1、2018年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (天 津 卷 )数 学 文一 .选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 A=1， 2， 3， 4， B=-1， 0， 2， 3， C=x R|-1 x 2， 则 (A B) C=( )A.-1， 1B.0， 1C.-1， 0， 1D.2， 3， 4解 析 ： A=1， 2， 3， 4， B=-1， 0， 2， 3， (A B)=1， 2， 3， 4 -1， 0， 2， 3=-1， 0， 1， 2， 3， 4， 又 C=x R|-1 x
2、 2， (A B) C=-1， 0， 1.答 案 ： C2.设 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 52 410 x yx yx yy ， 则 目 标 函 数 z=3x+5y 的 最 大 值 为 ( )A.6B.19C.21D.45 解 析 ： 由 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 52 410 x yx yx yy ， 得 如 图 所 示 的 可 行 域 ， 由 51x yx y ， ， 解 得 A(2，3).当 目 标 函 数 z=3x+5y经 过 A 时 ， 直 线 的 截 距 最 大 ， z取 得 最 大 值 .将 其 代 入 得 z 的 值 为 21. 答 案 ： C3.
3、设 x R， 则 “ x3 8” 是 “ |x| 2” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 x 3 8， 得 x 2， 则 |x| 2，反 之 ， 由 |x| 2， 得 x -2 或 x 2，则 x3 -8 或 x3 8.即 “ x3 8” 是 “ |x| 2” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A4.阅 读 如 图 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 若 输 入 N的 值 为 20， 则 输 出 T 的 值 为 ( ) A.1B.2C.3D.4
4、解 析 ： 若 输 入 N=20，则 i=2， T=0， 202Ni =10 是 整 数 ， 满 足 条 件 .T=0+1=1， i=2+1=3， i 5 不 成 立 ， 循 环 ， 203Ni 不 是 整 数 ， 不 满 足 条 件 .i=3+1=4， i 5不 成 立 ，循 环 ， 204Ni =5是 整 数 ， 满 足 条 件 ， T=1+1=2， i=4+1=5， i 5成 立 ， 输 出 T=2.答 案 ： B.5.已 知 a=log 3 72 ， b= 1314 ， c= 13 1log 5 ， 则 a， b， c的 大 小 关 系 为 ( )A.a b cB.b a cC.c b
5、 aD.c a b解 析 ： a=log 3 72 ， c= 13 1log 5 =log35， 且 5 72 3， log35 log3 72 1， 则 b= 1314 ( 14 )0=1， c a b.答 案 ： D6.将 函 数 y=sin(2x+ 5 )的 图 象 向 右 平 移 10 个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 对 应 的 函 数 ( )A.在 区 间 4 4 ， 上 单 调 递 增B.在 区 间 4 ， 0上 单 调 递 减 C.在 区 间 4 ， 2 上 单 调 递 增D.在 区 间 2 ， 上 单 调 递 减解 析 ： 将 函 数 y=sin(2x+ 5 )的 图
6、象 向 右 平 移 10 个 单 位 长 度 ，所 得 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=sin2 10 5( )x =sin2x.当 x 4 4 ， 时 ， 2x 2 2 ， ， 函 数 单 调 递 增 ；当 x 4 2 ， 时 ， 2x 2 ， ， 函 数 单 调 递 减 ；当 x - 4 ， 0时 ， 2x - 2 ， 0， 函 数 单 调 递 增 ； 当 x 2 ， 时 ， 2x ， 2 ， 函 数 先 减 后 增 .答 案 ： A 7.已 知 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 离 心 率 为 2， 过 右 焦 点 且 垂 直 于 x 轴
