1、2015届江苏省南菁高级中学实验学校九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 -2的相反数是 （ ） A 2 BC D 答案： A 试题分析： 2的相反数是 2故选 A 考点：相反数 点 P是 ABC内（不在边上）一点，连接 PA、 PB、 PC，如果 PAB、 PBC、 PAC中存在一个三角形与原 ABC相似，那么我们把点 P叫做 ABC的内相似点已知在 Rt ABC中， ACB=90， AC=3， BC= 4，若点P是 ABC的内相似点，则 cos PAB的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： AC=3， BC=4， CAB CBA， 故可在 CAB内作 CAP=
2、 CBA， 又 点 P为 ABC的内相似点， 过点 C作 CP AP，并延长 CP交 AB于点D，则 APC BCA， 点 P为 ABC的内相似点， ACP= CAB， DA=DC， 在 Rt ABC中， AC=3， BC=4，则可求得 AB=5， 由相似可知 ，即 ，解得 AP= ， 在 Rt APC中， AC=3， AP= ，由勾股定理可求得 PC= ， 设 AD=x，则 PD= ，且 AP= ，由勾股定理可得 ， 即 ，解得 ，即 AD= ， cos PAB= ， 故答案：为： 考点：相似三角形的判定与性质 如图 1，在平面内选一定点 O，引一条有方向的射线 Ox，再选定一个单位长度，那
3、么平面上任一点 M的位置可由 MOx的度数 与 OM的长度 m确定，有序数对（ ， m）称为 M点的 “极坐标 ”，这样建立的坐标系称为 “极坐标系 ”应用：在图 2的极坐标系下，如果正六边形的边长为 2，有一边 OA在射线 Ox上，则正六边形的顶点 C的极坐标应记为（ ） A（ 60， 4） B（ 45， 4） C（ 60， ） D（ 50， ） 答案： A 试题分析：如图，设正六边形的中心为 D，连接 AD， ADO=3606=60， OD=AD， AOD是等边三角形， OD=OA=2， AOD=60， OC=2OD=22=4， 正六边形的顶点 C的极坐标应记为（ 60， 4） 故选： A
4、 考点： 1正多边形和圆； 2坐标确定位置； 3新定义 若关于 x的一元二次方程 的常数项为 0，则 m的值等于（ ） A 1 B 2 C 1或 2 D 0 答案： B 试题分析：根据题意，知， ，解方程得： m=2故选： B 考点：一元二次方程的一般形 式 已知两圆的半径 R， r分别为方程 的两根，这两圆的圆心距为3，则这两圆的位置关系是（ ） A外切 B内切 C相交 D外离 答案： A 试题分析： 两圆半径的长分别为方程 的两根， 两圆半径之和为 3， 又 两圆的圆心距为 3， 两圆外切故选 A 考点： 1圆与圆的位置关系； 2解一元二次方程 -因式分解法 在 Rt ABC中， C=90
5、，若 AB=2AC，则 sinA 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： C=90， AB=2AC， B=30， A=60，故可得 sinA=故选 C 考点： 1特殊角的三角函数值； 2含 30度角的直角三角形 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： A 此图形对折后不能与原图形重合， 此图形不是轴对称图形，故此选项错误； B 此图形旋转 180后能与原图形重合， 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D 此图形旋转
6、 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误 故选： B 考点：中心对称图形；轴对称图形 下列方程没有实数根的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： A. = ，故此方程有实数根； B = ，故此方程有实数根； C = ，故此方程没有实数根； D解得 ， ，故此方程有实数根； 故选： C 考点：根的判别式 南菁实验学校校园进行改造，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地砖是（ ） A正五边形地砖 B正三角形地砖 C正六边形地砖 D正四边形地砖 答案： A 试题分析： A正五边形每个内角是 1803605=108，不是 360的约数，不能镶嵌平
7、面，符合题意； B正三角形的一个内角度数为 1803603=60，是 360的约数，能镶嵌平面，不符合题意； C正六边形的一个内角度数为 1803606=120，是 360的约数，能镶嵌平面，不符合题意； D正四边形的一个内角度数为 1803604=90，是 360的约数，能镶嵌平面，不符合题意 故选： A 考点：平面镶嵌（密铺） 下列计算正确 的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： A ，故此选项错误； B ，故此选项错误； C ，故此选项错误； D ，故此选项正确； 故选 D 考点： 1同底数幂的除法； 2合并同类项； 3同底数幂的乘法； 4幂的乘方与积的乘方 填空题 为解决停
