1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 北 京 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 .(每 小 题 5 分 )1.若 集 合 A=x|-2 x 1， B=x|x -1或 x 3， 则 A B=( )A.x|-2 x -1B.x|-2 x 3C.x|-1 x 1D.x|1 x 3解 析 ： 集 合 A=x|-2 x 1， B=x|x -1或 x 3， A B=x|-2 x -1.答 案 ： A. 2.若 复 数 (1-i)(a+i)在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 二 象 限 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， 1)B.(-
2、 ， -1)C.(1， + )D.(-1， + )解 析 ： 复 数 (1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 二 象 限 ， 可 得 1 01 0a a ， 解得 a 范 围 .答 案 ： B.3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S值 为 ( ) A.2B.32C.53D.85 解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 框 图 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 S 的 值 ， 模拟 程 序 的 运 行 过 程 ， 分 析 循 环 中 各 变 量 值 的 变 化 情
3、 况 ， 可 得 答 案 .答 案 ： C.4.若 x， y 满 足 3 2xx yy x ， 则 x+2y 的 最 大 值 为 ( )A.1B.3C.5D.9解 析 ： 画 出 约 束 条 件 的 可 行 域 ， 利 用 目 标 函 数 的 最 优 解 求 解 目 标 函 数 的 最 值 即 可 . 答 案 ： D.5.已 知 函 数 f(x)=3x-(13)x， 则 f(x)( )A.是 奇 函 数 ， 且 在 R上 是 增 函 数B.是 偶 函 数 ， 且 在 R上 是 增 函 数C.是 奇 函 数 ， 且 在 R上 是 减 函 数D.是 偶 函 数 ， 且 在 R上 是 减 函 数解
4、析 ： 由 已 知 得 f(-x)=-f(x)， 即 函 数 f(x)为 奇 函 数 ， 由 函 数 y=3 x为 增 函 数 ， y=(13)x为 减函 数 ， 结 合 “ 增 ” -“ 减 ” =“ 增 ” 可 得 答 案 .答 案 ： A.6.设 m ， n 为 非 零 向 量 ， 则 “ 存 在 负 数 ， 使 得 m = n ” 是 “ m n 0” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： m ， n 为 非 零 向 量 ， 存 在 负 数 ， 使 得 m = n ，
5、 则 向 量 m ， n 共 线 且 方 向 相 反 ， 可 得 m n 0.反 之 不 成 立 ， 非 零 向 量 m ， n 的 夹 角 为 钝 角 ， 满 足 m n 0， 而 m = n 不成 立 .即 可 判 断 出 结 论 .答 案 ： A.7.某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 四 棱 锥 的 最 长 棱 的 长 度 为 ( ) A.3 2B.2 3C.2 2D.2解 析 ： 根 据 三 视 图 可 得 物 体 的 直 观 图 ， 结 合 图 形 可 得 最 长 的 棱 为 PA， 根 据 勾 股 定 理 求 出 即可 .答 案 ： B.8.根 据 有 关
6、 资 料 ， 围 棋 状 态 空 间 复 杂 度 的 上 限 M约 为 3 361， 而 可 观 测 宇 宙 中 普 通 物 质 的 原 子总 数 N约 为 1080， 则 下 列 各 数 中 与 MN 最 接 近 的 是 ( )(参 考 数 据 ： lg3 0.48)A.1033B.1053C.1073D.10 93解 析 ： 根 据 对 数 的 性 质 ： alog TT a ， 可 得 ： 3=10lg3 100.48， 代 入 M 将 M也 化 为 10 为 底 的 指数 形 式 ， 进 而 可 得 结 果 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 (每 小 题 5 分 )9.若 双 曲