7、的 直 线 与 双曲 线 交 于 A， B 两 点 .设 A， B到 双 曲 线 的 同 一 条 渐 近 线 的 距 离 分 别 为 d1和 d2， 且 d1+d2=6， 则双 曲 线 的 方 程 为 ( )A. 2 2 13 9x y B. 2 2 19 3x y C. 2 2 14 12x y D. 2 2 112 4x y 解 析 ： 由 题 意 可 得 图 象 如 图 ， CD 是 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 y= ba x， 即 bx-ay=0， F(c， 0)，AC CD， BD CD， FE CD， ACDB是 梯 形 ， F是 AB的 中 点 ， EF= 1 22d d
8、 =3， EF= 2 2a b =b，所 以 b=3， 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 离 心 率 为 2， 可 得 ca =2，可 得 ： 2 22a ba =4， 解 得 a= 3 .则 双 曲 线 的 方 程 为 ： 2 2 13 9x y .答 案 ： A8.在 如 图 的 平 面 图 形 中 ， 已 知 OM=1， ON=2， MON=120 ， 2BM MA ， 2CN NA ， 则BC OM 的 值 为 ( ) A.-15B.-9C.-6D.0解 析 ： 不 妨 设 四 边 形 OMAN是 平 行 四 边 形 ，由 OM=1， ON=2， MON
9、120 ，2 2BM MACN NA ， ， 知 3 3 3 3BC AC AB AN AM OM ON ， 2 23 3 3 3 3 1 3 2 1 cos120 6BC OM OM ON OM OM ON OM .答 案 ： C 二 .填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 .9.i是 虚 数 单 位 ， 复 数 6 71 2ii = .解 析 ： 6 7 1 26 7 6 14 7 12 20 5 41 2 1 2 1 2 5 5i ii i i i ii i i .答 案 ： 4-i10.已 知 函 数 f(x)=e xlnx， f (x
10、)为 f(x)的 导 函 数 ， 则 f (1)的 值 为 .解 析 ： 函 数 f(x)=exlnx， 则 f (x)=exlnx+ 1x ex； f (1)=e ln1+1 e=e.答 案 ： e11.如 图 ， 已 知 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1的 棱 长 为 1， 则 四 棱 锥 A1-BB1D1D的 体 积 为 . 解 析 ： 由 题 意 可 知 四 棱 锥 A1-BB1D1D的 底 面 是 矩 形 ， 边 长 ： 1 和 2 ， 四 棱 锥 的 高 ： 1 11 22 2AC .则 四 棱 锥 A1-BB1D1D的 体 积 为 ： 1 2 11 23 2 3 .答 案
11、 1312.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 经 过 三 点 (0， 0)， (1， 1)， (2， 0)的 圆 的 方 程 为 .解 析 ： 根 据 题 意 画 出 图 形 如 图 所 示 ， 结 合 图 形 知 经 过 三 点 (0， 0)， (1， 1)， (2， 0)的 圆 ，其 圆 心 为 (1， 0)， 半 径 为 1， 则 该 圆 的 方 程 为 (x-1)2+y2=1.答 案 ： (x-1)2+y2=113.已 知 a， b R， 且 a-3b+6=0， 则 2a+ 18b 的 最 小 值 为 .解 析 ： a， b R， 且 a-3b+6=0， 可 得 ： 3b=a+
12、6，则 2a+ 6 6 61 1 1 1 12 2 2 28 2 2 2 2 2 4a a ab a a a ，当 且 仅 当 612 2a a .即 a=-3时 取 等 号 .函 数 的 最 小 值 为 ： 14 . 答 案 ： 1414.己 知 a R， 函 数 f(x)= 2 2 2 2 02 2 0 x x a xx x a x ， ， 若 对 任 意 x -3， + )， f(x) |x|恒成 立 ， 则 a的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 当 x 0 时 ， 函 数 f(x)=x2+2x+a-2 的 对 称 轴 为 x=-1， 抛 物 线 开 口 向 上 ， 要 使 x 0 时
13、 ， 对 任 意 x -3， + )， f(x) |x|恒 成 立 ，则 只 需 要 f(-3) |-3|=3， 即 9-6+a-2 3， 得 a 2，当 x 0 时 ， 要 使 f(x) |x|恒 成 立 ， 即 f(x)=-x2+2x-2a， 则 直 线 y=x的 下 方 或 在 y=x上 ，由 -x2+2x-2a=x， 即 x2-x+2a=0， 由 判 别 式 =1-8a 0， 得 a 18 ， 综 上 18 a 2.答 案 ： 18 ， 2三 .解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 80 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .
