1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 第卷（共 60 分） 参考公式： 球的表面积公式： S 4 R2，其中 R 是球的半径 . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率： Pn（ k） Cknpk(1-p)n-k（ k 0， 1， 2， n） . 如果事件 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） P（ A） +P（ B） . 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P（ AB） P（ A） P（ B） . 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
2、要求的 . （ 1）满足 M a1, a2, a3, a4 ,且 M a1,a2, a3 = a1,a2的集合 M 的个数是 （ A） 1 (B)2 (C)3 (D)4 （ 2）设 z 的共轭复数是 z ，若 z+ z =4, z z 8，则zz等于 （ A） i （ B） -i (C) 1 (D) i （ 3）函数 y lncosx(-2 x2的图象是 ( A ) （ 4）设函数 f(x) x+1 + x-a的图象关于直线 x 1 对称，则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 （ 5）已知 cos（ -6） +sin =473, sin( )56+则 的值是 （ A） -
3、532（ B）532(C)-54(D) 54（ 6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 (A)9 （ B） 10 (C)11 (D) 12 （ 7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1， 2， 3， 18 的 18 名火炬手。若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为 （ A）511（ B）681（ C）3061（ D）4081(8)右图是根据山东统计年鉴 2007中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的茎 叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的
4、数字表 示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以 得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数 的平均数为 （ A） 304.6 （ B） 303.6 (C)302.6 (D)301.6 （ 9） （ X-31x）12展开式中的常数项为 （ A） -1320 （ B） 1320 （ C） -220 (D)220 (10)设椭圆 C1的离心率为135， 焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为 （ A） 1342222=yx(B) 15132222=yx(C) 1432222=yx(D)
5、112132222=yx（ 11）已知圆的方程为 X2+Y2-6X-8Y 0.设该圆过点（ 3， 5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD，则四边形 ABCD 的面积为 （ A） 10 6 （ B） 20 6 （ C） 30 6 （ D） 40 6 （ 12）设二元一次不等式组+0142,080192yxyxyx ，所表示的平面区域为 M，使函数 y ax(a 0，a 1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 （ A） 1,3 (B)2, 10 (C)2,9 (D) 10 ,9 29 1158 30 26 31 0247 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，
6、共 16 分 . （ 13） 执行右边的程序框图， 若 p 0.8， 则输出的 n 4 . （ 14）设函数 f(x)=ax2+c(a 0)，若 )()(010xfdxxf =， 0 x0 1，则 x0的值为33. （ 15）已知 a， b， c 为 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边，向量 m （ 1,3 ） ， n （ cosA, sinA ） 。若 m n ，且acosB+bcosA=csinC，则角 B6. （ 16）若不等式 3x-b 4 的解集中的整数有且仅有 1， 2， 3，则 b 的取值范围为（ 5， 7） . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 . （ 17
7、） （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x) )0,0)(cos()sin(3 单调递增 . （ 2）当 a 0 时， () 0fx . 所以当 x 2,+ 时， g(x)单调递增， 又 g(2)=0 因此1() 1 ln( 1)(1)ngx x xx= g(2)=0 恒成立， 所以 f(x) x-1 成立 . 当 n 为奇数时， 要证 ()f x x-1,由于1(1 )nx 0，所以只需证 ln(x-1) x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 12() 111xhxxx = = 0（ x 2） , 所以 当 x 2， + 时， () 1 ln( 1)hx x x= 单调递
8、增，又 h(2)=1 0， 所以当 x 2 时，恒有 h(x) 0,即 ln（ x-1） x-1 命题成立 . 综上所述，结论成立 . 证法二：当 a=1 时，1() ln( 1).(1 )nfx xx=+当 x 2，时，对任意的正整数 n，恒有1(1 )nx 1， 故只需证明 1+ln(x-1) x-1. 令 )() 1 (1 ln( 1) 2 ln( 1), 2,hx x x x x x=+ = + 则12() 1 ,11xhxxx = =当 x 2 时， ()hx 0，故 h(x)在 )2,+ 上单调递增， 因此 当 x 2 时， h(x) h(2)=0，即 1+ln(x-1) x-1
9、成立 . 故 当 x 2 时，有1ln( 1)(1 )nxx+ x-1. 即 f（ x） x-1. (22)(本小题满分 14 分 ) 如图， 设抛物线方程为 x2=2py(p 0),M 为 直线 y= -2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A， B. （）求证： A， M， B 三点的横坐标成等差数列； （）已知当 M 点的坐标为（ 2， -2p）时， 410AB = ，求此时抛物线的方程； （）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线22( 0)xpyp= 上，其中，点 C 满足 OC OA OB=+uuur uuur uuur（ O 为坐标原点
10、） .若存在， 求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . （）证明：由题意设2212120( , ), ( , ), , ( , 2 ).22xxAx Bx x x M x ppp 由22x py= 得22xyp= ，则 ,xyp= 所以12,.MA MBx xkkp p= 因此直线 MA 的方程为102(),xy pxxp+= 直线 MB 的方程为202().xy pxxp+= 所以211102(),2xxp xxpp+= 222202().2xxp xxpp+= 由、得 212120,2xxx xx+= + 因此 1202x xx+= ，即0122.x xx= + 所以
11、A、 M、 B 三点的横坐标成等差数列 . （）解：由（）知，当 x0=2 时， 将其代入、并整理得： 221144 0,xxp = 2244 0,xxp= 所以 x1、 x2是方程2244 0xxp =的两根， 因此212 124, 4 ,x xxx p+= = 又22210122122,2ABxxxxxppkx xpp+=所以2.ABkp= 由弦长公式得 22 212 12 241()4 1 1616.AB k x x x x pp=+ + =+ + 又 410AB = ， 所以 p=1 或 p=2， 因此所求抛物线方程为22x y= 或24.x y= （）解：设 D(x3,y3)，由题意
12、得 C(x1+ x2, y1+ y2), 则 CD 的中点坐标为12312 3(, ),22x xxyyyQ+ +设直线 AB 的方程为011(),xy yxxp= 由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点1212(, )22x xy y+ +也在直线 AB 上， 代入得033.xy xp= 若 D（ x3,y3）在抛物线上，则2330322,x py x x= 因此 x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0， 0)或2002(2 , ).xDxp（ 1）当 x0=0 时，则12 020xx x+= =，此时，点 M(0,-2p)适合题意 . （ 2）当00x ，对于 D(0， 0)，此时221222 2212 120002(2 , ), ,4CDxxx xxxpCx kp xpx+= 又0,ABxkp= AB CD， 所以22 220 12 12201,44AB CDx xx xxkkppx p+=nullnull 即22 2124,x xp+= 矛盾 . 对于2002(2 , ),xDxp因为22120(2 , ),2x xCxp+此时直线 CD 平行于 y 轴， 又00,ABxkp= 所以 直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x 时，不存在符合题意的 M 点 . 综上所述，仅存在一点 M(0， -2p)适合题意 .