8、车难的问题，在如图一段长 65米的路段开辟停车位，每个车位是长 5米宽 2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位（ 1.4） 答案： 试题分析：如图， BC=2.2sin45=2.2 1.54米， CE=5sin45=5 3.5米， BE=BC+CE5.04， EF=2.2sin45=2.2 3.14米， （ 655.04） 3.14+1=59.963.14+119+1=20（个）故这个路段最多可以划出20个这样的停车位 故答案：为： 20 考点： 1解直角三角形的应用； 2调配问题 如图，在 Rt ABC中， BAC=90， AB=AC=16cm
9、， AD为 BC边上的高动点 P从点 A出发，沿 AD 方向以 cm/s的速度向点 D运动设 ABP的面积为 S1，矩形 PDFE的面积为 S2，运动时间为 t秒（ 0 t 8），则t= 秒时， S1=2S2 答案： 试题分析： Rt ABC 中， BAC=90， AB=AC=16cm， AD 为 BC 边上的高， AD=BD=CD= cm， 又 AP= ，则 S1= AP BD= ， PD= ， PE BC， APE ADC， ， PE=AP= ， S2=PD PE=， S1=2S2， ，解得： t=6故答案：是： 6 考点： 1一元二次方程的应用； 2等腰直角三角形； 3矩形的性质 如图，
10、以 ABC的边 BC为直径的圆 O分别交 AB、 AC于点 D、 E，连接OD、 OE，若 A=65，则 DOE= 答案： 试题分析：如图，连接 BE BC为 O的直径， CEB= AEB=90， A=65， ABE=25， DOE=2 ABE=50，（圆周角定理） 故答案：为： 50 考点： 1三角形内角和定理； 2等腰三角形的性质； 3圆周角定理 如果一个正多边形的一个外角是 60，那么这个正多边形的边数是 答案： 试题分析：这个正多边形的边数： 36060=6故答案：为： 6 考点：多边形内 角与外角 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125元降到 80元，则平均每次降价的百分率
11、为 答案： % 试题分析：设这种商品平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得， 解得 ， （不合题意，舍去）；故答案：为： 20% 考点： 1一元二次方程的应用； 2增长率问题 据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达 679 000 000元，这个数用科学记数法表示为 元 答案： 试题分析： 679 000 000= 故答案：为： 考点：科学记数法 表示较大的数 若关于 x的一元二次方程 有一个根是 1，则 = 答案： 试题分析： 关于 x的一元二次方程 有一个根是 1， ，解得 ，故答案：为： 2 考点：一元二次方程的解 函数 中自变量 x的取值范围为 答案： 试题分析：
12、根据二次根式的意义可得： ，解得： 考点：函数自变量的取值范围 解答题 （本题满分 10分）已知 A、 B两市相距 260千米，甲车从 A市前往 B市运送物资，行驶 2小时在 M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从 A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达 M地后又经过 20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速 1.5倍的速度前往 B市，如图是两车距 A市的路程 y（千米）与甲车行驶时间 x（小时）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （ 1）甲车提速后的速度是 千米 /时，乙车的速度是 千米 /时，点 C的坐标为 ； （ 2）求乙车返回时 y与 x的函数关系式并写出自变量 x
13、的取值范围； （ 3）求甲车到达 B市时乙车已返回 A市多长时间？ 答案：（ 1） 60千米 /小时， 96千米 /小时， C（ ）；（ 2）；（ 3） 试题分析：（ 1）由甲车行驶 2小时在 M地且 M地距 A市 80千米，由此求得甲车原来的 速度 802=40千米 /小时，进一步求得甲车提速后的速度是401.5=60千米 /时；乙车从出发到返回共用 42=2小时，行车时间为小时，速度为 千米 /时；点 C的横坐标为 ，纵坐标为 80； （ 2）设乙车返回时 y与 x的函数关系式 y=kx+b，代入点 C和（ 4， 0）求得答案：即可； （ 3）求出甲车提速后到达 B 市所用的时间减去乙车返
14、回 A 市所用的时间即可 试题：（ 1）甲车提速后的速度： 8021.5=60千米 /时， 乙车的速度： 千米 /时； 点 C的横坐标为 ，纵坐标为 80，坐标为（ ）； （ 2）设乙车返回时 y与 x的函数关系式 ，代入（ ）和（ 4， 0）得： ， 解得： ，所以 y与 x的函数关系式 ； （ 3）（ 26080） 608096= （小时）， 答：甲车到达 B市时乙车已返回 A市 小时 考点：一次函数的应用 （本题满分 10分）如图， ABC中， AB=AC= ， cosC= （ 1）动手操作：利用尺规作以 AC 为直径的 O，并标出 O 与 AB 的交点 D，与 BC的交点 E（保留作图