14、15.己 知 某 校 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 者 人 数 分 别 为 240， 160， 160.现 采 用 分 层 抽 样的 方 法 从 中 抽 取 7 名 同 学 去 某 敬 老 院 参 加 献 爱 心 活 动 .( )应 从 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 者 中 分 别 抽 取 多 少 人 ？ ( )设 抽 出 的 7 名 同 学 分 别 用 A， B， C， D， E， F， G表 示 ， 现 从 中 随 机 抽 取 2 名 同 学 承 担 敬老 院 的 卫 生 工 作 .(i)试 用 所 给 字 母 列 举 出 所 有 可 能
15、 的 抽 取 结 果 ；(ii)设 M 为 事 件 “ 抽 取 的 2 名 同 学 来 自 同 一 年 级 ” ， 求 事 件 M 发 生 的 概 率 .解 析 ： ( )利 用 分 层 抽 样 的 性 质 能 求 出 应 从 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 意 者 中 分 别 抽 取得 人 ， 2 人 ， 2 人 .( )(i)从 抽 取 的 7 名 同 学 中 抽 取 2 名 同 学 ， 利 用 列 举 法 能 求 出 所 有 可 能 结 果 .(ii)设 抽 取 的 7名 学 生 中 ， 来 自 甲 年 级 的 是 A， B， C， 来 自 乙 年 级 的 是 D
16、 E， 来 自 丙 年 级 的是 F， G， M 为 事 件 “ 抽 取 的 2 名 同 学 来 自 同 一 年 级 ” ， 利 用 列 举 法 能 求 出 事 件 M 发 生 的 概 率 .答 案 ： ( )由 已 知 得 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 者 人 数 之 比 为 3： 2： 2， 由 于 采 用 分 层抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 7 名 同 学 ， 应 从 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 意 者 中 分 别 抽 取 得 人 ， 2 人 ， 2 人 .( )(i)从 抽 取 的 7 名 同 学 中 抽 取 2 名 同 学
17、 的 所 有 可 能 结 果 为 ： A， B， A， C， A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D，B， E， B， F， B， G， C， D， C， E， C， F， C， G， D， E，D， F， D， G， E， F， E， G， F， G， 共 21 个 .(i)设 抽 取 的 7 名 学 生 中 ， 来 自 甲 年 级 的 是 A， B， C，来 自 乙 年 级 的 是 D， E， 来 自 丙 年 级 的 是 F， G， M为 事 件 “ 抽 取 的 2名 同 学 来 自 同 一 年 级 ” ，则 事 件 M 包 含 的 基 本 事 件 有 ： A
18、 B， A， C， B， C， D， E， F， G， 共 5 个 基 本 事 件 ， 事 件 M 发 生 的 概 率 P(M)= 521 .16.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c.已 知 bsinA=acos(B- 6 ).( )求 角 B的 大 小 ；( )设 a=2， c=3， 求 b 和 sin(2A-B)的 值 .解 析 ： ( )由 正 弦 定 理 得 sin sinb aA B ， 与 bsinA=acos(B- 6 ).由 此 能 求 出 B.( )由 余 弦 定 理 得 b= 7 ， 由 bsinA=acos(B- 6 )，
19、 得 sinA= 37 ， cosA= 27 ， 由 此 能 求 出sin(2A-B). 答 案 ： ( )在 ABC中 ， 由 正 弦 定 理 得 sin sinb aA B ， 得 bsinA=asinB，又 bsinA=acos(B- 6 ). asinB=acos(B- 6 )，即 3 1sin cos cos cos si( ) n sin cos sin6 6 6 2 2B B B B B B ， tanB= 3 ， 又 B (0， )， B= 3 .( )在 ABC中 ， a=2， c=3， B= 3 ，由 余 弦 定 理 得 b= 2 2 72 cosa c ac B ， 由
20、bsinA=acos(B- 6 )， 得 sinA= 37 ， a c， cosA= 27 ， sin2A=2sinAcosA= 4 37 ， cos2A=2cos2A-1= 17 ， sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB= 4 3 1 1 3 3 37 2 7 2 14 .17.如 图 ， 在 四 面 体 ABCD 中 ， ABC是 等 边 三 角 形 ， 平 面 ABC 平 面 ABD， 点 M 为 棱 AB的 中点 ， AB=2， AD=2 3 ， BAD=90 . ( )求 证 ： AD BC； ( )求 异 面 直 线 BC 与 MD所 成 角 的 余 弦 值