7、线 22 yx m =1 的 离 心 率 为 3， 则 实 数 m=_.解 析 ： 利 用 双 曲 线 的 离 心 率 ， 列 出 方 程 求 和 求 解 m 即 可 .答 案 ： 2. 10.若 等 差 数 列 an和 等 比 数 列 bn满 足 a1=b1=-1， a4=b4=8， 则 22ab =_.解 析 ： 利 用 等 差 数 列 求 出 公 差 ， 等 比 数 列 求 出 公 比 ， 然 后 求 解 第 二 项 ， 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 1.11.在 极 坐 标 系 中 ， 点 A在 圆 2-2 cos -4 sin +4=0上 ， 点 P的 坐 标 为 (1， 0
8、)， 则 |AP|的 最 小 值 为 _.解 析 ： 先 将 圆 的 极 坐 标 方 程 化 为 标 准 方 程 ， 再 运 用 数 形 结 合 的 方 法 求 出 圆 上 的 点 到 点 P 的 距离 的 最 小 值 .答 案 ： 1.12.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 角 与 角 均 以 Ox 为 始 边 ， 它 们 的 终 边 关 于 y 轴 对 称 ， 若 sin =13， 则 cos( - )=_.解 析 ： 方 法 一 ： 根 据 教 的 对 称 得 到 sin =sin =13， cos =-cos ， 以 及 两 角 差 的 余 弦 公式 即 可 求 出 ；方
9、 法 二 ： 分 在 第 一 象 限 ， 或 第 二 象 限 ， 根 据 同 角 的 三 角 函 数 的 关 系 以 及 两 角 差 的 余 弦 公 式即 可 求 出 .答 案 ： -79 .13.能 够 说 明 “ 设 a， b， c 是 任 意 实 数 .若 a b c， 则 a+b c” 是 假 命 题 的 一 组 整 数 a， b，c的 值 依 次 为 _.解 析 ： 设 a， b， c 是 任 意 实 数 .若 a b c， 则 a+b c” 是 假 命 题 ， 则 若 a b c， 则 a+b c” 是 真 命 题 ， 举 例 即 可 ， 本 题 答 案 不 唯 一 .答 案 ：
10、-1， -2， -3.14.三 名 工 人 加 工 同 一 种 零 件 ， 他 们 在 一 天 中 的 工 作 情 况 如 图 所 示 ， 其 中 Ai的 横 、 纵 坐 标 分别 为 第 i 名 工 人 上 午 的 工 作 时 间 和 加 工 的 零 件 数 ， 点 Bi的 横 、 纵 坐 标 分 别 为 第 i 名 工 人 下午 的 工 作 时 间 和 加 工 的 零 件 数 ， i=1， 2， 3. (1)记 Qi为 第 i 名 工 人 在 这 一 天 中 加 工 的 零 件 总 数 ， 则 Q1， Q2， Q3中 最 大 的 是 _. (2)记 pi为 第 i 名 工 人 在 这 一
11、天 中 平 均 每 小 时 加 工 的 零 件 数 ， 则 p1， p2， p3中 最 大 的 是 _.解 析 ： (1)若 Qi为 第 i 名 工 人 在 这 一 天 中 加 工 的 零 件 总 数 ， 则 Qi=Ai的 综 坐 标 +Bi的 纵 坐 标 ；进 而 得 到 答 案 .(2)若 pi为 第 i 名 工 人 在 这 一 天 中 平 均 每 小 时 加 工 的 零 件 数 ， 则 pi为 AiBi中 点 与 原 点 连 线 的斜 率 ； 进 而 得 到 答 案 .答 案 ： Q1， p2.三 、 解 答 题15.在 ABC中 ， A=60 ， c=37 a.(1)求 sinC的 值
12、 ；(2)若 a=7， 求 ABC的 面 积 .解 析 ： (1)根 据 正 弦 定 理 即 可 求 出 答 案 ， (2)根 据 同 角 的 三 角 函 数 的 关 系 求 出 cosC， 再 根 据 两 角 和 正 弦 公 式 求 出 sinB， 根 据 面 积 公 式计 算 即 可 .答 案 ： (1) A=60 ， c=37 a，由 正 弦 定 理 可 得 sinC=37 sinA=3 3 3 37 2 14 ，(2)a=7， 则 c=3， C A，由 (1)可 得 cosC=1314， sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 3 13 1 3 3 4 32
