1、2012年辽宁省建平县八年级单科数学竞赛卷（带解析） 选择题 直角三角形的周长为 12cm，斜边长为 5cm，则其面积为 ( ) A 12cm2 B 6cm2 C 8cm2 D 10cm2 答案： B 试题分析：设直角三角形的两条直角边长分别为 a和 b，根据直角三角形的周长及勾股定理即可得到关于 a和 b的方程组，再结合直角三角形的面积公式即可求得结果 . 设直角三角形的两条直角边长分别为 a和 b，由题意得 ，解得 则 所以直角三角形的面积 故选 B. 考点：直角三角形的性质，勾股定理 点评：解答本题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程，注意本题要有整体意识 . 若 0 1，那么 的
2、化简结果是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：先根据二次根式的性质化简，再合并同类项即可得到结果 . 0 1 故选 B. 考点：二次根式的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次根式的性质：当 时， ；当时， 2002年 8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的短直角边为 ，较长直角边为 ，那么 的值为（ ） A 13 B 36 C 25 D 169 答案： C 试题分析：由大正方形的面积是 13可得 ，再结合小正方形的面积
3、是 1可得每个小直角三角形的面积为 3，即 ，则可得 ，再根据完全平方公式即可求得结果 . 由题意得 ， ，则 所以 故选 C. 考点：正方形的面 积公式，勾股定理，直角三角形的面积公式，完全平方公式 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理和完全平方公式，即可完成 . 下列说法，正确的是（ ） A在 ABC中， ，则有 B 的立方根是 C无限小数是无理数，无理数也是无限小数 D一个无理数和一个有理数之积为无理数 答案： A 试题分析：根据实数的基本知识依次分析各项即可判断 . A、在 ABC中， ，则有 ，本选项正确； B、 的立方根是 ， C、无限循环小数是有理数， D、 ，故错
4、误 . 考点：实数的基本知识 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握实数的基本知识，即可完成 . 已知 是整数，则 x的最小整数值是（ ） A 16 B 16 C 25 D 25 答案： C 试题分析：化 ，再根据立方根的性质即可判断 . 是整数 x的最小整数值是 25 故选 C. 考点：立方根 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握立方根的性质，即可完成 . 若 A(a,b)， B(b,a)表示同一点，那么这一点在 ( ) A第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上 B第一象限内两坐标轴夹角平分线上 C第二、四象限内两坐标轴夹角平分线上 D平行于 y轴的直线上 答案： A 试题分析：根据
5、A(a,b)， B(b,a)表示同一点可得 ，即可得到结果 . A(a,b)， B(b,a)表示同一点 这一点在第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上 故选 A. 考点：点的坐标 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征，即可完成 . 已知 x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则 k的值是（ ） A 8 B 8 C 16 D 16 答案： D 试题分析：根据完全平方式的构成即可得到结果 . ，解得 故选 D. 考点：完全平方式 点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式： 在 ABC中， A、 B、 C的对边分别是 、 、 ，则下列说法中错误的是（ ） A.如果
6、 C- B= A，那么 ABC是直角三角形， C=90 B.如果 ，则 B=60， A=30 C.如果 ，那么 ABC是直角三角形 D.如果 ，那么 ABC是直角三角形 答案： B 试题分析：根据直角三角形的判定方法依次分析各项即可判断 . A、如果 C- B= A，那么 ABC是直角三角形， C=90 ， C、如果，那么 ABC是直角三角形， D、如果 ，那么 ABC是直角三角形，均正确，不符合题意； B、由 ，无法得到 B=60， A=30，故错误，本选项符合题意 . 考点：直角三角形的判定 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握直角三角形的判定方法，即可完成 . 填空题 已知 a1+
