1、2013届福建省古田四中初三上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 如果 是一元二次方程，则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：根据一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0（ a， b， c是常数且a0），特别要注意 a0的条件，即可得到结果 由题意得 ， ，故选 A. 考点：本题考查的是一元二次方程的定义 点评：要特别注意二次项系数 a0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+30这一条件 如图，在矩形 ABCD中， AB=3， AD=4， P是 AD上的动点， PE AC 于 E，PF BD 于 F，则 PE+FF的值是（ ） A B 2 CD 答案： A 试题分析
2、：连接 OP，过 D作 DM AC于 M，求出 AC长，根据三角形的面积公式求出 CM的值，根据 代入求出 PE+PF=DM即可 连接 OP，过 D作 DM AC于 M， 四边形 ABCD是矩形， AO=OC= AC， OD=OB= BD， AC=BD， ADC=90 OA=OD， 由勾股定理得： ， ， ， 即 ， 故选 B 考点：本题考查了矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是根据等面积法得到 ，等面积法在求垂线段的长度中是比较常用的一种方法，要熟练掌握。 如图， ABC中， ACB=90， BA的垂直平分线交 CB边于 D，若 AB=10，AC=5，则图中等
3、于 60的角的个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： C 试题分析：先由 ABC中， ACB=90AB=10， AC=5可知 B=30，由直角三角形的性质可知， BAC=60，由线段垂直平分线的性质可知， B= BAD=30， BED= AED=90，可求出 BDE= ADE=60，由于 BAC=60， BAD=30，可知 CAD=30，故可知 ADC=60 ABC中， ACB=90AB=10， AC=5， B=30， BAC=60， DE是 AB的垂直平分线， BD=AD， B= BAD=30， BED= AED=90， BDE= ADE=60， BAC=60， BAD=30，
4、 CAD=30， Rt ACD中， CAD=30， ADC=60， 图中等于 60的角为： BAC、 BDE、 ADE、 ADC 故选 C 考点：本 题考查的是线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质 点评：熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键由易到难逐个寻找，做到不重不漏 如图所示零件的左视图是（ ） 答案： D 试题分析：根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可 零件的左视图是两个竖叠的矩形中间有 2条横着的虚线 故选 D 考点：本题考查了三视图的知识 点评：解答本题的关键是掌握左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的棱用实线表示，看不到的用虚线表示
5、 改革的春风吹遍了神州大地，人们的生活水平显著的提高，国内生产总值迅速提高， 2000年国内生产总值（ GDP）约为 8.75万亿元，计划到 2020年国内生产总值比 2000年翻两番，设以十年为单位计算，设我国每十年国内生产总值的增长率为 x，则可列方程（ ） A B C ; D 答案： D 试题分析： 2020年国内生产总值 =2000年国内生产总值 （ 1+每十年国内生产总值的增长率为 x） 2，把相关数值代入即可求解 2000年国内生产总值（ GDP）约为 8.75万亿元，计划到 2020年国内生产总值比 2000年翻两番， 2020年国内生产总值为 8.75（ 1+1+2）， 200
6、0年国内生产总值（ GDP）约为 8.75万亿元，以十年为单位计算，我国每十年国内生产总值的增长率为 x， 2020年国内生产总值为 8.75（ 1+x） 2， 可列方程为 ， 故选 D 考点：本题考查求的方法 点评：若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（ 1x） 2=b注意翻两番即为原来的 4倍 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A三条中线的交点； B三条高线的交 点； C三条角平分线的交点； D三条边的中垂线的交点。 答案： C 试题分析：因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条
7、角平分线的交点 因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点 故选 C 考点：本题考查的是角平分线的性质 点评：本题容易误选 D，注意不要与线段中垂线的性质或判定混淆三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程 x2-7x 10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A 9或 12 B 9 C 12 D 21 答案： C 试题分析：用因式分解法求出方程的两个根分别是 2和 5，有三角形的三边关系， 2为底， 5为腰，可以求出三角形的周长 x2-7x 10=0， （ x-2）（ x-5） =
