1、2012届北京市工大附中第一中学九年级上学期期中考试数学卷 选择题 若方程 的一个根是 a，则 的值为（ ） A 2 B 0 C 2 D 4 答案： C 已知 b 0时，二次函数 的图象如下列四个图之一所示。根据图象分析， 的值等于（ ） A -2 B -1 C 1 D 2 答案： B 如图， PA、 PB分别与 O相切，切点分别为 A、 B， PA 3， P 60，若 AC为 O的直径，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 答案： A 将抛物线 绕原点 O旋转 180，则旋转后的抛物线的式为（ ） A B C D 答案： D 如图，以某点为位似中心，将 AOB进行位似变换得到
2、 CDE，记 AOB与 CDE 对应边的比为 k，则位似中心的坐标和 k的值分别为（ ） A ， 2 B ， C ， 2 D ， 3 答案： C 小莉站在离一棵树水平距离为 a米的地方，用一块含 30的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是 1.5米，那么她测得这棵树的高度为（ ） A 米 B 米 C 米 D 米 答案： C 将抛物线 经过怎样的平移可得到抛物线 ？（ ） A先向左平移 3个单位，再向上平移 4个单位 B先向左平移 3个单位，再向下平移 4个单位 C先向右平移 3个单位，再向上平移 4个单位 D先向右平移 3个单位，再向下平移 4个单位 答案：
3、 A 如图， O的半径 OA等于 5，半径 OC与弦 AB垂直，垂足为 D ，若 OD 3，则弦 AB的长为（ ） A 10 B 8 C 6 D 4 答案： B 填空题 等腰 ABC中， ，若 AB、 AC的长是关于 x的方程 的根，则 m的值等于 。 答案：或 25 如图， ABC 90， O为射线 BC上一点，以点 O为圆心， OB长为半径作 O，若射线 BA绕点 B按顺时针方向旋转至 ，若 与 O相切，则旋转的角度 （ 0 180）等于 。 答案： 或 120 如图， O的直径是 AB， CD是 O的弦，若 D 70，则 ABC等于 答案： 若 ABC DEF，且对应边 BC与 EF的比
4、为 2 3，则 ABC与 DEF的面积比等于 答案： 9 解答题 已知 O过点 D（ 4， 3），点 H与点 D关于 轴对称，过 H作 O切线交轴于点 A 【小题 1】（ 1）求 O半径； 【小题 2】（ 2）求 的 值； 【小题 3】（ 3）如图，设 O与 轴正半轴交点 P，点 E、 F是线段 OP上的动点（与 P点不重合），联结并延长 DE、 DF交 O于点 B、 C，直线 BC交 轴于点 G，若 是以 EF为底的等腰三角形，试探索 的大小怎样变化？请说明理由。 答案： 【小题 1】（ 1）点 在 O上， O的半径 。 1 分 【小题 2】（ 2）如图 1，联结 HD交 OA于 Q，则 H
5、D OA。 联结 OH，则 OH AH。 HAO OHQ。 。 3 分 【小题 3】（ 3）如图 2，设点 D关于 轴的对称点为 H，联结 HD交 OP于 Q，则 HD OP。 又 DE DF， DH平分 BDC。 。 联结 OH，则 OH BC。 图 1 图 2 CGO OHQ。 7 分 已知：如图， O的内接 ABC中， BAC 45， ABC 15，AD OC并交 BC的延长线于 D， OC交 AB于 E。 【小题 1】（ 1）求 D的度数； 【小题 2】（ 2）求证： ； 【小题 3】（ 3）求 的值。 答案： 【小题 1】（ 1）解：如图 3，连结 OB。 - - - - - - -
6、 1分 O的内接 ABC中， BAC 45， BOC 2 BAC 90。 OB OC ， OBC OCB 45。 AD OC ， D OCB 45。 - - - - - - - - - - - -2分 【小题 2】（ 2）证明： BAC 45， D 45， BAC D 。 - - - - - - - - - - - - - 3分 AD OC ， ACE DAC 。 - - - - - - - - - - - -4分 ACE DAC 。 。 。 - - - - - - - - - - - - - - 5分 【小题 3】（ 3）解法一：如图 4，延长 BO交 DA的延长线于 F，连结 OA 。 A