21、 )求 直 线 CD 与 平 面 ABD所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： ( )由 平 面 ABC 平 面 ABD， 结 合 面 面 垂 直 的 性 质 可 得 AD 平 面 ABC， 则 AD BC；( )取 棱 AC 的 中 点 N， 连 接 MN， ND， 又 M 为 棱 AB的 中 点 ， 可 得 DMN(或 其 补 角 )为 异 面 直线 BC 与 MD所 成 角 ， 求 解 三 角 形 可 得 异 面 直 线 BC与 MD 所 成 角 的 余 弦 ；( )连 接 CM， 由 ABC为 等 边 三 角 形 ， M 为 边 AB的 中 点 ， 可 得 CM AB， 且 CM
22、 3 ， 再 由 面面 垂 直 的 性 质 可 得 CM 平 面 ABD， 则 CDM 为 直 线 CD 与 平 面 ABD 所 成 角 ， 求 解 三 角 形 可 得直 线 CD与 平 面 ABD 所 成 角 的 正 弦 值 .答 案 ： ( )由 平 面 ABC 平 面 ABD， 平 面 ABC 平 面 ABD=AB， AD AB， 得 AD 平 面 ABC， 故 AD BC；( )取 棱 AC的 中 点 N， 连 接 MN， ND， M 为 棱 AB的 中 点 ， 故 MN BC， DMN(或 其 补 角 )为 异 面 直 线 BC与 MD所 成 角 ，在 Rt DAM中 ， AM=1
23、 故 DM= 2 2 13AD AM ， AD 平 面 ABC， 故 AD AC，在 Rt DAN中 ， AN=1， 故 DN= 2 2 13AD AN ，在 等 腰 三 角 形 DMN中 ， MN=1， 可 得 cos DMN= 1 132 26MNDM . 异 面 直 线 BC 与 MD所 成 角 的 余 弦 值 为 1326 ；( )连 接 CM， ABC为 等 边 三 角 形 ， M 为 边 AB的 中 点 ， 故 CM AB， CM= 3 ，又 平 面 ABC 平 面 ABD， 而 CM平 面 ABC，故 CM 平 面 ABD， 则 CDM为 直 线 CD 与 平 面 ABD所 成
24、 角 .在 Rt CAD中 ， CD= 2 2 4AC AD ，在 Rt CMD中 ， sin CDM= 34CMCD . 直 线 CD 与 平 面 ABD所 成 角 的 正 弦 值 为 34 . 18.设 an是 等 差 数 列 ， 其 前 n项 和 为 Sn(n N*)； bn是 等 比 数 列 ， 公 比 大 于 0， 其 前 n项 和 为 Tn(n N*).已 知 b1=1， b3=b2+2， b4=a3+a5， b5=a4+2a6.( )求 Sn和 Tn；( )若 Sn+(T1+T2+ +Tn)=an+4bn， 求 正 整 数 n 的 值 .解 析 ： ( )设 等 比 数 列 bn
25、的 公 比 为 q， 由 已 知 列 式 求 得 q， 则 数 列 bn的 通 项 公 式 与 前 n项 和 可 求 ； 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 再 由 已 知 列 关 于 首 项 与 公 差 的 方 程 组 ， 求 得 首 项 与 公差 ， 代 入 等 差 数 列 的 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式 可 得 Sn；( )由 ( )求 出 T1+T2+ +Tn， 代 入 Sn+(T1+T2+ +Tn)=an+4bn， 化 为 关 于 n 的 一 元 二 次 方程 求 解 正 整 数 n的 值 .答 案 ： ( )设 等 比 数 列 b n的 公 比 为 q， 由
26、b1=1， b3=b2+2， 可 得 q2-q-2=0. q 0， 可 得 q=2.故 bn=2n-1， Tn=1 2 2 11 2n n ；设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 由 b4=a3+a5， 得 a1+3d=4，由 b5=a4+2a6， 得 3a1+13d=16， a1=d=1.故 an=n， Sn= 12n n ；( )由 ( )， 可 得 T 1+T2+ +Tn=(21+22+ +2n)-n= 2 1 21 2 n -n=2n+1-n-2.由 Sn+(T1+T2+ +Tn)=an+4bn， 可 得 12n n +2n+1-n-2=n+2n+1，整 理 得 ： n2-3n
27、4=0， 解 得 n=-1(舍 )或 n=4. n 的 值 为 4.19.设 椭 圆 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 右 顶 点 为 A， 上 顶 点 为 B.已 知 椭 圆 的 离 心 率 为 53 ，|AB|= 13 .( )求 椭 圆 的 方 程 ； ( )设 直 线 l： y=kx(k 0)与 椭 圆 交 于 P， Q 两 点 ， 1 与 直 线 AB 交 于 点 M， 且 点 P， M 均 在 第四 象 限 .若 BPM的 面 积 是 BPQ面 积 的 2 倍 ， 求 k 的 值 .解 析 ： (1)设 椭 圆 的 焦 距 为 2c， 由 已 知 可 得 22 59
28、ca ， 又 a2=b2+c2， 解 得 a=3， b=2， 即 可 .( )设 点 P(x1， y1)， M(x2， y2)， (x2 x1 0).则 Q(-x1， -y1).由 BPM的 面 积 是 BPQ 面 积 的 2 倍 ， 可 得 x2-x1=2x1-(-x1)， x2=5x1，联 立 方 程 求 出 由 2 1 26 603 2 9 4x xk k ， ， 可 得 k.答 案 ： (1)设 椭 圆 的 焦 距 为 2c，由 已 知 可 得 22 59ca ， 又 a 2=b2+c2， 解 得 a=3， b=2， 椭 圆 的 方 程 为 ： 2 29 4x y =1， ( )设 点
