1、同步 2014年华师大版八年级上 14.2勾股定理的应用练习卷与答案（带解析） 选择题 （ 2014 钦州）如图，在 6个边长为 1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从 A点到 B点只能沿图中的线段走，那么从 A点到 B点的最短距离的走法共有（ ） A 1种 B 2种 C 3种 D 4种 答案： C 试题分析：如图所示，找出从 A点到 B点的最短距离的走法即可 解：根据题意得出最短路程如图所示， 最短路程长为 +1=2 +1， 则从 A点到 B点的最短距离的走法共有 3种， 故选： C 点评：此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键 （ 2013 济南）如图，小亮将升旗的绳子拉
2、到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m处，发现此时绳子末端距离地面 2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ） A 12m B 13m C 16m D 17m 答案： D 试题分析：根据题意画出示意图，设旗杆高度为 x，可得 AC=AD=x， AB=（ x-2） m， BC=8m，在 Rt ABC中利用勾股定理可求出 x 解：设旗杆高度为 x，则 AC=AD=x， AB=（ x-2） m， BC=8m， 在 Rt ABC中， AB2+BC2=AC2，即（ x-2） 2+82=x2， 解得： x=17， 即旗杆的高度为 17米 故选： D 点评：本题考查
3、了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线 （ 2013 余姚市模拟）已知：如图，无盖无底的正方体纸盒 ABCD-EFGH， P，Q分别为棱 FB， GC上的点，且 FP=2PB， GQ= QC，若将这个正方体纸盒沿折线 AP-PQ-QH裁剪并展开，得到的平面图形是（ ） A一个六边形 B一个平行四边形 C两个直角三角形 D一个直角三角形和一个直角梯形 答案： B 试题分析：四个侧面除 AEDH没有剪开，其它三个面都剪开，将剪开图形展开即可判断 解：依题意可知， BP= BF= DH， CQ= CG= DH， 又 PB CQ DH， APB AQC A
4、HD， A、 P、 Q、 H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图） 故选： B 点评：本题考查了几何体的展开图明确只有侧面的四个面，画出展开图 （ 2013 沙坪坝区模拟）如图， AC是电杆的一根拉线，测得 BC=6米， ACB=60，则 AB的长为 （ ） A 12米 B 米 C 6米 D 米 答案： B 试题分析：求出 BAC=30，从而利用含 30角的直角三角形的性质求出 AC，利用勾股定理可得出 AB 解： ACB=60， BAC=30， AC=2BC=12米， 故 AB= =6 米 故选 B 点评：本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式及含 30角的直
5、角三角形的性质 （ 2013 镇江模拟）已知圆锥的母线长 OA=8，底面圆的半径为 2，一小虫在圆锥底面的点 A处绕圆锥侧面一周又回到点 A处，则小虫所走的最短距离为（ ） A 8 B 4 C 8 D 8 答案： C 试题分析：要求小虫所走的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据 “两点之间线段最短 ”得出结果 解：如图，将圆锥沿它的一条母线 OA剪开，得到扇形， 则小虫所走的最短路线的长是圆锥的侧面展开图中扇形的弧所对的弦长，即为线段 AA的长度 根据题意可得出： 2r= ， 则 22= ， 解得： n=90， 在 AOA中， OA=OA=8， AOA=90， 由勾股定理，得 AA= =8
6、故选 C 点评：此题主要考查 了利用平面展开图求最短路径问题以及弧长的计算，根据圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把圆锥的侧面展开成扇形， “化曲面为平面 ”，用勾股定理解决 （ 2012 黄冈模拟）将边长分别为 3cm， 3cm， 2cm的等腰三角形从一个圆钢圈中穿过，那么这个圆钢圈的最小直径是（ ） cm A 2 B 2 C 3 D 答案： D 试题分析：由题意可知当直径最小时，腰上的高即为直径，根据勾股定理计算再选择正确的选项即可 解：可知当直径最小时，腰上的高即为直径， 而底边上的高为 =2 ， 所以腰上的高为： = ， 即最小
7、直径为 故选 D 点评：本题考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的性质，题目比较简单 （ 2012 乐山市中区模拟）一船向东航行，上午 8时到达 B处，看到有一灯塔在它的南偏东 60，距离为 72海里的 A处，上午 10时到达 C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ） A 18海里 /小时 B 海里 /小时 C 36海里 /小时 D 海里 /小时 答案： B 试题分析：首先画图，构造直角三角形，利用勾股定理求出船 8时到 10时航行的距离，再求速度即可解答 解：如图在 Rt ABC中， ABC=90-60=30， AB=72海里， 故 AC=36海里， BC= =36 海里， 艘