13、14 2 14 7 ， S ABC=12 acsinB=12 7 3 4 37 =6 3.16.如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 底 面 ABCD为 正 方 形 ， 平 面 PAD 平 面 ABCD， 点 M在 线 段 PB上 ， PD 平 面 MAC， PA=PD= 6 ， AB=4. (1)求 证 ： M为 PB的 中 点 ；(2)求 二 面 角 B-PD-A的 大 小 ；(3)求 直 线 MC 与 平 面 BDP所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (1)设 AC BD=O， 则 O 为 BD的 中 点 ， 连 接 OM， 利 用 线 面 平 行 的 性 质 证 明 O
14、M PD， 再 由 平 行 线 截 线 段 成 比 例 可 得 M为 PB的 中 点 ；(2)取 AD 中 点 G， 可 得 PG AD， 再 由 面 面 垂 直 的 性 质 可 得 PG 平 面 ABCD， 则 PG AD， 连 接OG， 则 PG OG， 再 证 明 OG AD.以 G 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 GD、 GO、 GP 所 在 直 线 为 x、 y、 z轴 距 离 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 平 面 PBD与 平 面 PAD 的 一 个 法 向 量 ， 由 两 法 向 量 所 成 角 的 大 小可 得 二 面 角 B-PD-A 的 大 小 ；(3)求 出
15、 CM的 坐 标 ， 由 CM与 平 面 PBD的 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 的 绝 对 值 可 得 直 线 MC 与平 面 BDP所 成 角 的 正 弦 值 .答 案 ： (1)证 明 ： 如 图 ， 设 AC BD=O， ABCD为 正 方 形 ， O 为 BD 的 中 点 ， 连 接 OM， PD 平 面 MAC， PD平 面 PBD， 平 面 PBD 平 面 AMC=OM， PD OM， 则 BO BMBD BP ， 即 M 为 PB 的 中 点 ；(2)解 ： 取 AD 中 点 G， PA=PD， PG AD， 平 面 PAD 平 面 ABCD， 且 平 面 PAD 平
16、 面 ABCD=AD， PG 平 面 ABCD， 则 PG AD， 连 接 OG， 则 PG OG，由 G 是 AD 的 中 点 ， O是 AC的 中 点 ， 可 得 OG DC， 则 OG AD.以 G 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 GD、 GO、 GP 所 在 直 线 为 x、 y、 z 轴 距 离 空 间 直 角 坐 标 系 ，由 PA=PD= 6 ， AB=4， 得 D(2， 0， 0)， A(-2， 0， 0)， P(0， 0， 2)， C(2， 4， 0)， B(-2， 4， 0)， M(-1， 2， 22 )，DP=(-2， 0， 2)， DB=(-4， 4， 0).设 平
17、 面 PBD的 一 个 法 向 量 为 m =(x， y， z)，则 由 00m DPm DB ， 得 2 2 04 4 0 x zx y ， 取 z= 2， 得 m =(1， 1， 2).取 平 面 PAD的 一 个 法 向 量 为 n =(0， 1， 0). cos m ， n = 1 12 1 2m nm n . 二 面 角 B-PD-A的 大 小 为 60 ；(3)解 ： CM=(-3， -2， 22 )， 平 面 PAD 的 一 个 法 向 量 为 n =(0， 1， 0). 直 线 MC 与 平 面 BDP所 成 角 的 正 弦 值 为|cos CM， n |= 2 2 6919