29、 P(x1， y1)， M(x2， y2)， (x2 x1 0).则 Q(-x1， -y1). BPM的 面 积 是 BPQ 面 积 的 2 倍 ， |PM|=2|PQ|， 从 而 x2-x1=2x1-(-x1)， x2=5x1，易 知 直 线 AB的 方 程 为 ： 2x+3y=6.由 2 3 6x yy kx ， 可 得 x2= 63 2k 0.由 2 24 9 36x yy kx ， 可 得 1 269 4x k ， 29 4 5 3 2k k ， 18k 2+25k+8=0， 解 得 k=- 89 或 k=- 12 .由 x2= 63 2k 0.可 得 k - 23 ， 故 k=- 1
30、2 ，20.设 函 数 f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3)， 其 中 t1， t2， t3 R， 且 t1， t2， t3是 公 差 为 d 的 等 差数 列 .( )若 t 2=0， d=1， 求 曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 方 程 ；( )若 d=3， 求 f(x)的 极 值 ；( )若 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=-(x-t2)-6 3 有 三 个 互 异 的 公 共 点 ， 求 d的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 出 t2=0， d=1时 f(x)的 导 数 ， 利 用 导 数 求 斜 率 ， 再 写 出 切 线 方 程 ；
31、 )计 算 d=3时 f(x)的 导 数 ， 利 用 导 数 判 断 f(x)的 单 调 性 ， 求 出 f(x)的 极 值 ；( )曲 线 y=f(x)与 直 线 y=-(x-t 2)-6 3 有 三 个 互 异 的 公 共 点 ，等 价 于 关 于 x 的 方 程 f(x)+(x-t2)-6 3 =0有 三 个 互 异 的 实 数 根 ，利 用 换 元 法 研 究 函 数 的 单 调 性 与 极 值 ， 求 出 满 足 条 件 的 d的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )函 数 f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3)，t2=0， d=1 时 ， f(x)=x(x+1)(x-1)
32、x3-x， f (x)=3x2-1， f(0)=0， f (0)=-1， y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 方 程 为 y-0=-1 (x-0)， 即 x+y=0；( )d=3时 ， f(x)=(x-t 2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3t22-9)x-t23+9t2； f (x)=3x2-6t2x+3t22-9，令 f (x)=0， 解 得 x=t2- 3 或 x=t2+ 3 ；当 x 变 化 时 ， f (x)， f(x)的 变 化 情 况 如 下 表 ； f(x)的 极 大 值 为 32 3 3 9 3 6 3
33、f t ，极 小 值 为 32 3 3 9 3 6 3f t ；( )曲 线 y=f(x)与 直 线 y=-(x-t2)-6 3 有 三 个 互 异 的 公 共 点 ，等 价 于 关 于 x 的 方 程 (x-t 2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)-6 3 =0有 三 个 互 异 的 实 数 根 ，令 u=x-t2， 可 得 u3+(1-d2)u+6 3 =0；设 函 数 g(x)=x3+(1-d2)x+6 3 ， 则 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=-(x-t2)-6 3 有 3 个 互 异 的 公 共 点 ，等 价 于 函 数 y=g(x)有 三 个 不 同 的 零 点
34、 ；又 g (x)=3x2+(1-d2)，当 d 2 1 时 ， g (x) 0 恒 成 立 ， 此 时 g(x)在 R上 单 调 递 增 ， 不 合 题 意 ；当 d2 1 时 ， 令 g (x)=0， 解 得 x1=- 2 13d ， x2= 2 13d ； g(x)在 (- ， x1)上 单 调 递 增 ， 在 (x1， x2)上 单 调 递 减 ，在 (x2， + )上 也 单 调 递 增 ； g(x)的 极 大 值 为 32 221 2 3 11 6 3 093 ddg x g ；极 小 值 为 g(x 2)= 32 22 2 3 11 6 393 ddg ；若 g(x2) 0， 由 g(x)的 单 调 性 可 知 ，函 数 g(x)至 多 有 两 个 零 点 ， 不 合 题 意 ；若 g(x2) 0， 即 32 21d 27， 解 得 |d| 10 ，此 时 |d| x 2， g(|d|)=|d|+6 3 0， 且 -2|d| x1； g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6 3 0，从 而 由 g(x)的 单 调 性 可 知 ，函 数 y=g(x)在 区 间 (-2|d|， x1)， (x1， x2)， (x2， |d|)内 各 有 一 个 零 点 ， 符 合 题 意 ； d 的 取 值 范 围 是 (- ， - 10 ) ( 10 ， + ).