15、痕迹，不写作法）； （ 2）综合应用：在你所作的图中， 求证： ； 求点 D到 BC的距离 答案：（ 1）作图见试题；（ 2） 证明见试题 ； 试题分析：（ 1）先作出 AC的中垂线，再画圆； （ 2）边接 AE， AE是 BC的中垂线， DAE= CAE，得出 ； （ 3）利用 BDE BCA求出 BD，再利用余弦求出 BM，用勾股定理求出DM 试题：（ 1）如图， （ 2）如图，连接 AE， AC为直径， AEC=90， AB=AC， DAE= CAE， ； （ 3）如图，连接 AE， DE，作 DM BC交 BC于点 M， AC为直径， AEC=90， AB=AC= ， cosC= ，
16、EC=BE=4， BC=8， 点 A、 D、 E、 C共圆， ADE+ C=180， 又 ADE+ BDE=180， BDE= C， BDE BCA， ，即 BD BA=BE BC， BD =48， BD= ， B= C， cos C=cos B= ， ， BM= ， DM= = 考点： 1作图 复杂作图； 2勾股定理的应用； 3相似三角形的应用 （本题满分 8分）图 1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成 30度的夹角，示意图如图 2所示在图 2中，每个菱形的边长为 10cm，锐角为 60度 （ 1）连接 CD、 EB，猜想它们的位置关系并加以证明； （
17、2）求 A、 B两点之间的距离（结果保留根号） 答案：（ 1）猜想 CD EB；（ 2） 试题分析：（ 1）连接 DE根据菱形的性质和角的和差关系可得 CDE= BED=90，再根据平行线的判定可得 CD， EB的位置关系； （ 2）根据菱形的性质可得 BE， DE，再根据三角函数可得 BD， AD，根据AB=BD+AD，即可求解 试题：（ 1）猜想 CD EB证明：连接 DE 中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成 30的夹角，菱形的锐角为 60 CDE=6022+30=90， BED=6022+30=90， CDE= BED， CD EB （ 2） BE=2OE=210cos30=
18、 cm，同理可得， DE= cm，则 BD=cm， 同理可得， AD= cm， AB=BD+AD= cm 答： A， B两点之间的距离大约为 cm 考点：解直角三角形的应用 （本题满分 10分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40元，按每千克 60元出售，平均每天可售出 100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2元，则平均每天的销售量可增加 20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240元，请回答： （ 1）每千克核桃应降价多少元？ （ 2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？ 答案：（ 1） 4或 6；（ 2）九折 试题
19、分析：（ 1）设每千克核桃降价 x元，利用销售量 每件利润 =2240元列出方程求解即可； （ 2）为了让利于顾客因此应下降 6元，求出此时的销售单价即可确定几折 试题：（ 1）解：设每千克核桃应降价 元，根据题意，得， 化简，得 解得 ， ， 答：每千克核桃应降价 4元或 6元； （ 2）解 ：由（ 1）可知每千克核桃可降价 4元或 6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6元，此时，售价为： （元）， 答：该店应按原售价的九折出售 考点： 1一元二次方程的应用； 2增长率问题 （本题满分 6分）某校为了解 2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了 40名学生课外书籍
20、借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这 40名学生借阅总册数的 40% 类别 科普类 教辅类 文艺类 其他 册数（本） 128 80 m 48 （ 1）求表格中字母 m的值及扇形统计图中 “教辅类 ”所对应的圆心角 a的度数； （ 2）该校 2014年八年级有 500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 答案：（ 1） 64， 90；（ 2） 1000 试题分析：（ 1）首先根据科普类所占的百分比和册数求得总册数，然后相减即可求得 m的值；用教辅类书籍除以总册数乘以周角即可求得其圆心角的度数； （ 2）用该年级的总人数乘以教辅类的学
21、生所占比例，即可求出该年级共借阅教辅类书籍人数 试题：（ 1）观察扇形统计图知：科普类有 128册，占 40%， 借阅总册数为 12840%=320本， m=3201288048=64； 教辅类的圆心角为： 360 =90； （ 2）设全校 500名学生借阅教辅类书籍 x本， 根据题意得： ，解得： x=1000， 八年级 500名学生中估计共借阅教辅类书籍约 1000本 考点： 1扇形统计图； 2用样本估计总体 （本题满分 8分）如图，点 A、 B、 C分别是 O上的点， B=60， CD是 O的直径， P是 CD延长线上的点，且 AP=AC. （ 1）求证： AP是 O的切线； （ 2）若