18、4 12CM nCM n . 17.为 了 研 究 一 种 新 药 的 疗 效 ， 选 100 名 患 者 随 机 分 成 两 组 ， 每 组 各 50名 ， 一 组 服 药 ， 另 一组 不 服 药 .一 段 时 间 后 ， 记 录 了 两 组 患 者 的 生 理 指 标 x 和 y 的 数 据 ， 并 制 成 如 图 ， 其 中 “ *”表 示 服 药 者 ， “ +” 表 示 未 服 药 者 . (1)从 服 药 的 50名 患 者 中 随 机 选 出 一 人 ， 求 此 人 指 标 y 的 值 小 于 60的 概 率 ；(2)从 图 中 A， B， C， D 四 人 中 随 机 选 出
19、 两 人 ， 记 为 选 出 的 两 人 中 指 标 x的 值 大 于 1.7的 人数 ， 求 的 分 布 列 和 数 学 期 望 E( )；(3)试 判 断 这 100 名 患 者 中 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 与 未 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 的 大小 .(只 需 写 出 结 论 )解 析 ： (1)由 图 求 出 在 50 名 服 药 患 者 中 ， 有 15 名 患 者 指 标 y 的 值 小 于 60， 由 此 能 求 出 从 服药 的 50名 患 者 中 随 机 选 出 一 人 ， 此 人 指 标 小 于 60 的 概 率 .(2)由 图 知 ：
20、 A、 C 两 人 指 标 x 的 值 大 于 1.7， 而 B、 D两 人 则 小 于 1.7， 可 知 在 四 人 中 随 机 选项 出 的 2 人 中 指 标 x的 值 大 于 1.7的 人 数 的 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 分 别 求 出 相 应 的 概 率 ，由 此 能 求 出 的 分 布 列 和 E( ).(3)由 图 知 100 名 患 者 中 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 比 未 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 大 .答 案 ： (1)由 图 知 ： 在 50名 服 药 患 者 中 ， 有 15 名 患 者 指 标 y 的 值 小 于 60
21、， 则 从 服 药 的 50 名 患 者 中 随 机 选 出 一 人 ， 此 人 指 标 小 于 60的 概 率 为 ： p=15 350 10 .(2)由 图 知 ： A、 C 两 人 指 标 x的 值 大 于 1.7， 而 B、 D两 人 则 小 于 1.7，可 知 在 四 人 中 随 机 选 项 出 的 2人 中 指 标 x 的 值 大 于 1.7的 人 数 的 可 能 取 值 为 0， 1， 2， P( =0)= 241 1=6C ，P( =1)= 1 12 224 23C CC ，P( =2)= 241 1=6C ， 的 分 布 列 如 下 ： E( )=0 16+1 23 +2 1
22、6=1.(3)由 图 知 100 名 患 者 中 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 比 未 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 大 .18.已 知 抛 物 线 C： y2=2px过 点 P(1， 1).过 点 (0， 12 )作 直 线 l与 抛 物 线 C交 于 不 同 的 两 点 M，N， 过 点 M 作 x 轴 的 垂 线 分 别 与 直 线 OP、 ON交 于 点 A， B， 其 中 O 为 原 点 .(1)求 抛 物 线 C 的 方 程 ， 并 求 其 焦 点 坐 标 和 准 线 方 程 ；(2)求 证 ： A为 线 段 BM的 中 点 .解 析 ： (1)根 据
23、抛 物 线 过 点 P(1， 1).代 值 求 出 p， 即 可 求 出 抛 物 线 C 的 方 程 ， 焦 点 坐 标 和 准线 方 程 ；(2)设 过 点 (0， 12 )的 直 线 方 程 为 y=kx+12 ， M(x 1， y1)， N(x2， y2)， 根 据 韦 达 定 理 得 到 x1+x2= 21 kk ，x1x2= 214k ， 根 据 中 点 的 定 义 即 可 证 明 .答 案 ： (1) y2=2px 过 点 P(1， 1)， 1=2p，解 得 p=12 ， y 2=x， 焦 点 坐 标 为 (14 ， 0)， 准 线 为 x=-14 ，(2)证 明 ： 设 过 点
