2012届北京市工大附中第一中学九年级上学期期中考试数学卷.doc

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1、2012届北京市工大附中第一中学九年级上学期期中考试数学卷 选择题 若方程 的一个根是 a,则 的值为( ) A 2 B 0 C 2 D 4 答案: C 已知 b 0时,二次函数 的图象如下列四个图之一所示。根据图象分析, 的值等于( ) A -2 B -1 C 1 D 2 答案: B 如图, PA、 PB分别与 O相切,切点分别为 A、 B, PA 3, P 60,若 AC为 O的直径,则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 答案: A 将抛物线 绕原点 O旋转 180,则旋转后的抛物线的式为( ) A B C D 答案: D 如图,以某点为位似中心,将 AOB进行位似变换得到

2、 CDE,记 AOB与 CDE 对应边的比为 k,则位似中心的坐标和 k的值分别为( ) A , 2 B , C , 2 D , 3 答案: C 小莉站在离一棵树水平距离为 a米的地方,用一块含 30的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度,已知小莉的眼睛离地面的高度是 1.5米,那么她测得这棵树的高度为( ) A 米 B 米 C 米 D 米 答案: C 将抛物线 经过怎样的平移可得到抛物线 ?( ) A先向左平移 3个单位,再向上平移 4个单位 B先向左平移 3个单位,再向下平移 4个单位 C先向右平移 3个单位,再向上平移 4个单位 D先向右平移 3个单位,再向下平移 4个单位 答案:

3、 A 如图, O的半径 OA等于 5,半径 OC与弦 AB垂直,垂足为 D ,若 OD 3,则弦 AB的长为( ) A 10 B 8 C 6 D 4 答案: B 填空题 等腰 ABC中, ,若 AB、 AC的长是关于 x的方程 的根,则 m的值等于 。 答案:或 25 如图, ABC 90, O为射线 BC上一点,以点 O为圆心, OB长为半径作 O,若射线 BA绕点 B按顺时针方向旋转至 ,若 与 O相切,则旋转的角度 ( 0 180)等于 。 答案: 或 120 如图, O的直径是 AB, CD是 O的弦,若 D 70,则 ABC等于 答案: 若 ABC DEF,且对应边 BC与 EF的比

4、为 2 3,则 ABC与 DEF的面积比等于 答案: 9 解答题 已知 O过点 D( 4, 3),点 H与点 D关于 轴对称,过 H作 O切线交轴于点 A 【小题 1】( 1)求 O半径; 【小题 2】( 2)求 的 值; 【小题 3】( 3)如图,设 O与 轴正半轴交点 P,点 E、 F是线段 OP上的动点(与 P点不重合),联结并延长 DE、 DF交 O于点 B、 C,直线 BC交 轴于点 G,若 是以 EF为底的等腰三角形,试探索 的大小怎样变化?请说明理由。 答案: 【小题 1】( 1)点 在 O上, O的半径 。 1 分 【小题 2】( 2)如图 1,联结 HD交 OA于 Q,则 H

5、D OA。 联结 OH,则 OH AH。 HAO OHQ。 。 3 分 【小题 3】( 3)如图 2,设点 D关于 轴的对称点为 H,联结 HD交 OP于 Q,则 HD OP。 又 DE DF, DH平分 BDC。 。 联结 OH,则 OH BC。 图 1 图 2 CGO OHQ。 7 分 已知:如图, O的内接 ABC中, BAC 45, ABC 15,AD OC并交 BC的延长线于 D, OC交 AB于 E。 【小题 1】( 1)求 D的度数; 【小题 2】( 2)求证: ; 【小题 3】( 3)求 的值。 答案: 【小题 1】( 1)解:如图 3,连结 OB。 - - - - - - -

6、 1分 O的内接 ABC中, BAC 45, BOC 2 BAC 90。 OB OC , OBC OCB 45。 AD OC , D OCB 45。 - - - - - - - - - - - -2分 【小题 2】( 2)证明: BAC 45, D 45, BAC D 。 - - - - - - - - - - - - - 3分 AD OC , ACE DAC 。 - - - - - - - - - - - -4分 ACE DAC 。 。 。 - - - - - - - - - - - - - - 5分 【小题 3】( 3)解法一:如图 4,延长 BO交 DA的延长线于 F,连结 OA 。 A