8、船航行的速度为 36 2=18 海里 /时 故选 B 点评：本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 （ 2012 平谷区二模）如图是一个长方体， AB=3， BC=5， AF=6，要在长方体上系一根绳子连接 AG，绳子与 DE交于点 P，当所用绳子的长最短时， AP的长为（ ） A 10 B C 8 D 答案： D 试题分析：将长方体右侧的面展开，与上面的面在同一个平面内，如图所示，连接 AG，此时所用的绳子最短，由正方体的中平行的棱长相等，得到DC=AB=EG=3， AD=BC=5， DE=AF=6，由 EG
9、与 AD平行，得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形 EPG与三角形 APD相似，由相似得比例，将 EG， AD的长代入求出 EP的长，进而求出 PD的，在直角三角形 APD中，由 AD与 PD的长，利用勾股定理即可求出 AP的长 解：将长方体右侧的面展开，与上面的面在同一个平面内，连接 AG，与 ED交于 P点，此时绳子的长最短，如图所示： 可得出： DC=AB=EG=3， AD=BC=5， DE=AF=6， EG AD， EGP= DAP， PEG= PDA， EPG DPA， = = ，即 = ， 解得： EP= ， PD=ED-EP=6- = ， 在 Rt A
10、PD中， PD= ， AD=5， 根据勾股定理得： AP= = 故选 D 点评：此题考查了平面展开 -最短路径问题，涉及的知识有：平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用了转化及数形结合的思想，立体图形的最短路径问题常常转化为平面图形，利用两点之间线段最短来解决 （ 2011 金华）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A 600m B 500m C 400m D 300m 答案： B 试题分析：由于 BC AD，那么有 DAE= ACB，由题意可知 ABC= DEA=9
11、0， BA=ED，利用 AAS可证 ABC DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求 AC，即可求 CE，根据图可知从 B到 E的走法有两种，分别计算比较即可 解：如右图所示， BC AD， DAE= ACB， 又 BC AB， DE AC， ABC= DEA=90， 又 AB=DE=400m， ABC DEA， EA=BC=300m， 在 Rt ABC中， AC= =500m， CE=AC-AE=200， 从 B到 E有两种走法： BA+AE=700m； BC+CE=500m， 最近的路程是 500m 故选 B 点评：本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理解题的关
12、键是证明 ABC DEA，并能比较从 B到 E有两种走法 （ 2013 鄂州）如图，已知直线 a b，且 a与 b之间的距离为 4，点 A到直线 a的距离为 2，点 B到直线 b的距离为 3， AB= 试在直线 a上找一点M，在直线 b上找一点 N，满足 MN a且 AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 答案： B 试题分析： MN表示直线 a与直线 b之间的距离，是定值，只要满足 AM+NB的值最小即可，作点 A关于直线 a的对称点 A，并延长 AA，过点 B作BE AA于点 E，连接 AB交直线 b于点 N，过点 N作 NM 直线 a，
13、连接 AM，则可判断四边形 AANM 是平行四边形，得出 AM=AN，由两点之间线段最短，可得此时 AM+NB的值最小过点 B作 BE AA，交 AA于点 E，在 Rt ABE中求出 BE，在 RtABE中求出 AB即可得出 AM+NB 解：作点 A关于直线 a的对称点 A，并延长 AA，过点 B作 BE AA于点 E，连接 AB交直线 b于点 N，过点 N作 NM 直线 a，连接 AM， A到直线 a的 距离为 2， a与 b之间的距离为 4， AA=MN=4， 四边形 AANM是平行四边形， AM+NB=AN+NB=AB， 过点 B作 BE AA，交 AA于点 E， 易得 AE=2+4+3
14、=9， AB=2 ， AE=2+3=5， 在 Rt AEB中， BE= = ， 在 RtAEB中， AB= =8 故选： B 点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点 M、点 N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短 （ 2014 邯郸二模）如图，圆柱底面半径为 cm，高为 9cm，点 A、 B分别是圆柱两底面圆周上的点，且 A、 B在同一母线上，用一根棉线从 A点顺着圆柱侧面绕 3圈到 B点，则这根棉线的长度最短为（ ） A.12cm B. cm C.15cm D. cm 答案： C 试题分析：要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开
