1、2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷(理工农医类) 考生注意： 1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 2本试卷共有21道试题，满分150分考试时间120分钟请考生用钢笔或圆珠笔将 答案直接写在试卷上 一填空题（本大题满分 44 分）本大题共有 11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得 4 分，否则一律得零分 1函数 3 )4lg( = x x y 的定义域是 2若直线 1 210lxmy+=： 与直线 2 31ly x= ： 平行，则 =m 3函数 1 )( = x x xf 的反函数 = )( 1 xf 4方程 96370 xx =的解是 5
2、若 xy + R， ，且 14 =+ yx ，则 x y 的最大值是 6函数 + += 2 sin 3 sin xxy 的最小正周期 =T 7在五个数字 12345， 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示） 8以双曲线 1 54 22 = yx 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 9对于非零实数 ab， ，以下四个命题都成立： 0 1 + a a ； 222 2)( bababa +=+ ； 若 | ba = ，则 ba = ； 若 aba = 2 ，则 ba = 那么，对于非零复数 ab， ，仍然成立的命题的所有序号是 10在平面上，两
3、条直线的位置关系有相交、平行、重合三种 已知 ， 是两个 相交平面，空间两条直线 12 ll， 在 上的射影是直线 12 s s， ， 12 ll， 在 上的射影是 直线 12 tt， 用 1 s 与 2 s ， 1 t 与 2 t 的位置关系，写出一个总能确定 1 l 与 2 l 是异 面直线的充分条件： 11已 知 P 为圆 1)1( 22 =+ yx 上任意 一点（原点 O 除外） ，直线 OP 的倾斜角为 弧度，记 | OPd = 在右侧的坐标系中，画出以 ()d， 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A， B， C， D
4、 的四 个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内） ，一律得零 分 12已知 abR， ，且 i,i2 + ba （ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 0 2 =+ qpxx 的两个根，那么 pq， 的值分别是（ ） 45pq= =， 43pq=， 45pq=， 43pq= =， 13设 ab， 是非零实数，若 ba ，则下列不等式成立的是（ ） 22 ba baab 22 baab 22 11 b a a b 14直角坐标系 xOy 中， ij nullnull ， 分别是与
5、x y， 轴正方向同向的单位向量在直角三角形 ABC 中，若 jkiACjiAB nullnullnullnull +=+= 3,2 ，则 k 的可能值个数是（ ） 1 2 3 4 15设 )(xf 是定义在正整数集上的函数，且 )(xf 满足： “当 2 ()f kk 成立时，总可推 出 (1)fk+ 2 )1( +k 成立” 那么，下列命题总成立的是（ ） 若 (3) 9f 成立，则当 1k 时，均有 2 ()f kk 成立 若 (5) 25f 成立，则当 5k 时，均有 2 ()f kk 成立 C B 1 C 1 B 1 A A 若 49)7( f 成立，则当 8k 时，均有 2 )(
6、kkf k )的“对称数列” ，其中 121kk k cc c + null， 是首项 为 50，公差为 4 的等差数列记 n c 各项的和为 12 k S 当 k 为何值时， 12 k S 取得最大 值？并求出 12 k S 的最大值； （ 3）对于确定的正整数 1m ，写出所有项数不超过 m2 的“对称数列” ，使得 21 122 2 m null， ， ， 依次是该数列中连续的项； 当 m 1500 时， 求其中一个 “对称数列” 前 2008 项的和 2008 S 21 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8
7、 分 我们把由半椭圆 1 2 2 2 2 =+ b y a x (0)x 与半椭圆 1 2 2 2 2 =+ c x b y (0)x 合成的曲线称 作“果圆” ，其中 222 cba += ， 0a ， 0 cb 如图，点 0 F ， 1 F ， 2 F 是相应椭圆的焦点， 1 A ， 2 A 和 1 B ， 2 B 分别是“果圆”与 x ， y 轴的交点 （ 1）若 012 FFF 是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆”的方程； （ 2）当 21 AA 21 BB 时，求 a b 的取值范围； （ 3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦试研究：是否存在实数 k ，使斜率为 k
8、 的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 k 值；若不存在，说明理 由 y 1 B O 1 A 2 B 2 A . . 1 F 0 F 2 F x . 2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷(理工农医类)答案要点 一、填空题（第 1 题至第 11 题） 1 34 xxx 且 2 3 2 3 ）（ 1 1 x x x 4 7log 3 5 16 1 6 7 3.0 8 )3(12 2 += xy 9 10 21 / ss ，并且 1 t 与 2 t 相交（ / 1 t 2 t ，并且 1 s 与 2 s 相交） 11 二、选择题（第 12 题
9、至第 15 题） 题 号 12 13 14 15 答 案 A C B D 三、解答题（第 16 题至第 21 题） 16解法一： 由题意，可得体积 11 1 11 1 22 ABC V CC S CC AC BC CC= =iii ， 2 11 = CCAA 连接 1 BC 11 11 11 1 A CBCACC ， ， 11 CA 平面 CCBB 11 ， 11 BCA 是直线 BA 1 与平面 CCBB 11 所成的角 5 2 2 11 =+= BCCCBC ， 5 1 tan 1 11 11 = BC CA BCA ，则 11 BCA 5 5 arctan C B 1 B 1 A A 1