24、(0， 12 )的 直 线 方 程 为 y=kx+12 ， M(x1， y1)， N(x2， y2)， 直 线 OP 为 y=x， 直 线 ON为 ： y= 22y xx ，由 题 意 知 A(x 1， x1)， B(x1， 1 22x yx )， 由 2 12y kxy x ， 可 得 k2x2+(k-1)x+14 =0， x1+x2= 21 kk ， x1x2= 214k ， 1 2 21 2 1 21 1 1 1 1 1 12 2 2 2 11 11 2 2 2 2 1 2 212 2 2 4 kx kxx y x x ky kx kx kx kx k x xx x k xx ， A 为
25、 线 段 BM 的 中 点 . 19.已 知 函 数 f(x)=excosx-x.(1)求 曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 方 程 ；(2)求 函 数 f(x)在 区 间 0， 2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .解 析 ： (1)求 出 f(x)的 导 数 ， 可 得 切 线 的 斜 率 和 切 点 ， 由 点 斜 式 方 程 即 可 得 到 所 求 方 程 ；(2)求 出 f(x)的 导 数 ， 再 令 g(x)=f (x)， 求 出 g(x)的 导 数 ， 可 得 g(x)在 区 间 0， 2 的 单调 性 ， 即 可 得 到 f(x)的 单 调 性 ，
26、 进 而 得 到 f(x)的 最 值 .答 案 ： (1)函 数 f(x)=e xcosx-x的 导 数 为 f (x)=ex(cosx-sinx)-1，可 得 曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 斜 率 为 k=e0(cos0-sin0)-1=0，切 点 为 (0， e0cos0-0)， 即 为 (0， 1)，曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 方 程 为 y=1；(2)函 数 f(x)=excosx-x 的 导 数 为 f (x)=ex(cosx-sinx)-1，令 g(x)=ex(cosx-sinx)-1，则 g(x)的 导 数 为 g (
27、x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2ex sinx，当 x 0， 2 ， 可 得 g (x)=-2e x sinx 0，即 有 g(x)在 0， 2 递 减 ， 可 得 g(x) g(0)=0，则 f(x)在 0， 2 递 减 ， 即 有 函 数 f(x)在 区 间 0， 2 上 的 最 大 值 为 f(0)=e0cos0-0=1；最 小 值 为 f( 2 )= 2e cos 2 - 2 =- 2 .20.设 an和 bn是 两 个 等 差 数 列 ， 记 cn=maxb1-a1n， b2-a2n， ， bn-ann(n=1， 2， 3， )，其 中 maxx 1， x2
28、， ， xs表 示 x1， x2， ， xs这 s 个 数 中 最 大 的 数 .(1)若 an=n， bn=2n-1， 求 c1， c2， c3的 值 ， 并 证 明 cn是 等 差 数 列 ；(2)证 明 ： 或 者 对 任 意 正 数 M， 存 在 正 整 数 m， 当 n m 时 ， ncn M； 或 者 存 在 正 整 数 m， 使得 cm， cm+1， cm+2， 是 等 差 数 列 .解 析 ： (1)分 别 求 得 a1=1， a2=2， a3=3， b1=1， b2=3， b3=5， 代 入 即 可 求 得 c1， c2， c3； 由 (bk-nak)-(b1-na1) 0，
29、 则 b1-na1 bk-nak， 则 cn=b1-na1=1-n， cn+1-cn=-1对 n N*均 成 立 ；(2)由 b i-ain=b1+(i-1)d1-a1+(i-1)d2 n=(b1-a1n)+(i-1)(d2-d1 n)， 分 类 讨 论 d1=0， d1 0， d1 0 三 种 情 况 进 行 讨 论 根 据 等 差 数 列 的 性 质 ， 即 可 求 得 使 得 cm， cm+1， cm+2， 是 等 差数 列 ； 设 ncn =An+B+Cn 对 任 意 正 整 数 M， 存 在 正 整 数 m， 使 得 n m， ncn M， 分 类 讨 论 ， 采用 放 缩 法 即