7、a2=1， a2+a3=2， a3+a4=3， ， a99+a100=99， a100+a1=100，那么a1+a2+a3+a 100= . 答案： 试题分析：仔细分析所给式子的特征可得 a1+a2+a3+a 100= （ a1+a2） +（ a3+a4）+ （ a99+a100），再代入求值，根据从 1开始的相邻奇数的和即可求得结果 . 由题意得 a1+a2+a3+a 100= （ a1+a2） +（ a3+a4） + （ a99+a100）=1+3+5+99=2525. 考点：找规律 -式子的变化 点评：解答本题的关键是读懂所给式子的规律，再根据这个规律解题即可 . 已知 3 3， 3 9
8、， 3 27， 3 81， 3 243， 3 729， 37 2187， 3 6561 ，请你推测 3 的个位数是 . 答案： 试题分析：根据所给式子的变化可得个位数为 3、 9、 7、 1四个数一循环，由即可判断 . 3 的个位数是 1. 考点：找规律 -数字的变化 点评：解答本题的关键是读懂所给式子的规律，再根据这个规律解题即可 . 若 与 是同一个数的平方根，则 的值为 . 答案： -3或 1 试题分析：根据平方根的定义即可得到关于 a的方程，再解出即可 . 由题意得 或 解得 或 考点：平方根的定义 点评：解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，且他们互为相反数 . 任意找一个小
9、于 1的正数，利用计算器对它不断进行开立方运算，其结果如何？根据这一规律，则 .（填 “ ”、 “ ”、 “”、 “”） 答案： 试题分析：本题可举例说明，再根据二次根式的性质计算，最后比较即可 . 由题意取 ，则 所以 考点：实数的大小比较 点评：解答本题的关键是注意此类比较大小的问题可举例说明，再根据实数的大小比较规律判断 . 如图，要在高 3m，斜坡 5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_m. 答案： 试题分析：先根据勾股定理求得直角三角形的另一条边长，即可得到结果 . 由题意得直角三角形的另一条边长 则地毯的长度至少需 考点：勾股定理的应用 点评：解答本题的关键 是读懂题意，正确理解
10、地毯的长度包含直角三角形的两条直角边的长 . 如图， AD=8cm， CD=6cm， AD CD， BC=24cm， AB=26cm，则 S 四边形ABCD= . 答案： 试题分析：连接 AC，先根据勾股定理求得 AC的长，再根据勾股定理的逆定理证得 ABC为直角三角形，最后根据直角三角形的面积公式即可求得结果 . 连接 AC， AD=8cm， CD=6cm， AD CD ABC为直角三角形 S 四边形 ABCD= 考点：勾股定理的应用，直角三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是读懂题意，正确作出辅助线，根据勾股定理的逆定理证得 ABC为直角三角形 . 如图，长方体中， AB=12cm， B
11、C=2cm， B =3cm，一只蚂蚁从点 A 出发，以 4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点 ，至少需要 分钟 .答案： 试题分析：先根据勾股定理求得蚂蚁爬行的最短路程，再根据蚂蚁的爬行速度即可求得结果 . 由图可得蚂蚁爬行的最短路程 则至少需要 分钟 . 考点：勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是读懂题意，正确根据勾股定理及两点之间线段最短的性质求解 . 已知 a+b=1， ab=108，则 a2b+ab2的值为 _. 答案： 试题分析：先提取公因式 ab，再整体代入求值即可得到结果 . 当 a+b=1， ab=108时， 考点：代数式求值 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握代数式
12、求值的方法，即可完成 . 解答题 某粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较高安全系数 A、 B两仓库 .已知甲库有粮食 100吨，乙库有粮食 80吨，而 A库的容量为 70吨， B库的容量为 110吨 .从甲、乙两库到 A、 B两库的路程和运费如下表（表中 “元 /吨 千米 ”表示每吨粮食运送 1千米所需人民币） （ 1）若甲库运往 A库粮食 吨，请写出将粮食运往 A、 B两库的总运费 （元）与 （吨）的函数关系式； （ 2）当甲、乙两库各运往 A、 B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？ 答案：（ 1） y ；（ 2） 70吨时，总运费最省，