10、 C C 1 A A 1 C 1 B B x y z 即直线 BA 1 与平面 CCBB 11 所成角的大小为 5 5 arctan 解法二： 由题意，可得 体积 11 1 11 1 22 ABC V CC S CC AC BC CC = =iiii ， 2 1 = CC ， 如图，建立空间直角坐标系 得点 (0 1 0)B ， ， 1 (0 0 2)C ， ， 1 (1 0 2)A ， 则 1 (11 2)AB= nullnullnullnull ， ， 平面 CCBB 11 的法向量为 (1 0 0)n = null ， 设直线 BA 1 与平面 CCBB 11 所成的角为 ， BA 1
11、与 n 的夹角为 ， 则 1 1 6 cos 6 AB n AB n = nullnullnullnull null i nullnullnullnull null i ， 6 6 arcsin, 6 6 |cos|sin = ， 即直线 BA 1 与平面 CCBB 11 所成角的大小为 6 6 arcsin 17解： 由题意，得 3 cos 5 BB= ， 为锐角， 5 4 sin =B ， 10 27 4 3 sin)sin(sin = = BCBA ， 由正弦定理得 7 10 =c ， 111048 sin 2 22757 SacB= = =i 18解： （ 1）由已知得 2003， 2
12、004， 2005， 2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36 ， %38 ， %40 ， %42 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 8.249942.140.138.136.1670 (兆瓦 ) （ 2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ，则 4 4 1420(1 ) 95% 2499.8(1 42%) x+ + 解得 0.615x 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 %5.61 19解： （ 1）当 0=a 时， 2 )( xxf = ， 对任意 (0)(0)x +， ， )()()( 22 xfxxxf = ， )(xf 为偶函数 当 0a
13、时， 2 () ( 0 0) a fx x a x x =+ ， ， 取 1=x ，得 (1) (1) 2 0 (1) (1) 2 0ff ff a+ = = ， ， (1) (1) (1) (1)f ff f ， ， 函数 )(xf 既不是奇函数，也不是偶函数 （ 2）解法一：设 12 2 x x ， 2 2 2 1 2 121 )()( x a x x a xxfxf += axxxx xx xx + = )( )( 2121 21 21 ， 要使函数 )(xf 在 2 )x+， 上为增函数，必须 0)()( 21 xfxf 恒成立 12 12 04xx xx ， ，即 )( 2121 x
14、xxxa + xx ， 16)( 2121 + xxxx a 的取值范围是 (16， 解法二：当 0=a 时， 2 )( xxf = ，显然在 2 )+， 为增函数 当 0a 时，同解法一 20解： （ 1）设 n b 的公差为 d ，则 11323 14 =+=+= ddbb ，解得 3=d ， 数列 n b 为 25811852， ， （ 2） 12112112 + += kkkkk ccccccS nullnull kkkk cccc += + )(2 121 null ， 50134)13(4 22 12 += kS k ， 当 13=k 时， 12 k S 取得最大值 12 k S
15、的最大值为 626 （ 3）所有可能的“对称数列”是： 22122 122 2 2 2 2 21 mmm nullnull， ， ， ， ； 221122 122 2222 21 m mmm nullnull， ； 12 2 2 21 22 212 2 mm mm nullnull， ； 12 2 2 21 22 2112 22 mm m m nullnull， ， ， ， 对于，当 2008m 时， 122221 200820072 2008 =+= nullS 当 1500 2007m 时， 20092212 2008 222221 += mmmm S nullnull 200921 22
16、12 += mmm 1222 200921 += mmm 对于，当 2008m 时， 12 2008 2008 =S 当 1500 2007m 时， 2008 S 122 200821 = + mm 对于，当 2008m 时， 2008 2008 22 = mm S 当 1500 2007m 时， 2008 S 322 2009 += mm 对于，当 2008m 时， 2008 2008 22 = mm S 当 1500 2007m+ ，即 abba 2 22 2222 )2( acbb =+ ， 222 )2( abba ，得 5 4 = a b bacb 24 25 b a ， （ 3）设
17、“果圆” C 的方程为 22 22 1( 0) xy x ab += ， 22 22 1( 0) yx x bc += 记平行弦的斜率为 k 当 0=k 时，直线 ()yt b t b= 与半椭圆 22 22 1( 0) xy x ab += 的交点是 P 2 2 1 t at b ， ，与半椭圆 22 22 1( 0) yx x bc += 的交点是 Q 2 2 1 t ct b ， P Q， 的中点 M ()x y， 满足 2 2 1, 2 ac t x b yt = = i ， 得 1 2 2 2 2 2 =+ b y ca x ba 2k 时，以 k 为斜率过 1 B 的直线 l 与半椭圆 22 22 1( 0) xy x ab += 的交点是 2223 22 2 22 2 2ka b k a b b ka b ka b + ， 由此，在直线 l 右侧，以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 x ka b y 2 2 = 上，即不在 某一椭圆上 当 0k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上