7、D OC , F BOC 90。 ABC 15, OBA OBC - ABC 30。 OA OB , FOA OBA OAB 60, OAF 30。 。 AD OC , BOC BFD 。 。 ,即 的值为 2。 - - - - - - - - - - - - -7分 解法二:作 OM BA于 M,设 O的半径为 r,可得 BM , OM , , BE , AE ,所以 已知:如图,在 中, 于点 D, 于点 E, , 且 , ,求 CE的长。 答案: BE 2AE, 设 AE k,则 BE 2k, AB 3k。 -1分 AD BC于 D, CE AB于 E, BEC ADB 90。 又 B

8、B, ABD CBE。 -2分 -3分 sin BCE , BC 。 -4分 , 。 -5分 已知:如图,在 中, , , ,以 为直径的 O交 于点 ,点 是 的中点, OB, DE相交于点 F。 【小题 1】( 1)求证: 是 O的切线; 【小题 2】( 2)求 EF: FD的值。 答案: 【小题 1】( 1)证明:连结 (如图), 1 分 AC是 O的直径, 。 是 的中点, 。 , 。 , 。 。 即 。 点 D在 O上, 是 O的切线 。 3 分 【小题 2】( 2)解:连结 OE。 E是 BC的中点, O是 AC的中点, OE AB, OE AB。 OEF BDF。 在 中, AC

9、 4, , 根据勾股定理,得 AB 8, OE 4, sin ABC , ABC 30。 A 60。 是边长为 2的等边三角形。 , BD AB-AD 6。 EF: FD OE: BD 4: 6 2: 3 。 5 分 已知,如图,渔船原来应该从 A点向正南方向行驶回到港口 P,但由于受到海风的影响,渔船向西南方向行驶去,行驶了 240千米后到达 B点,此时发现港口 P在渔船的南偏东 的方向上,问渔船此时距港口 P多远?(结果精确到 0.1千米,参考数据: , , , )答案:解:解:过点 B作 BD AP于点 D, -1分 在 Rt ABD中, BD ABsin45 240 , -2分 在 R

10、t BDP中, sin60 , -3分 -4分 196.0 -5分 答:距港口约为 196.0千米。 已知:如图, ABC中, AB 2, BC 4, D为 BC边上一点, BD 1。 【小题 1】( 1)求证: ABD CBA; 【小题 2】( 2)作 DE AB交 AC于点 E,请再写出另一个与 ABD相似的三角形,并直接写出 DE的长。 答案: 【小题 1】( 1)证明: AB 2 , BC 4, BD 1, 。 - - - - - - - - - - - - 1分 ABD CBA , - - - - - - - - 2分 ABD CBA。 - - - - - - -3分 【小题 2】(

11、 2)答: ABD CDE ; - - - - - - - 4分 DE 1.5。 - - - - - - - - - - - - - -6分 某水果批发市场经销一种水果,如果每千克盈利 10元,每天可售出 500千克。经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价 1元,日销售量将减少 20千克。设每千克这种水果涨价 x元时( 0 x25),市场每天销售这种水果所获利润为 y元。若不考虑其它因素,单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元时,市场每天销售这种水果盈利最多?最多盈利多少元? 答案:因为每千克这种水果涨价 x元时,市场每天销售这种水果所获利润为 y元,

12、 y关于 x的函数式为 ( 0 x25)。 - - -2分 所以,当 x 7.5 时( 0 7.525), y取得最大值,最大值为 6 125。 - - - - - 5分 答 : 不考虑其它因素,单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价 7.5元时,市场每天销售这种水果盈利最多,最多盈利 6 125元 。 已知抛物线 经过点 。 【小题 1】( 1)填空:抛物线的对称轴为直线 x ,抛物线与 x轴的另一个交点 D的坐标为 ; 【小题 2】( 2)求该抛物线的式。 答案: 【小题 1】解:( 1)抛物线的对称轴为直线 x 2 ,抛物线与 x轴的另一个交点 D的坐标为 ( 3, 0) ; - - -

