1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 （江苏卷） 参考公式 ： n次独立重复试验恰有 k 次发生的概率为： () (1 ) kk nk nn Pk Cp p = 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰有 一项 是符合题目要求的。 1下列函数中，周期为 2 的是（ D） A sin 2 x y = B sin 2yx= C cos 4 x y = D cos 4yx= 2已知全集 UZ= ， 2 1,0,1,2, | ABxx= = = ，则 U ACB 为（ A） A 1,2 B 1,0 C 0,1 D 1, 2 3在平面直角
2、坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 20 xy=，则它的离心率为（ A） A 5 B 5 2 C 3 D 2 4已知两条直线 ,mn，两个平面 , ，给出下面四个命题： （ C） 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 4 页，包含选择题（第 1 题第 10 题，共 10 题） 、填空题（第 11 题第 16 题，共 6 题） 、解答题（第 17 题第 21 题，共 5 题）三部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5
3、 毫米签字笔填写在 试卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其 它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 5、如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 / ,mnm n / , , /mn mn / , / /mnm n / , / ,mnm n 其中正确命题的序号是 A B C D 5函数 () sin 3cos( ,0)fx x xx = 的单调递增区
4、间是（ B） A 5 , 6 B 5 , 66 C ,0 3 D ,0 6 6 设函数 ()f x 定义在实数集上， 它的图像关于直线 1x = 对称， 且当 1x 时， () 3 1 x fx=， 则有（ B） A 132 () () () 323 fff B 231 () () () 323 f ff C 213 () () () 332 fff D 321 () () () 233 f ff 7若对于任意实数 x，有 32 01 2 3 (2) (2) (2)xaax ax ax=+ + + ，则 2 a 的值为（ B） A 3 B 6 C 9 D 12 8设 2 () lg( ) 1
5、f xa x =+ 是奇函数，则使 () 0fx ，对于任意实数 x 都有 () 0fx ，则 (1) (0) f f 的最小值为（ C） A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 10在平面直角坐标系 xOy ，已知平面区域 ( , ) | 1,Axyxy= +且 0, 0 xy，则平面 区域 ( , ) | ( , ) B xyxy xy A=+ 的面积为（ A） A 2 B 1 C 1 2 D 1 4 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 。 11若 13 cos( ) ,cos( ) 55 += =， .则
6、 tan tan = 1/2 . 12某校开设 9 门课程供学生选修，其中 ,A BC三门由于上课时间相同，至多选一门，学 校规定每位同学选修 4 门，共有 75 种不同选修方案。 （用数值作答） 13已知函数 3 () 12 8f xx x= +在区间 3,3 上的最大值与最小值分别为 ,M m ，则 M m= 32 . 14正三棱锥 P ABC 高为 2，侧棱与底面所成角为 45 null ，则点 A到侧面 PBC 的距离是 6 5 5 . 15在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点 (4,0)A 和 (4,0)C ，顶点 B 在椭圆 22 1 25 16 xy +=上，则 si
7、n sin sin AC B + = 5/4 . 16某时钟的秒针端点 A到中心点 O的距离为 5cm，秒针均匀地绕点 O旋转，当时间 0t = 时，点 A与钟面上标 12的点 B 重合，将 ,AB两点的距离 ()dcm表示成 ()ts的函数，则 d = 10 sin 3t ，其中 0,60t 。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分）某气象站天气预报的准确率为 80%，计算（结果保留到小数点后 面第 2 位） （ 1） 5 次预报中恰有 2 次准确的概率； （ 4 分） （ 2）
