQA kx+k+ +=， 当 k2 时，255QBQA= ， 从而所求直线 l 方程为 220xy+=
