1、2015年课时同步练习（浙教版）八年级上 2.7探索勾股定理（带解析） 选择题 如下图， ABC 中， C=90， B=45， AD 是角平分线， DE AB 于 E，则下列结论不正确的是（ ） A AC=AE B CD=DE C CD=DB D AB=AC+CD 答案： C 试题分析：根据角平分线性质求出 CD=DE，根据勾股定理求出 AC=AE，根据三角形的内角和定理求出 B= BDE，推出 BE=DE=CD，即可推出AB=AC+CD 解： B、 AD是角平分线， DE AB， C=90， CD=DE，故本选项错误； A、由勾股定理得： AC= ， AE= ， AC=AE，故本选项错误；
2、D、 B=45， DE AB， BDE=180-90-45=45= B， BE=DE=CD， AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误； C、 CD=DE， BD DE， BD CD，故本选项正确； 故选 C 点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 （ 2012 安庆一模）如图，在 33的网格中，每个网格线的交点称为格点已知图中 A、 B两个格点，请在图中再寻找另一个格点 C，使 ABC成为等腰三角形，则满足条件的点 C有（ ） A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 答案
3、： C 试题分析：分 AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与 A、 B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形， AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， AB垂直平分线上的格点都可以作为点 C，然后相加即可得解 解：如图， AB是腰长时，红色的 4个点可以作为点 C， AB是底边时，黑色的 4个点都可以作为点 C， 所以，满足条件的点 C的个数是 4+4=8 故选 C 点评：本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分 AB是腰长与底边两种情况讨论求解 如图，大正方形是由 49个边长为 l的小正方形拼成的， A， B， C， D四个点是
4、小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析 解：根据勾股定理，得 AB2=4+16=20， AC2=1+4=5， AD2=1+9=10， BC2=25， BD2=1+9=10，CD2=9+16=25， 根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有 ABC和 ABD 故选 B 点评：此题综合考查了勾股定理及其逆定理 如图，在四边形 ABCD中， AB=AD=8， A=60， D=150，已知四边形的周长为 32，那么四边形 ABCD的面积为
5、（ ） A 16 +24 B 16 C 24 D 32 +24 答案： A 试题分析：连接 BD，则 ABD为等边三角形， BCD为直角三角形，根据四边形周长计算 BC， CD，即可求 BCD的面积，正 ABD的面积根据计算公式计算，即可求得四边形 ABCD的面积为两个三角形的面积的和 解：连接 BD， AB=AD=8， ABD为正三角形，其面积为 ABAD=16 ， BC+CD=32-8-8=16，且 BD=8， BD2+CD2=BC2， 解得 BC=10， CD=6， 直角 BCD的面积 = 68=24， 故四边形 ABCD的面积为 24+16 故选 A 点评：本题考查了直角三角形中勾股定
6、理的灵活运用，本题中求证 ABD是正三角形是解题的关键 已知一直角三角形三边的长分别为 x， 3， 4，则 x的值为（ ） A 5 B C 5或 D 答案： C 试题分析：在直角三角形中利用勾股定理求第三边长时，要分清哪是斜边哪是直角边 解：当 x是直角边时， 由勾股定理得： x= = ， 当 x是斜边时， 由勾股定理得： x= =5 故选 C 点评：本题考查了勾股定理的应用，解题时要分两种情况讨论，体现了分类讨论的数学思想 已知等腰三角形的一条腰长是 5，底边长是 6，则它底边上的高为（ ） A 5 B 3 C 4 D 7 答案： C 试题分析：根据等腰三角形的性质求出 BD=CD=3，再利
7、用勾股定理即可求出AD 已知， AB=AC=5， BC=6， AD BC，求 AD的长 解： AB=AC=5， AD BC， BC=6， BD=CD=3， AD= = =4 故选 C 点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题 直角三角形两直角边长为 6和 8，则此三角形斜边上的中线的长是（ ） A 10 B 5 C 4 D 3 答案： B 试题分析：根据勾股定理求出 AB，根据直角三角形斜边上中线性质得出 CD=AB，代入求出即可 解： 在 Rt ACB中， AC=6， BC=8，由勾股定理得： AB= =10， CD是斜边 AB上的中线， CD=