8、5 次预报中至少有 2 次准确的概率； （ 4 分） （ 3） 5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3次预报准确的概率； （ 4 分） 解： （ 1） 23 2 5 44 161 110 0.5 5 5 25 125 pC = （ 2） 4 1 5 44 1 1 1 0.0064 0.99 55 PC = = （ 3） 3 1 4 444 10.02 555 PC = 18 （本小题满分 12 分）如图，已知 111 1 ABCD ABC D 是 棱长为 3 的正方体，点 E 在 1 AA 上，点 F 在 1 CC 上，且 1 1AE FC=， （ 1）求证： 1 ,EBFD四点共面； （
9、 4 分） （ 2）若点 G 在 BC 上， 2 3 BG = ，点 M 在 1 BB 上， GM BF ，垂足为 H ，求证： EM 面 11 BCC B ； （ 4 分） （ 3）用 表示截面 1 EBFD 和面 11 BCC B 所成锐二面角大小，求 tan 。 （ 4 分） 解： （ 1）证明：在 DD 1 上取一点 N 使得 DN=1，连接 CN， EN，显然四边形 CFD 1 N 是平行 1 D 1 A A B C D 1 C 1 B M E F H G 四边形，所以 D 1 F/CN，同理四边形 DNEA 是平行四边形，所以 EN/AD，且 EN=AD，又 BC/AD，且 AD=
10、BC，所以 EN/BC， EN=BC，所以四边形 CNEB 是平行四边形，所以 CN/BE，所以 D 1 F/BE，所以 1 ,EBFD四点共面。 （ 2）因为 GM BF 所以 BCF MBG，所以 MBBG BCCF = ，即 2 3 32 MB = ，所以 MB=1， 因为 AE=1，所以四边形 ABME 是矩形，所以 EM BB 1 又平面 ABB 1 A 1 平面 BCC 1 B 1 ，且 EM 在平面 ABB 1 A 1 内，所以 EM 面 11 BCC B （ 3） EM 面 11 BCC B ，所以 EM BF， EM MH， GM BF ，所以 MHE 就是截 面 1 EBF
11、D 和面 11 BCC B 所成锐二面角的平面角， EMH= 90 ，所以 tan ME MH = ， ME=AB=3， BCF MHB， 所以 3： MH=BF： 1， BF= 22 23 13+= ， 所以 MH= 3 13 ， 所以 tan ME MH = = 13 19、 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 过 y 轴正方向上一点 (0, )Cc任作一直线，与抛物线 2 y x= 相交于 AB 两点，一条垂直于 x轴的直线，分别与线段 AB 和直线 :ly c= 交于 ,PQ， （ 1）若 2OA OB= nullnullnullnull nullnullnu
12、llnull ，求 c的值； （ 5 分） （ 2）若 P 为线段 AB 的中点，求证： QA为此抛物线的切 线； （ 5 分） （ 3）试问（ 2）的逆命题是否成立？说明理由。 （ 4 分） 解： （ 1）设过 C 点的直线为 ykxc=+，所以 ( ) 2 0 xkxcc= +，即 2 0 xkxc=，设 A ()() 11 2 2 , ,x yBxy， OA nullnullnullnull = () 11 ,x y ， ( ) 22 ,OB x y= nullnullnullnull ，因为 2OA OB = nullnullnullnull nullnullnullnull ，所以
13、12 12 2xx yy+=，即 ()( ) 12 1 2 2xx kx c kx c+ +=， () 22 12 12 1 2 2xx k xx kc x x c+ += 所以 22 2ckckckc + + =i ，即 2 20,cc =所以 ( ) 21cc= =舍去 （ 2 ）设过 Q 的切线为 ( ) 11 1 yy kxx= ， / 2y x= ，所以 11 2kx= ，即 22 11111 22 2yxxxy xxx=+=，它与 y c= 的交点为 M 1 1 , 22 x c c x ，又 B A x y O C Q l P 2 1212 , 22 22 xxyy kk Pc
14、+ =+ ，所以 Q , 2 k c ，因为 12 x xc= ,所以 2 1 c x x =， 所以 M 12 , 22 2 xx k cc += ,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。 （ 3） （ 2）的逆命题是成立，由（ 2）可知 Q , 2 k c ，因为 PQ x轴，所以 , 2 P k Py 因为 12 22 xx k+ = ，所以 P 为 AB 的中点。 20 （本小题满分 16 分）已知 n a 是等差数列， n b 是公比为 q 的等比数列， 112 2 1 ,ababa=，记 n S 为数列 n b 的前 n项和， （ 1）若 (, km bamk