13、是 37100元 试题分析：（ 1）根据等量关系：总运费 =单运费 总数量，即可得到函数关系式； （ 2）根据一次函数的性质即可得到结果 . （ 1）依题意得 ，其中 ； （ 2）上述一次函数中 随 的增大而减小 当 70吨时，总运费最省，最省的总运费为：. 考点：一次函数的应用 点评：解答本题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一次函数关系式 . 国际象棋中的 “皇后 ”不仅能控制她所在的行与列的每一个小方格，而且还能控制 “斜 ”方向的两条直线上的每个小方格，如图甲所示 . （ 1）在图乙小方格中有一 “皇后 Q”他所在的位置可用（ 2， 3）来表示，请说明“皇后 Q”所在的位置（
14、 2， 3）的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该 “皇后 Q”所控制的四个位置； （ 2）图丙是一个 44的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个 “皇后 Q”，使这四个 “皇后 Q”之间胡不受对方控制 .（在图丙中标出字母 Q即可）答案：（ 1） “皇后 Q”所在的位置（ 2， 3）表示 “皇后 Q”位于第 2 列第 3 行，棋盘中不能被该 “皇后 Q”所控制的四个位置是（ 1， 1）、（ 3， 1）、（ 4， 2）、（ 4， 4）； （ 2）（ 1.3）、（ 2， 1）、（ 3， 4）、（ 4， 2）或（ 1， 2）、（ 2， 4）、（ 3，1）、（ 4， 3） . 试题分析：仔细阅读
15、题意，正确理解 “皇后 ”的控制范围即可得到结果 . （ 1） “皇后 Q”所在的位置（ 2， 3）表示 “皇后 Q”位于第 2列第 3行，棋盘中不能被该 “皇后 Q”所控制的四个位置是（ 1， 1）、（ 3， 1）、（ 4， 2） 、（ 4，4）； （ 2）（ 1.3）、（ 2， 1）、（ 3， 4）、（ 4， 2）或（ 1， 2）、（ 2， 4）、（ 3，1）、（ 4， 3） . 考点：坐标与图形性质 点评：解答本题的关键是读懂题意，正确理解 “皇后 ”的控制范围，再应用于解题 . 任画一个直角三角形，分别以它的三条边为边向外做等边三角形， 要求：（ 1）画出图形； （ 2）探究这三个等边
16、三角形面积之间的关系，并说明理由 . 答案：斜边所在等边三角形的面积是另外两个等边三角形面积之和 . 试题分析：根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，再结合勾股定理即可 得到结果 设直角三角形的三边从小到大是 a， b， c 又 则 即斜边所在等边三角形的面积是另外两个等边三角形面积之和 . 考点：等边三角形的面积公式，勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积 国庆 60周年阅兵式上，向世界展示了一种新型导弹 “红 -九地空导弹 ”.它是我国自行研制的远程防空导弹，集美俄技术于一身，以拦
17、截飞机为主，同时具有很强的拦截短程弹道导弹的能力 .10枚 “红 -九地空导弹 ”（每枚底面的直径均为 0.4m）以如图方式堆放，为了防雨，需要搭建防雨棚，这个防雨棚的最低高度应为多少米（精确到 0.1m）？ 答案： .4m 试题分析：如图，易得 O1O2O3为等边三角形，只要求出 O1O2O3的高 O1A，再加上两个半径，就是所求高度 如图，可得 O1O2O3为等边三角形， 三角形的边长 ，高 则防雨棚的最低高度应为 1.04+0.4=1.441.4米 考点：圆与圆的位置关系 点评：解答此类问题的关键是读懂图形，根据图中的等圆，把图形求高的问题进行转化 一个零件的形状如图所示，按规定 A应等
18、于 1200， B、 D应分别为150、 200.李叔叔量得 BCD=1450，就能断定该零件不合格，你能说出其中的道理吗？ 答案：见 试题分析：连接 BD，则可得 ；而，可求得 ，这与上面的结果不一致，即可判断 . 连接 BD， 则 ； 而在 中， ， 由 ， ， 可知 ， 这与上面的结果不一致，从而知这个零件不合格 . 考点：三角形的内角和 点评：解答本题的关键是读懂题意，正确作出辅助线，熟练运用三角形内角和定理解题 . “震灾无情人有情 ”某市为海地捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多 80件 （ 1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？ （ 2）现计划租用甲、乙两种货
19、车共 8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往北京国际机场运往海地已知甲种货车最多可装帐篷 40件和食品 10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各 20件则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来 （ 3）在第（ 2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费 4000元，乙种货车每辆需付运输费 3600元应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？ 答案：（ 1） 200件和 120件；（ 2） 3种方案： 甲车 2辆，乙车 6辆； 甲车 3辆，乙车 5辆； 甲车 4辆，乙车 4辆；（ 3）方案 运费最少，最少运费是 29600元 试题分析：（ 1）设打包成件的帐篷有 x件，食品有 y件，