15、，然后利用两点之间线段最短解答 解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从 A顺着圆柱侧面绕 3圈到 B的运动最短路线是： ACCDDB ； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成 3个小长方形， A沿着 3个长方形的对角线运动到 B的路线最短； 圆柱底面半径 为 cm， 长方形的宽即是圆柱体的底面周长： 2 =4cm； 又 圆柱高为 9cm， 小长方形的一条边长是 3cm； 根据勾股定理求得 AC=CD=DB=5cm； AC+CD+DB=15cm； 故选 C 点评：本题主要考查了圆柱的计算、平面展开 -路径最短问题圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆
16、柱的高本题就是把圆柱的侧面展开成长方形， “化曲面为平面 ”，用勾股定理解决 （ 2014 荆州）如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm，在圆柱的侧面上，过点 A和点 C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A 4 dm B 2 dm C 2 dm D 4 dm 答案： A 试题分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据 “两点之间线段最短 ”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为 2AC的长度 圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm， AB=2dm， BC=BC=2dm， AC2=22+2
17、2=4+4=8， AC=2 dm， 这圈金属丝的周长最小为 2AC=4 dm 故选 ： A 点评：本题考查了平面展开 -最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形， “化曲面为平面 ”，用勾股定理解决 （ 2014 龙东地区）一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是 10cm，底面圆的直径是 5cm，点 A为圆锥底面圆周上一点，从 A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到 A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（ ） A 10cm B 10 cm C 5cm D 5 cm 答案： B 试题分析：利用圆锥侧面展开图的弧长等于
18、底面圆的周长，进而得出扇形圆心角的度数，再利用勾股定理求出 AA的长 解：由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面展开图 AA最短， 由题意可得出： OA=OA=10cm， = =5， 解得： n=90， AOA=90， AA= =10 （ cm）， 故选： B 点评：此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，得出 AOA的度数是解题关键 （ 2014 中山模拟）如图，一个梯子 AB长 2.5米，顶端 A靠在墙 AC上，这时梯子下端 B与墙角 C距离为 1.5米，梯子滑动后停在 DE的位置上，测得 BD长为 0.9米，则梯子顶端 A下落了（ ） A 0.9米 B 1.3米 C 1.5米 D 2米 答案
19、： B 试题分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得 AC和 CE的长即可 解：在 Rt ACB中， AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， AC=2， BD=0.9， CD=2.4 在 Rt ECD中， EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49， EC=0.7， AE=AC-EC=2-0.7=1.3 故选 B 点评：考查了勾股定理的应用，解答中此题中梯子的长度是不变的熟练运用勾股定理是解答题目的关键 （ 2014 北塘区二模）有甲、乙两块铁板（厚度忽略不计），甲的形状为直角梯形，两底边长分别为 4cm， 10cm，且有一内角为 60；乙的
20、形状为等腰三角形，其顶角为 45，腰长 12cm在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为 8.7cm的圆洞中穿过，结果是（ ） A甲板能穿过，乙板不能穿过 B甲板不能穿过，乙板能穿过 C甲、乙两板都能穿过 D甲、乙两板都不能穿过 答案： C 试题分析：铁板是否可以从一个直径为 8.5cm的圆洞中穿过，即求直角梯形的最大宽度 h与 8.5的大小关系：若 h 8.7，可以穿过， h 8.7，不能穿过由于铁板可以任意翻转，故要按照所沿方向的不同进行讨论再利用已知求出它们可通过的最短长度即为一腰的高线，比它小可通过，比它大就不能通过 解：如图 1， AD=4cm， BC=10cm， C=60