8、AB=5， 故选 B 点评：本题考查了直角三角形斜边上中线性质和勾股定理，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线长是 6.5，一条直角边是 5，则另一直角边长等于（ ） A 13 B 12 C 10 D 5 答案： B 试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，然后根据勾股定理即可求出另一直角边的长 解： 直角三角形斜边上 的中线长是 6.5，一条直角边是 5， 其斜边长为 26.5=13， 另一条直角边长 = =12 故选 B 点评：此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线和勾股定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题 如图，一个含有 30
9、角的直角三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C按顺时针方向旋转到 ABC的位置，若 BC的长为 15cm，那么 AA的长为（ ） A 10 cm B 15 cm C 30 cm D 30cm 答案： C 试题分析：连接 AA构建 RtABA；由旋转的性质可以推知 BC=BC，AC=AC；根据图示知 Rt ABC中的 A=30，由 30所对的直角边是斜边的一半可以求得 AC=30cm，由勾股定理可以求得 AB=15 cm；最后在根据线段间的和差关系求得 AB=BC+CA=BC+AC=45cm，根据勾股定理在 RtABA中求得 AA的值即可 解：连接 AA ABC是由 ABC按顺时针方向旋转得到的，
10、 BC=BC， AC=AC； 又 ABC是含有一个 30角的直角三角形， 从图中知， BAC=30， AC=2BC， AB= BC； 而 BC=15cm； 在 RtABA中， AB=15 cm， AB=BC+CA=BC+AC=45cm， AA= =30 cm 故选 C 点评：本题综合考查了勾股定理、含 30角的直角三角形以及旋转的性质在直角三角形中， 30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键 如图在 ABC中， C=90， AD平分 BAC， DE AB于 E， DE=3，BD=2CD，则 BC=（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 答案： 试题分析：要求 BC，因为 BC=
11、BD+CD，且 BD=2CD，所以求 CD即可，求证 ADE ADC即可得： CD=DE，可得 BC=BD+DE 解： 在 ADE和 ADC中， ， ADE ADC， CD=DE， BD=2CD， BC=BD+CD=3DE=9 故答案：为： 9 点评：本题考查了全等三角形的证明，解本题的关键是求证 ADE ADC，即 CD=DE 如图，正方形 A的面积为 36，正方形 B的面积为 64，则正方形 C的面积是（ ） A 49 B 100 C 144 D 81 答案： B 试题分析：解答此题的关键是先根据正方形 A的面积为 36，正方形 B的面积为64，分别计算出各个正方形的边长，然后利用勾股定理
12、计算出三角形斜边长，即为正方形边长，然后即可求出正方形 C的面积 解： 正方形 A的面积为 36，正方形 B的面积为 64， 正方形 A的边长为 6，正方形 B的边长为 8， 正方形 A的边长和正方形 B的边长正好是三角形 C的两直角边， 三角形 C的斜边长为 10， 则正方形 C的面积是 100 故选 B 点评：此题主要考查学生对勾股定理和正方形性质的理解和掌握，解答此题的关键是先分别计算出各个正方形的边长，然后利用勾股定理计算出三角形斜边长，即为正方形边长 如果三角形的三个内角的度数之比为 1： 2： 3，那么这个三角形的三条边长之比为（ ） A 1： 2： 3 B 1： 4： 9 C 1
13、： ： 2 D 1： ： 答案： C 试题分析：设三角形的三个角的度数是 x， 2x， 3x，根据 x+2x+3x=180，求出三角形三个角的度数，根据含 30度角的直角三角形性质求出 AB=2BC，根据勾股定理求出 AC= BC，代入求出即可 解： 设三角形的三个角的度数是 x， 2x， 3x， 则 x+2x+3x=180， x=30， 2x=60， 3x=90， 如图， C=90 A=30， B=60， AB=2BC，由勾股定理得： AC= BC， BC： AC： AB=1： ： 2， 故选 C 点评：本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，含 30度角的直角三角形性质的应用 填空题 已知