7、D OC ， F BOC 90。 ABC 15， OBA OBC - ABC 30。 OA OB ， FOA OBA OAB 60， OAF 30。 。 AD OC ， BOC BFD 。 。 ，即 的值为 2。 - - - - - - - - - - - - -7分 解法二：作 OM BA于 M，设 O的半径为 r，可得 BM ， OM ， ， BE ， AE ，所以 已知：如图，在 中， 于点 D， 于点 E， ， 且 ， ，求 CE的长。 答案： BE 2AE， 设 AE k，则 BE 2k， AB 3k。 -1分 AD BC于 D， CE AB于 E， BEC ADB 90。 又 B
8、B， ABD CBE。 -2分 -3分 sin BCE ， BC 。 -4分 ， 。 -5分 已知：如图，在 中， ， ， ，以 为直径的 O交 于点 ，点 是 的中点， OB， DE相交于点 F。 【小题 1】（ 1）求证： 是 O的切线； 【小题 2】（ 2）求 EF： FD的值。 答案： 【小题 1】（ 1）证明：连结 （如图）， 1 分 AC是 O的直径， 。 是 的中点， 。 ， 。 ， 。 。 即 。 点 D在 O上， 是 O的切线 。 3 分 【小题 2】（ 2）解：连结 OE。 E是 BC的中点， O是 AC的中点， OE AB， OE AB。 OEF BDF。 在 中， AC
9、 4， ， 根据勾股定理，得 AB 8， OE 4， sin ABC ， ABC 30。 A 60。 是边长为 2的等边三角形。 ， BD AB-AD 6。 EF： FD OE： BD 4： 6 2： 3 。 5 分 已知，如图，渔船原来应该从 A点向正南方向行驶回到港口 P，但由于受到海风的影响，渔船向西南方向行驶去，行驶了 240千米后到达 B点，此时发现港口 P在渔船的南偏东 的方向上，问渔船此时距港口 P多远？（结果精确到 0.1千米，参考数据： ， ， ， ）答案：解：解：过点 B作 BD AP于点 D， -1分 在 Rt ABD中， BD ABsin45 240 ， -2分 在 R
10、t BDP中， sin60 , -3分 -4分 196.0 -5分 答：距港口约为 196.0千米。 已知：如图， ABC中， AB 2， BC 4， D为 BC边上一点， BD 1。 【小题 1】（ 1）求证： ABD CBA； 【小题 2】（ 2）作 DE AB交 AC于点 E，请再写出另一个与 ABD相似的三角形，并直接写出 DE的长。 答案： 【小题 1】（ 1）证明： AB 2 ， BC 4， BD 1， 。 - - - - - - - - - - - - 1分 ABD CBA ， - - - - - - - - 2分 ABD CBA。 - - - - - - -3分 【小题 2】（
11、 2）答： ABD CDE ； - - - - - - - 4分 DE 1.5。 - - - - - - - - - - - - - -6分 某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出 500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价 1元，日销售量将减少 20千克。设每千克这种水果涨价 x元时（ 0 x25），市场每天销售这种水果所获利润为 y元。若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水果盈利最多？最多盈利多少元？ 答案：因为每千克这种水果涨价 x元时，市场每天销售这种水果所获利润为 y元，
12、 y关于 x的函数式为 （ 0 x25）。 - - -2分 所以，当 x 7.5 时（ 0 7.525）， y取得最大值，最大值为 6 125。 - - - - - 5分 答 : 不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价 7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利 6 125元 。 已知抛物线 经过点 。 【小题 1】（ 1）填空：抛物线的对称轴为直线 x ，抛物线与 x轴的另一个交点 D的坐标为 ； 【小题 2】（ 2）求该抛物线的式。 答案： 【小题 1】解：（ 1）抛物线的对称轴为直线 x 2 ，抛物线与 x轴的另一个交点 D的坐标为 （ 3， 0） ； - - -