20、根据帐篷和食品共320件，帐篷比食品多 80件即可列方程组求解； （ 2）设租用甲种货车 x辆，根据甲种货车最多可装帐篷 40件和食品 10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各 20件即可列不等式组，从而得到结果； （ 3）分别计算出（ 2）中 3种方案的运费，再比较即可判断 . （ 1）设打包成件的帐篷有 x件，食品有 y件，由题意得 ，解得 答：打包成件的帐篷和食品分别为 200件和 120件； （ 2）设租用甲种货车 x辆， 由题意得 解得 x 2或 3或 4， 应安排甲、乙两种货车时有 3种方案： 甲车 2辆，乙车 6辆； 甲车 3辆，乙车 5辆； 甲车 4辆，乙车 4辆； （ 3） 3种
21、方案的运费分别为： 24000+63600 29600； 34000+53600 30000； 44000+43600 30400 方案 运费最少，最少运费是 29600元 考点：方程组、不等式组的应用 点评：解答本题的关键是读懂题意，找到等量关系或不等关系，正确列方程组或不等式组求解 . 如果 ，试求代数式 的值 . 答案： -1 试题分析：由 可得 ，再整体代入化简求值即可 . 因为 ，所以 ， . 因此 = = = = = = = . 考点：代数式求值 点评：解答本题的关键是由 得到 ，注意本题要有整体意识 . 已知 的和仍为单项式，求多项式 的值 . 答案： 试题分析：根据 的和仍为单
22、项式可得 是同类项，再根据同类项的定义即可得到关于 x、 y的方程组，从而求得结果 . 的和仍为单项式， 是同类项， x=2， x+y=5，解得 x=2， y=3 则 考点：同类项 点评：同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项 . 化简：（ 1） ；（ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可得到结果； （ 2）先根据绝对值的规律、 0指数次幂的值、二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可 . （ 1）原式 = = = ； （ 2）原式 = = . 考点：实数的运算 点评：解答本题的关键是熟练掌握负数的
23、绝对值是它的相反数，任何非 0数的0次幂均为 1. 如图 1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为 10cm，较小锐角为 30，再将这两张三角纸片摆成如图 3的形状，但点 B、 C、 F、 D在同一条直线上，且点 C与点 F重合 .（在图3至图 6中统一用 F表示） 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决 . （ 1）将图 3中的 ABF沿 BD向右平移到图 4的位置，使点 B与点 F 重合，请你求出平移的距离； （ 2）将图 3中的 ABF绕点 F顺时针方向旋转 30到图 5的位置， A1F交 DE于点 G，请你求出线段
24、 FG的长度； （ 3）将图 3中的 ABF沿直线 AF翻折到图 6的位置， AB1交 DE于点 H，请说明： AH=DH. 答案：（ 1） 5cm；（ 2） cm；（ 3）见 试题分析：（ 1）由题意可知 AB=10， A=30o，根据含 30角的直角三角形的性质可得 BF、 AF的长，即可求得结果； （ 2）由 FG DE，可得 FG为 RtEFD的高，再根据 EFG的面积公式即可求得结果； （ 3）由题意可知 EF=FB1， AF=FD，则 AE=B1D，再结合 AHE= B1HD， A= D=30o，可得 AHE DHB1. 即可证得结论 . （ 1）由题意可知 AB=10， A=30o 所以 BF= AB=5， AF= 因此平移的距离为 BF=5cm； （ 2）此时 FG DE，故 FG为 RtEFD的高 . 又因为 SEFG= 10FG= 5 所以 FG= （ cm）； （ 3）由题意可知 EF=FB1， AF=FD， 所以 AE=B1D. 又因为 AHE= B1HD， A= D=30o， 所以 AHE DHB1. 故 AH=DH. 考点：含 30角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质 点评：本题知识点多，综合性强，需要学生熟练平面图形的各种基本知识 .