14、 Rt ABC中， C=90，点 D是 AB边的中点，若 AC=6， CD=5，则 ABC的周长为 答案： 试题分析：根据直角三角形斜边上的中线性质求出 AB，根据勾股定理求出 BC，即可求出三角形的周长 解： C=90，点 D是 AB边的中点， CD=5， AB=2CD=10， 由勾股定理得： BC= =8， ABC的周长是 AB+BC+AC=10+8+6=24 故答案：为： 24 点评：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出 AB、 BC的长是解此题的关键 如图，在 55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在网格中画出一个以 AB为边的等腰
15、三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数 答案： 试题分析：要想画出一个以 AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数必须是边长在小正方形的对角线上，题目中已经给出了一个边，那么另外等腰三角形的边也一定是在多个小正方形的对角线上 解： AB= ，那么以 AB为腰的等腰三角形（且另一个顶点在格点上） 在此图形中没有了，只有 AB为底边才可以得到题目要求中的三角形， 如下图： ABC、 ABD、 ABE 点评：此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，此题的难点 “要求使另一个顶点在格点上，且另两边的长都是无理数 ”这就要求边长必须在小正方形的对角线上，因此此题有
16、 一定难度，属于中档题 在 Rt ABC中， CD、 CF是 AB边上的高线与中线，若 AC=4， BC=3，则CF= ； CD= 答案： .5， 2.4 试题分析：在直角三角形 ABC中， C=90，已知 AC、 BC的长根据勾股定理可以求 AB的长，则 CF= AB，根据面积相等法 AC BC= AB CD可以求 CD 解：在直角三角形 ABC中， C=90， AB2=AC2+BC2， AC=4， BC=3， AB=5， CF为斜边的中线，所以 CF= AB=2.5， 又 ABC面积 S= AC BC= AB CD CD= =2.4， 故答案：为 2.5， 2.4 点评：本题考查了勾股定理
17、在直角三角形中的运用，考查了直角三角形斜边中线长为斜边一半的性质，考查了直角三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求斜边长是解题的关键 如图，在 Rt ABC中， A=90， AB=AC=4 ，点 D为 AC的中点，点 E在边 BC上，且 ED BD，则 CDE的面积是 答案： 试题分析：先根据点 D为 AC的中点，求出 S ABD=S BDC= S ABC=12，然后过 D点作 DF垂直于 BC于 F点，求出 DF，再利用勾股定理和射影定理求出 BF和BE，然后即可求出 CE，那么就可以求出 CDE的面积了 解：点 D为 AC的中点 故 AD=DC= AC=2 ， S ABD=S BDC= S
18、 ABC=12， 由勾股定理得 BC= =4 ， 过 D点作 DF垂直于 BC于 F点， DF= = = ， BD2=AD2+AB2=12+48=60， BD=2 ， 由勾股定理得 BF= = =3 ， 由射影定理得 BD2=BF BE， BE= = = CE=BC-BE=4 - = ， S CDE= CEDF= =2 故答案：为： 2 点评：此题考查学生对勾股定理，三角形面积、射影定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，有一定难度，属于难题 如图， Rt ABC中，斜边 AB上的中线 CD=5cm， AC=6cm，则 BC= cm 答案： 试题分析：根据直角三角形斜边上的中线的性质求出 AB，
19、根据勾股定理求出BC即可 解： Rt ABC中，斜边 AB上的中线 CD=5cm， AB=2CD=10cm， 根据勾股定理得： BC= = =8 故答案：为： 8 点评：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出 AB的长是解此题的关键 若直角三角形的两条直角边的长分别是 3和 4，则斜边上的中线长为 答案： .5 试题分析：根据勾股定理求出 AB，根据直角三角形斜边上中线求出 CD= AB即可 解： ACB=90， AC=3， BC=4，由勾股定理得： AB= =5， CD是 ABC中线， CD= AB= 5=2.5， 故答案：为： 2.5 点评：本题主