21、作 DE BC于 E，则 BE=4， EC=6， 由 C=60知 CD=2EC=12，故 DE= = ， 由 DE 8.7， BC 8.7，故这两个方向都不能穿过圆洞 作 BF CD于 F，有 CF= BC=5， 得 BF= =5 8.7，故沿 CD方向可以通过圆洞 综上所述，甲板能穿过一个直径为 8.7cm的圆洞； 乙钢板零件：如图 2， 甲形状为等腰三角形，其顶角为 45，腰长为 12cm； 可求出可通过的最短长度即一腰的高线，设 AD=x， 则有 sin45= ， 解得 x=6 8.7， 乙钢板零件能通过圆形入口 故选 C 点评：本题主要考查等腰三角形的性质及解直角三角形的应用，解题的关
22、键是运用合适的锐角三角函数解决问题 （ 2014 平谷区一模）在某次活动课中，甲、乙两 个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：如图 1，甲组测得一根直立于平地，长为 80cm 的竹竿的影长为 60cm如图 2，乙组测得学校旗杆的影长为 900cm则旗杆的长为（ ） A 900cm B 1000cm C 1100cm D 1200cm 答案： D 试题分析：根据同一时刻物高与影长成正比即可求出旗杆的高度； 解： 同一时刻物高与影长成正比， = ， 解得旗杆的高度 =1200cm； 故选 D 点评：本题考查了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三
23、角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，体现了转化的思想此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析题意 （ 2014 博山区模拟）如图，点 A的正方体左侧面的中心，点 B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2，一蚂蚁从点 A沿其表面爬到点 B的最短路程是（ ） A 3 B C D 4 答案： C 试题分析：将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可 解：如图， AB= = 故选 C 点评：此题求最短路径，我们将平面展开，组 成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了 （ 2014 石家庄二模）如图，若圆柱的底面周长是 30cm，高是 40cm，从圆柱底部 A处沿侧面缠绕
24、一圈丝线到顶部 B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（ ） A 80cm B 70cm C 60cm D 50cm 答案： D 试题分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据 “两点之间线段最短 ”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形 ACBD， 则从圆柱底部 A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 B处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线 AB的长 圆柱的底面周长是 30cm，高是 40cm， AB2=302+402=900+1600=2500， AB=50（ cm） 故选 D 点评：本题考查了平面展开 -最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩
25、形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形， “化曲面为平面 ”，用勾股定理解决 （ 2013 安顺）如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高 4米，两树相距 8米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A 8米 B 10米 C 12米 D 14米 答案： B 试题分析：根据 “两点之间线段最短 ”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出 解：如图，设大树高为 AB=10m， 小树高为 CD=4m， 过 C点作 CE AB于 E，则 EBDC是矩形， 连接 AC， EB=4m， EC=8m， A
26、E=AB-EB=10-4=6m， 在 Rt AEC中， AC= =10m， 故选 B 点评：本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键 （ 2011 台湾 ）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走 160公尺，再向东直走 80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为 340公尺？（ ） A 100 B 180 C 220 D 260 答案： C 试题分析：根据题意，画出图形，先设 AE的长是 x公尺，如图可得， BC=160公尺， AB=340公尺，利用勾股定理，可解答 解：设阿虎向西直走了 x公尺，如图， 由题意可得， AB=340， AC=x+80， BC=160， 利用勾股定理得，（ x+80） 2+1602=3402， 整理得， x2+160x-83600=0， x1=220， x2=-380（舍去）， 阿虎向西直走了 220公尺 故选 C 点评：本题考查了勾股定理的应用，解答关键是根据题意画出图形，运用数形结合的思想，可直观解答