15、= 是大于 2 的正整数 ) ，求证： 11 (1) k Sma = ； （ 4 分） （ 2）若 3 ( i bai= 是某一正整数 ) ，求证： q是整数，且数列 n b 中每一项都是数列 n a 中 的项； （ 8 分） （ 3） 是否存在这样的正数 q， 使等比数列 n b 中有三项成等差数列？若存在， 写出一个 q的 值，并加以说明；若不存在，请说明理由； （ 4 分） 解：设 n a 的公差为 d ，由 112 2 1 ,ababa=，知 0, 1dq ， () 1 1daq= （ 1 0a ） （ 1）因为 km ba= ，所以 ( ) ( ) 1 11 1 11 k aq a
16、m a q =+ ， ()() ( ) 1 1112 1 k qmq mmq =+ = + ， 所以 () ()() () 1 1 1 1 1 1 11 1 1 k k aq am m q Sm qq = = （ 2） ()( ) 2 31 1 1 ,11 i baqaa i aq=+，由 3 i ba= ， 所以 ()( )()( ) 22 111, 1 20,qiqqiqi=+ + = 解得， 1q = 或 2qi=， 但 1q ， 所以 2qi=，因为 i是正整数，所以 2i 是整数，即 q是整数，设数列 n b 中任意一项 为 () 1 1 n n baqnN + =，设数列 n a
17、中的某一项 m a ( ) mN + = ( )( ) 11 11amaq+ 现在只要证明存在正整数 m ，使得 nm ba= ，即在方程 ( )( ) 1 11 1 11 n aq a m a q = + 中 m 有正整数解即可， ()() 1 1 22 1 111,1 1 1 n n n q qmqm qqq q =+ = =+ + null ，所以 22 2 n mqqq =+ +null ，若 1i = ，则 1q = ，那么 21 1 1,2 2 2nn bbabba = =，当 3i 时，因为 112 2 ,abab=，只要考虑 3n 的情况，因为 3 i ba= ，所以 3i ，
18、因此 q 是正 整数，所以 m 是正整数，因此数列 n b 中任意一项为 () 1 1 n n baqnN + =与数列 n a 的第 22 2 n qq q + +null 项相等，从而结论成立。 （ 3）设数列 n b 中有三项 ( ) , , mnp bbbmn pmnp N + 成等差数列，则有 2 111 111 , nmp aq aq aq =+ 设 ( ) ,nmxpn yxyN + = = ，所以 2 1 y x q q =+，令 1, 2xy=， 则 3 210,qq += ()( ) 2 110qqq +=， 因为 1q ， 所以 2 10qq+=， 所以 () 51 2
19、q = 舍去负值 ，即存在 51 2 q = 使得 n b 中有三项 () 13 , mm m bb b m N + + 成等差数列。 21 （本小题满分 16 分）已知 ,abcd是不全为 0 的实数，函数 2 ()f xbxcxd= +， 32 ()g x ax bx cx d=+，方程 () 0fx= 有实根，且 () 0fx= 的实数根都是 () 0gfx = 的根，反之， () 0gfx = 的实数根都是 () 0fx= 的根， （ 1）求 d 的值； （ 3 分） （ 2）若 0a = ，求 c的取值范围； （ 6 分） （ 3）若 1, (1) 0af=，求 c的取值范围。 （
20、7 分） 解（ 1 ）设 0 x 是 () 0fx= 的根，那么 ( ) 0 0fx = ，则 0 x 是 () 0gfx = 的根，则 () 0 0,gfx = 即 ()00g = ，所以 0d = 。 （ 2） 因为 0a = ， 所以 () ( ) 22 ,f xbxcxgxbxcx=+ =+， 则 () ()()gfx fx bfx c= + = ()( ) 222 bx cx b x bcx c+=0 的根也是 ( ) ( ) 0fx xbxc= +=的根。 （ a）若 0b = ，则 0c ，此 时 () 0fx= 的根为 0，而 () 0gfx = 的根也是 0，所 以 0c ，
21、 （ b）若 0b ，当 0c = 时， () 0fx= 的根为 0，而 () 0gfx = 的根也是 0，当 0c 时， () 0fx= 的根为 0 和 c b ， 而 () 0bf x c+ = 的根不可能为 0 和 c b ， 所以 () 0bf x c+=必 无实数根，所以 () 2 2 40,bc b c= 所以 2 40,0 4cc c ，从而 04c 所以当 0b = 时， 0c ；当 0b 时， 04c 时， t= 2 cx cx+= 2 1 244 cc cx + ，即函数 ( ) 2 ht t ct c= +在 4 c t ， () 0ht 恒成立，又 () 2 2 2 24 cc ht t ct c t c =+= + ，所以 () min 0 4 c ht h = ， 即 22 0, 16 4 cc c+所以 16 0 3 c ； （ b）当 0c 恒成立，又 () 2 2 2 24 cc ht t ct c t c =+= + ，所以 () min 0 2 c ht h = ， 2 4 c c 0 ，而 0c ，所以 2 4 c c 0 ，所以 c不可能小于 0， （ c） 0,c = 则 0,b = 这时 () 0fx= 的根为一切实数，而 ( ) 0gfx = ，所以 0,c = 符合 要求。 所以 16 0 3 c