30、可 求 得 因 此 对 任 意 正 数 M， 存 在 正 整 数 m， 使 得 当 n m时 ， ncn M.答 案 ： (1)a1=1， a2=2， a3=3， b1=1， b2=3， b3=5，当 n=1时 ， c 1=maxb1-a1=max0=0，当 n=2时 ， c2=maxb1-2a1， b2-2a2=max-1， -1=-1，当 n=3时 ， c3=maxb1-3a1， b2-3a2， b3-3a3=max-2， -3， -4=-2，下 面 证 明 ： 对 n N*， 且 n 2， 都 有 cn=b1-na1，当 n N*， 且 2 k n 时 ，则 (bk-nak)-(b1-n
31、a1)，=(2k-1)-nk-1+n，=(2k-2)-n(k-1)，=(k-1)(2-n)， 由 k-1 0， 且 2-n 0，则 (b k-nak)-(b1-na1) 0， 则 b1-na1 bk-nak，因 此 ， 对 n N*， 且 n 2， cn=b1-na1=1-n，cn+1-cn=-1， c2-c1=-1， cn+1-cn=-1对 n N*均 成 立 ， 数 列 cn是 等 差 数 列 ；(2)证 明 ： 设 数 列 an和 bn的 公 差 分 别 为 d1， d2， 下 面 考 虑 的 cn取 值 ，由 b 1-a1n， b2-a2n， ， bn-ann，考 虑 其 中 任 意
32、bi-ain， (i N*， 且 1 i n)，则 bi-ain=b1+(i-1)d1-a1+(i-1)d2 n=(b1-a1n)+(i-1)(d2-d1 n)，下 面 分 d1=0， d1 0， d1 0 三 种 情 况 进 行 讨 论 ， 若 d1=0， 则 bi-ain=(b1-a1n)+(i-1)d2，当 若 d2 0， 则 (bi-ain)-(b1-a1n)=(i-1)d2 0，则 对 于 给 定 的 正 整 数 n 而 言 ， cn=b1-a1n， 此 时 cn+1-cn=-a1， 数 列 cn是 等 差 数 列 ；当 d1 0， (bi-ain)-(bn-ann)=(i-n)d2
33、 0，则 对 于 给 定 的 正 整 数 n 而 言 ， cn=bn-ann=bn-a1n，此 时 cn+1-cn=d2-a1， 数 列 cn是 等 差 数 列 ；此 时 取 m=1， 则 c1， c2， ， 是 等 差 数 列 ， 命 题 成 立 ； 若 d1 0， 则 此 时 -d1n+d2为 一 个 关 于 n 的 一 次 项 系 数 为 负 数 的 一 次 函 数 ，故 必 存 在 m N *， 使 得 n m 时 ， -d1n+d2 0，则 当 n m 时 ， (bi-ain)-(b1-a1n)=(i-1)(-d1n+d2) 0， (i N*， 1 i n)，因 此 当 n m 时
34、， cn=b1-a1n，此 时 cn+1-cn=-a1， 故 数 列 cn从 第 m项 开 始 为 等 差 数 列 ， 命 题 成 立 ； 若 d1 0， 此 时 -d1n+d2为 一 个 关 于 n 的 一 次 项 系 数 为 正 数 的 一 次 函 数 ，故 必 存 在 s N*， 使 得 n s 时 ， -d1n+d2 0，则 当 n s 时 ， (b i-ain)-(bn-ann)=(i-1)(-d1n+d2) 0， (i N*， 1 i n)，因 此 ， 当 n s 时 ， cn=bn-ann，此 时 = n n nnb a n ban n =-d2n+(d1-a1+d2)+ 1 2
35、b dn ，令 -d1=A 0， d1-a1+d2=B， b1-d2=C，下 面 证 明 ： ncn =An+B+Cn 对 任 意 正 整 数 M， 存 在 正 整 数 m， 使 得 n m， ncn M，若 C 0， 取 m= M BA +1， x表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 ，当 n m 时 ， ncn A n+B Am+B=A M BA +1+B A M BA +B=M，此 时 命 题 成 立 ；若 C 0， 取 m= M C BA +1，当 n m 时 ， ncn A n+B+Cn Am+B+C A M C BA +B+C M-C-B+B+C=M，此 时 命 题 成 立 ，因 此 对 任 意 正 数 M， 存 在 正 整 数 m， 使 得 当 n m时 ， ncn M；综 合 以 上 三 种 情 况 ， 命 题 得 证 .