13、- - - - 2分 【小题 2】（ 2） 抛物线经过点 ， 设抛物线的式为 。 - - - - - 3分 由抛物线经过点 ，得 a 1。 - - - - - - - - - - 4分 抛物线的式为 。 - - - - - - - - - - 5分 已知：关于 x的方程 有两个不相等的实数根（其中 k为实数）。 【小题 1】（ 1）求 k的取值范围； 【小题 2】（ 2）若 k为非负整数，求此时方程的根。 答案： 【小题 1】（ 1）解一：原方程可化为 。 - - - - - 1分 该方程有两个不相等的实数根， 。 - - - - - - - 2分 解得 。 k的取值范围是 。 - - - -
14、 - - -3分 解二：原方程可化为 。 - - - - 1分 。以下同解法一。 【小题 2】（ 2）解： k为非负整数， ， k 0 。 - - - - - - - - - - 4分 此时方程为 ，它的根为 ， 。 - - - - 5分 已知：二次函数的式 。 【小题 1】（ 1）求这个二次函数的顶点坐标； 【小题 2】（ 2）求这个二次函数图象与 x轴的交点坐标； 【小题 3】（ 3）当 x取何值时， 随 x的增大而增大； 【小题 4】（ 4）如图，若直线 的图象与该二次图象交于 A（ ， ）， B（ 2， n）两点，结合图象直接写出当 x取何值时 ？答案： 【小题 1】（ 1） 图象的顶
15、点坐标为（ 1， 4）。 【小题 2】（ 2）令 y 0，则 ，解得： x1 -1, x2 3。 图象与 x轴的交点坐标分别为（ -1,0）、（ 3,0）。 【小题 3】（ 3） x 1。 【小题 4】（ 4） 。 计算： 。 答案：解： 。 - - - - - - - - 4分 - - - - - - - - - -5分 解方程： 。 答案：解：因为 - - - - - - - - - - - 1分 所以 。 - - - - - - - - 2分 代入公式，得 - - - - - - - - - - - - - 3分 所以原方程的根为 。（每个根各 1分） - - -5分 已知直线 y kx
16、-3与 x轴交于点 A（ 4， 0），与 y轴交于点 C，抛物线经过点 A和点 C,动点 P在 x轴上以每秒 1个长度单位的速度由抛物线与 x轴的另一个交点 B向点 A运动，点 Q由点 C沿线段 CA向点 A运动且速度是点 P运动速度的 2倍。 【小题 1】（ 1）求此抛物线的式和直线的式； 【小题 2】（ 2）如果点 P和点 Q同时出发，运动时间为 t（秒），试问当 t为何值时， PQA是直角三角形； 【小题 3】（ 3）在直线 CA上方的抛物线上是否存在一点 D，使得 ACD的面积最大，若存在，求出点 D坐标；若不存在，请说明理由。 答案： 【小题 1】解：（ 1） 直线 y kx-3过点
17、 A（ 4， 0）， 0 4k -3，解得 k 。 直线的式为 y x-3。 1 分 由直线 y x-3与 y轴交于点 C，可知 C（ 0,-3） 。 抛物线 经过点 A（ 4,0）和点 C, ，解得 m 。 抛物线式为 2 分 【小题 2】（ 2）对于抛物线 ， 令 y 0，则 ，解得 x1 1， x2 4。 B（ 1， 0）。 AB 3， AO 4， OC 3， AC 5， AP 3-t， AQ 5-2t。 若 Q1P1A 90,则 P1Q1 OC（如图 1）， AP1Q1 AOC。 , 。解得 t ； 4 分 若 P2Q2A 90, P2AQ2 OAC， AP2Q2 AOC。 , 。解得 t ； 6 分 若 Q A P 90,此种情况不存在。 5 分 综上所述，当 t的值为 或 时， PQA是直角三角形 【小题 3】（ 3）答：存在。 过点 D作 DF x轴，垂足为 E，交 AC于点 F（如图 2）。 S ADF DF AE， S CDF DF OE。 S ACD S ADF + S CDF DF AE + DF OE DF（ AE+OE） （ DE+DF） 4 （ ） 4 。 7 分 S ACD （ 0x4）。 又 024且二次项系数 ， 当 x 2时， S ACD的面积最大而当 x 2时，y 。 满足条件的 D点坐标为 D （ 2, ）。 8 分