20、要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出 CD= AB是解此题的关键 如图，四边形 ABCD中， A=60， B= D=90， AB=4， CD=2，则BC= 答案： -4 试题分析：延长 AD、 BC交于 O，求出 O，根据直角三角形性质求出 OA、OC，根据勾股定理求出 OB即可 解：延长 AD、 BC交于 O， B=90， A=60， O=30， OA=2AB=8， OC=2CD=4， 由勾股定理得： OB= =4 ， BC=OB-OC=4 -4 故答案：为： 4 -4 点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，含 30度角的直角三角形，勾股定理等知识点的理解和
21、掌握，能求出 OC、 OB的长是解此题的关键 如图，是 55的正方形网络，方格纸中 ABC的 3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，如果以点 D、 E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与 ABC全等，那么，这样的格点三角形最多可以画出 个 答案： 试题分析：根据全等三角形的判定定理（ SAS， ASA， AAS， SSS）判断后画出即可 解：共 4个三角形，如图 故答案：为： 4 点评：本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA， AAS， SSS 如图，已知 OA=OB，那么数轴上点 A所表示数的相反数是 答案： 试
22、题分析：在直角三角形中根据勾股定理求得 OB的值，即 OA的值，然后根据实数与数轴、及相反数的定义解答即可 解： |OB|= = ， OA=OB， |OA|= ， 点 A在数轴上原点的左边， 点 A表示的数是 - ， 点 A所表示数的相反数 ； 故答案：为： 点评：本题考查了实数与数轴、勾股定理解答此题，要正确理解相反数的定义 等边三角形的边长为 4，则其面积为 答案： 试题分析：根据三线合一的性质根据勾股定理可以求出 AD，根据 AD、 BC可以计算等边 ABC的 面积，即可解题 解： 等边三角形中中线与高线重合， D为 BC的中点，故 BD= BC=2， 在 Rt ABD中， AB=4，
23、BD=2， 则 AD= =2 ， 等边 ABC的面积为 BC AD=4 =4 故答案：为 4 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形三线合一的性质，考查了等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求 AD的值是解题的关键 解答题 请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理 答案：见 试题分析：先证出四边形 ABDE和四边形 GHMC是正方形，分别用两种方法求出大正方形的面积，即可得出答案： 解： ABC、 BMD、 DHE、 AGE是全等的四个直角三角形， AE=DE=BD=AB， EAG+ BAC= EAG+ AEG=180-90=90， 四边形 ABDE是正
24、方形， AGE= EHD= BMD= ACB=90， HGC=90， GH=HM=CM=CG=b-a， 四边形 GHMC是正方形， 大正方形的面积是 cc=c2， 大正方形的面积也可以是： 4 ab+（ b-a） 2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2， a2+b2=c2， 即在直角三角形中，两直角边（ a、 b）的平方和等于斜边（ c）的平方 点评：本题考查了勾股定理的证明，主要考查学生观察图形的能力和计算能力，题目比较好，难度不大 如图，在 Rt ABC中， ABC=90， AB=4， BC=3，将 ABC沿 AC边所在直线向右平移 x个单位，记平移后的对应三角形为 DEF，连接 BE
25、 （ 1）当 x=4时，求四边形 ABED的周长； （ 2）当 x为何值时， BED是等腰三角形？ 答案：（ 1） 16（ 2） 试题分析：（ 1）根据轴对称的性质，求得 AD， DE的长，然后即可求四边形ABED的周长 （ 2）分两种情况：一是，当 BE=ED=4时，利用轴对称的性质可得 x的值，二是当 BD=ED=4时，利用勾股定理可求得 x的值 解：（ 1）将 ABC沿 AC边所在直线向右平移 x个单位，当 x=4时， 即 AD=4，又因为平移后的对应三角形为 DEF， 所以， AB=AD=DE=BE=4， 所以四边形 ABED的周长为 16 （ 2）当 BE=ED=4时， x=4； 当