13、- - - - 2分 【小题 2】( 2) 抛物线经过点 , 设抛物线的式为 。 - - - - - 3分 由抛物线经过点 ,得 a 1。 - - - - - - - - - - 4分 抛物线的式为 。 - - - - - - - - - - 5分 已知:关于 x的方程 有两个不相等的实数根(其中 k为实数)。 【小题 1】( 1)求 k的取值范围; 【小题 2】( 2)若 k为非负整数,求此时方程的根。 答案: 【小题 1】( 1)解一:原方程可化为 。 - - - - - 1分 该方程有两个不相等的实数根, 。 - - - - - - - 2分 解得 。 k的取值范围是 。 - - - -

14、 - - -3分 解二:原方程可化为 。 - - - - 1分 。以下同解法一。 【小题 2】( 2)解: k为非负整数, , k 0 。 - - - - - - - - - - 4分 此时方程为 ,它的根为 , 。 - - - - 5分 已知:二次函数的式 。 【小题 1】( 1)求这个二次函数的顶点坐标; 【小题 2】( 2)求这个二次函数图象与 x轴的交点坐标; 【小题 3】( 3)当 x取何值时, 随 x的增大而增大; 【小题 4】( 4)如图,若直线 的图象与该二次图象交于 A( , ), B( 2, n)两点,结合图象直接写出当 x取何值时 ?答案: 【小题 1】( 1) 图象的顶

15、点坐标为( 1, 4)。 【小题 2】( 2)令 y 0,则 ,解得: x1 -1, x2 3。 图象与 x轴的交点坐标分别为( -1,0)、( 3,0)。 【小题 3】( 3) x 1。 【小题 4】( 4) 。 计算: 。 答案:解: 。 - - - - - - - - 4分 - - - - - - - - - -5分 解方程: 。 答案:解:因为 - - - - - - - - - - - 1分 所以 。 - - - - - - - - 2分 代入公式,得 - - - - - - - - - - - - - 3分 所以原方程的根为 。(每个根各 1分) - - -5分 已知直线 y kx

16、-3与 x轴交于点 A( 4, 0),与 y轴交于点 C,抛物线经过点 A和点 C,动点 P在 x轴上以每秒 1个长度单位的速度由抛物线与 x轴的另一个交点 B向点 A运动,点 Q由点 C沿线段 CA向点 A运动且速度是点 P运动速度的 2倍。 【小题 1】( 1)求此抛物线的式和直线的式; 【小题 2】( 2)如果点 P和点 Q同时出发,运动时间为 t(秒),试问当 t为何值时, PQA是直角三角形; 【小题 3】( 3)在直线 CA上方的抛物线上是否存在一点 D,使得 ACD的面积最大,若存在,求出点 D坐标;若不存在,请说明理由。 答案: 【小题 1】解:( 1) 直线 y kx-3过点

17、 A( 4, 0), 0 4k -3,解得 k 。 直线的式为 y x-3。 1 分 由直线 y x-3与 y轴交于点 C,可知 C( 0,-3) 。 抛物线 经过点 A( 4,0)和点 C, ,解得 m 。 抛物线式为 2 分 【小题 2】( 2)对于抛物线 , 令 y 0,则 ,解得 x1 1, x2 4。 B( 1, 0)。 AB 3, AO 4, OC 3, AC 5, AP 3-t, AQ 5-2t。 若 Q1P1A 90,则 P1Q1 OC(如图 1), AP1Q1 AOC。 , 。解得 t ; 4 分 若 P2Q2A 90, P2AQ2 OAC, AP2Q2 AOC。 , 。解得 t ; 6 分 若 Q A P 90,此种情况不存在。 5 分 综上所述,当 t的值为 或 时, PQA是直角三角形 【小题 3】( 3)答:存在。 过点 D作 DF x轴,垂足为 E,交 AC于点 F(如图 2)。 S ADF DF AE, S CDF DF OE。 S ACD S ADF + S CDF DF AE + DF OE DF( AE+OE) ( DE+DF) 4 ( ) 4 。 7 分 S ACD ( 0x4)。 又 024且二次项系数 , 当 x 2时, S ACD的面积最大而当 x 2时,y 。 满足条件的 D点坐标为 D ( 2, )。 8 分

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