22、 AC= 3，求 PD的长 . 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） 试题分析：（ 1）连接 OA，求出 AOC，求出 ACP，得出 P，求出 AOD，推出 PAO=90，根据切线判定推出即可； （ 2）根据 ACD=30， AC=3求出 DC，求出半径，在 Rt PAO中根据勾股定理求出即可 试题：（ 1）连接 OA， B=60， AOC=2 B=120， OA=OC， ACP= CAO=30， AOP=60， 又 AP=AC， P= ACP=30， OAP=90，即 OA AP， 点 O在 O上， AP是 O的切线； （ 2）连接 AD， CD是 O的直径， CAD=90， AD=AC ta
23、n30= ， CD=2AD= ， DO=AO= CD= ， 在 Rt PAO 中，由勾股定理得： ， ， PD的值为正数， PD= 考点：切线的判定 （本题满分 6分）一元二次方程 （ 1）若方程有两个实数根，求 m的范围 （ 2）设方程两实根为 ，且 ，求 m 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据关于 x的一元二次方程 有两个实数根，得出 且 ，求出 m的取值范围即可； （ 2）根据方程两实根为 ，求出 和 的值，再根据 ，得出，再把 和 的值代入计算即可 试题：（ 1） 关于 x的一元二次方程 有两个实数根， 且 0，即 ，解得 ， m的取值范围为 （ 2） 方程两实根为 ，
24、 ， ， ， ， ， ， 解得： ；经检验 是原方程的解 考点： 1根的判别式； 2根与系数的关系 （本题满分 8分） （ 1）解方程： （ 2）解方程： 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）先把方程左边分解，原方程转化为 x+5=0或 x1=0，然后解一次方程即可； （ 2）去分母即可，最后一定要检验 试题：（ 1） ， ； （ 2）去分母得： ， ， ， ， 检验：当 时， ，所以 是原方程的解 考点： 1解一元二次方程 -因式分解法； 2分式方程 （本题满分 8分） （ 1）化简： （ 2）计算： ； 答案：（ 1） ；（ 2） 2 试题分析：（ 1）把除法变成乘法，约分，化简
25、即可； （ 2）在进行本题运算时，先把负指数幂，绝对值，三角函数先进行计算，且知道任何非零数的零次幂为 1，然后通过加减计算得到结果 试题：（ 1）原式 = ； （ 2）原式 = 考点： 1分式的乘除法； 2实数的运算； 3特殊角的三角函数值 （本题满分 10分 ）在平面直角坐标系 xOy中，已知 A（ 2， 0）， B（ 2，0）， AC AB于点 A， AC=2， BD AB于点 B， BD=6，以 AB为直径的半圆O上有一动点 P（不与 A、 B两点重合），连接 PD、 PC，我们把由五条线段AB、 BD、 DP、 PC、 CA所组成的封闭图形 ABDPC叫做点 P的关联图形，如图 1所
26、示 （ 1）如图 2，当 P运动到半圆 O与 y轴的交点位置时，求点 P的关联图形的面积 （ 2）如图 3，连接 CD、 OC、 OD，判断 OCD的形状，并加以证明 （ 3）当点 P运动到什么位置时，点 P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并 求面积的最大值 答案：（ 1） 12；（ 2） OCD是直角三角形，理由见试题；（ 3） P为 OC与半圆 O的交点， 试题分析：（ 1）判断出四边形 AOPC是正方形，得到正方形的面积是 4，根据BD AB， BD=6，求出梯形 OPDB的面积 = ，二者相加即为点 P的关联图形的面积是 12 （ 2）根据 CF=DF=4， DCF=45，求出 O
27、CD=90，判断出 OCD是直角三角形 （ 3）要使点 P的关联图形的面积最大，就要使 PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形 ACDB 的面积 PCD 的面积，根据此思路，进行解答 试题：（ 1） A（ 2， 0）， OA=2， P是半圆 O上的点， P在 y轴上， OP=2， AOP=90， AC=2， 四边形AOPC是正方形， 正方形的面积是 4， 又 BD AB， BD=6， 梯形 OPDB的面积 = ， 点 P的关联图形的面积是 12 （ 2）判断 OCD是直角三角形 证明：延长 CP交 BD于点 F，则四边形 ACFB为矩形， CF=DF=4， DCF=45， OCD=90
28、， OC CD， OCD是直角三角形 （ 3）连接 OC交半圆 O于点 P，则点 P即 为所确定的点的位置 理由如下：连接 CD，梯形 ACDB的面积 = 为定值， 要使点 P的关联图形的面积最大，就要使 PCD的面积最小， CD为定长， P到 CD的距离就要最小， 连接 OC，设交半圆 O于点 P， AC OA， AC=OA， AOC=45，过 C作 CF BD于 F，则 ACFB为矩形， CF=DF=4， DCF=45， OC CD， OC= ， PC在半圆外，设在半圆 O上的任意一点 P到 CD的距离为 PH，则 PH+PO OH OC， OC=PC+OP， PH PC， 当点 P运动到半圆 O与 OC的交点位置时，点 P的关联图形的面积最大 CD= ， CP= ， PCD的面积 = ， 点 P的关联图形的最大面积是梯形 ACDB的面积 PCD的面积 = 考点：圆的综合题