26、 BE=BD=x时，由 CDE= BDE， BC DE， 利用轴对称的性质可得 DC=BD=BE，即 5-x=x， x=2.5， 当 BD=ED=4时， 过点 D作 DH BE于 H， BH= ， DH= = ， 利用勾股定理得： DH2+BH2=BD2， 即 ， x= 答：（ 1）当 x=4时，求四边形 ABED的周长为 16；（ 2）当 x为 或 2.5或 4时， BED是等腰三角形 点评：此题主要考查勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，平移的性质等多个知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，属于中档题 如图，在 ABC中， BAC=90， AB=9， AC=12， AD BC，
27、垂足为 D （ 1）求 BC的长；（ 2）求 BD的长 答案：（ 1） 15（ 2） 试题分析：（ 1）由已知在 ABC中， BAC=90，所以得到 ABC为直角三角形且 AB、 AC为两直角边，因此根据勾股定理可求出 BC的长（ 2）AD BC，垂足为 D，所以得到直角三角形 DBA， BDA 和 BAC 都为直角， B 为公共角，得到 ABC 与 DBA 相似，根据相似三角形的性质求得 BDA 解：（ 1）在 ABC中， BAC=90， BC2=AB2+AC2（勾股定理）， =92+122， =81+144， =225 BC=15 （ 2） AD BC，垂足为 D， DBA为直角三角形，
28、在 ABC与 DBA中， BDA= BAC=90， B= B（公共角）， ABC DBA， = ， BD= = = 点评：此题考查的知识点是直角三角形的勾股定理解答此题的关键是由已知在 ABC中， BAC=90，所以运用勾股定理求出 BC的长，通过三角形相似求出 BD 如图，在四边形 ABCD中， DAB= DCB=90，对角线 AC与 BD相交于点 O， M、 N分别是边 BD、 AC的中点 （ 1）求证： MN AC； （ 2）当 AC=8cm， BD=10cm时，求 MN的长 答案 ：（ 1）见（ 2） 3cm 试题分析：（ 1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定 AM=MC=
29、BD，从而推知 N点是 AC边上的中点，所以 MN是 AC的中垂线； （ 2）在 Rt AMN中，利用勾股定理求得 MN的长 （ 1）证明：连接 AM、 MC 在 DCB和 BAD中， DAB= DCB=90， M是边 BD的中点， AM=MC= BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； N是 AC的中点， MN AC； （ 2）解： AC=8cm， BD=10cm， M、 N分别是边 BD、 AC的中点 AM=5cm， AN=4cm； 在 Rt AMN中， MN= =3cm（勾股定理） 点评：本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理解题时，通过作辅助线 AM、 MC构建了直角三角
30、形斜边上的中线，然后利用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”来解答问题 已知：如图，在 ABC 中， C=90， B=30， AC=6，点 D 在边 BC 上，AD平分 CAB， E为 AC上的一个动点（不与 A、 C重合）， EF AB，垂足为 F （ 1）求证： AD=DB； （ 2）设 CE=x， BF=y，求 y关于 x的函数式； （ 3）当 DEF=90时，求 BF的长？ 答案：（ 1）见（ 2） y=9+ x（ 0 x 6）（ 3） 10 试题分析：（ 1）求出 CAB、 DAB，推出 DAB= B即可； （ 2）求出 AE=6-x， AF= ，根据勾股定理求出 AB，即可
31、求出答案：； （ 3）求出 DE=2x，求出 AE=DE=6-x，得到方程，求出方程的解，即可求出答案： （ 1）证明：在 ABC中， C=90， B=30， CAB=60， 又 AD平分 CAB， DAB= DAC= CAB=30， DAB= B， AD=DB （ 2）解：在 AEF中， AFE=90， EAF=60， AEF=30， AE=AC-EC=6-x， AF= ， 在 Rt ABC中， B=30， AC=6， AB=12， BF=AB-AF=12- x， y=9+ x， 答： y关于 x的函数式是 y=9+ x（ 0 x 6） （ 3）解：当 DEF=90时， CED=180- A
32、EF- FED=60， EDC=30， ED=2x， C=90， DAC=30， ADC=60， EDA=60-30=30= DAE， ED=AE=6-x 有 2x=6-x，得 x=2， 此时， y=9+ 2=10， 答： BF的长为 10 点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的角平分线性质，含 30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 如图，在 ABC中， C=90， B=30， AD是 ABC的角平分线，BC=6求点 D到 AB边的距离 答案： cm 试题分析：首先过点 D作 DE AB于 E，由在 ABC
33、中， C=90， AD是 BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得 DE=CD，即可求得 CD的长，继而求得点 D到 AB的距离 解：过点 D作 DE AB于 E， 在 ABC中， C=90， DC AC， AD是 BAC的角平分线， DE=CD， 设 CD=DE=x， B=30， BD=2x， BC=2x+x=6， 解得： DE=DC=2 故点 D到 AB的距离为 2cm 点评：此题考查了角平分线的性质此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法 如图，在 Rt ABC中， BAC=90， AB=AC，点 M、 N在边 BC上 （ 1）如图 1，如果 AM=AN，求
34、证： BM=CN； （ 2）如图 2，如果 M、 N是边 BC上任意两点，并满足 MAN=45，那么线段BM、 MN、 NC是否有可能使等式 MN2=BM2+NC2成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由 答案：见 试题分析：（ 1）根据已知条件 “在 Rt ABC中， BAC=90， AB=AC”以及等腰直角三角形的性质来判定 ABM CAN（ AAS）；然后根据全等三角形的对应边相等求得 BM=CN； （ 2）过点 C作 CE BC，垂足为点 C，截取 CE，使 CE=BM 连接 AE、EN通过证明 ABM ACE（ SAS）推知全等三角形的对应边 AM=AE、对应角 BAM= CA
35、E；然后由等腰直角三角形的性质和 MAN=45得到 MAN= EAN=45，所以 MAN EAN（ SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到 EN2=EC2+NC2即 MN2=BM2+NC2 （ 1）证明： AB=AC， B= C AM=AN， AMN= ANM 即得 AMB= ANC（ 1分） 在 ABM和 CAN中， ABM CAN（ AAS）（ 2分） BM=CN（ 1分） 另证：过点 A作 AD BC，垂足为点 D AB=AC， AD BC， BD=CD（ 1分） 同理，证得 MD=ND（ 1分） BD-MD=CD-ND 即得 BM=CN（ 2分） （ 2） MN2
36、=BM2+NC2成立 证明：过点 C 作 CE BC，垂足为点 C，截取 CE，使 CE=BM连接 AE、 EN AB=AC， BAC=90， B= C=45 CE BC， ACE= B=45（ 1分） 在 ABM和 ACE中， ABM ACE（ SAS） AM=AE， BAM= CAE（ 2分） BAC=90， MAN=45， BAM+ CAN=45 于是，由 BAM= CAE，得 MAN= EAN=45（ 1分） 在 MAN和 EAN中， MAN EAN（ SAS） MN=EN（ 1分） 在 Rt ENC中，由勾股定理，得 EN2=EC2+NC2 即得 MN2=BM2+NC2（ 1分） 另
37、证：由 BAC=90， AB=AC，可知，把 ABM绕点 A逆时针旋转 90后，AB与 AC重合，设点 M的对应点是点 E 于是，由图形旋转的性质，得 AM=AE， BAM= CAE （ 3分） 以下证明同上 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用等腰直角三角形的两个底角都是 45、两腰相等 如图，在四边形 ABCD中， AD=4cm， CD=3cm， AD CD， AB=13cm，BC=12cm，求四边形的面积 答案： cm2 试题分析：连接 AC，根据勾股定理求出 AC，然后利用勾股定理的逆定理推导出 ABC是直角三角形，然后利用三角形面积公式将两个三角形的面积相加即可 解：连接 AC， AD CD 在直角 ACD中， AC2=AD2+CD2=42+32=25 解得 AC=5cm AC2+BC2=52+122=169=132=AB2 ACB=90 S 四边形 ABCD=S ACD+S ABC = AD CD+ AC BC =6+30 =36（ cm2） 答：四边形的面积为 36cm2 点评：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题的关键是利用勾股定理的逆定理推导出 ABC是直角三角形，然后将两个三角形的面积相加即可此题难度不大，属于中档题