8、0， x1=2， x2=5 三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系， 腰长是 5，底边是 2， 周长为： 5+5+2=12 故选 C 考点：本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程 点评：解答本题的关键是求出方程的两个根后，根据三角形三边的关系，确定三角形的周长 一元二次方程 用配方法解方程，配方结果是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：严格按照配方法的一般步骤即可得到结果。 ， ， ， 故选 B. 考点：本题考查的是用配方法解一元二次方程 点评：解答本题的关键是掌握配方法的一般步骤： （ 1）把常数项移到等号的右边； （ 2）把二次项的系数化为 1； （ 3）等式两边同时加上
9、一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2的倍数 下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）答案： A 试题分析：根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例，依次分析各选项即得结果 A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、影子的方向不相同，故本选项错误； D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误 故选 A 考点：本题考查了平行投影特点 点评：解答本题的关键是掌握平行投
10、影的特点：在同一 时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例 顺次连接某个四边形各边中点得到一个正方形，则原四边形一定是（ ） A正方形 B对角线互相垂直的等腰梯形 C菱形 D对角线互相垂直且相等的四边形 答案： D 试题分析：首先必须明白顺次连接某个四边形各边中点得到一个平行四边形，它的一组邻边分别平行且等于四边形对角线的一半再根据正方形四边相等，邻边垂直判断原四边形的对角线特征 根据三角形中位线定理，顺次连接某个四边形各边中点得到一个平行四边形，它的一组邻边分别平行且等于四边形对角线的一半 因为正方形四边相等，邻边垂直，所以原四边形的对角线相等且互相垂直 故选 D 考点：此题考
11、查了三角形中位线定理及正方形的性质 点评：顺次连接某个四边形各边中点得到一个四边形，通常叫它 “中点四边形 ”，中点四边形的形状取决于原四边形的对角线特征 填空题 如图，菱形 ABCD的对角线 AC长 8，点 P是对角线 AC上的一个动点，点M、 N分别是边 AB、 BC的中点， PM+PN的最小值是 5，则菱形的边长等于_。 答案： 试题分析：首先作点 M关于 AC的对称点 M，连接 MN交 AC于 P，此时MP+NP有最小值然后证明四边形 PMBN为菱形，即可求出MP+NP=BM+BN=BC=5 作点 M关于 AC的对称点 M，连接 MN交 AC于 P，此时 MP+NP有最小值 菱形 AB
12、CD关于 AC对称， M是 AB边上的中点， M是 AD的中点， 又 N是 BC边上的中点， AM BN， AM=BN， 四边形 AMNB是平行四边形， PN AB， 又 N是 BC边上的中点， P是 AC中点， PM BN， PM=BN， 四边形 PMBN是平行四边形， BM=BN， 平行四边形 PMBN是菱形 MP+NP=BM+BN=BC=5 故答案：为 5 考点：本题考查的是菱形的性质和轴对称 点评：解答本题的关键是判断当 PMBN为菱形时， MP+NP有最小值。 如图，在矩形 ABCD中， AB=6， AD=8，将 BC沿对角线 BD对折， C点落在 E点上， BE交 AD于 F，则
13、AF的长为 _。 答案： 试题分析：先由长方形的性质可知， AB=CD， BE=BC，再根据图形翻折变换的性质可知， CD=DE=AB，利用全等三角形的判定定理可得 ABF EDF，故BF=DF， AF+BF=AD，设 AF=x，由勾股定 理即可求出 x的值 四边形 ABCD是长方形， AB=6， AD=8， AB=CD=6， AD=BC=8， BED是 BCD沿 BD翻折而成， CD=DE=AB=8， E=90， ABF EDF， BF=DF， AF+BF=AD=8， 在 Rt ABF 中，设 AF=x，则 BF=8-x，由勾股定理得 BF2=AB2+AF2，即（ 8-x）2=62+x2，
14、解得 ， 故答案：为 考点：本题考查的是翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理 点评：解答本题的关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠 前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 在实数范围内定义运算 “ ”，其规则为 a b=a2-b2,则方程（ 4 3） x=13的根为 _ 答案： 试题分析：根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根 根据新定义可以列方程： （ 42-32） x=13， 72-x2=13， 49-x2=13， x2=36， x1=6， x2=-6 故答案：为： x1=6， x2=-6 考
15、点：本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程 点评：根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，一般是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置，进行计算 一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为 答案： 试题分析：由 -1是已知方程的解，把 x=-1代入原方程中，得到关于 m的一元一次方程，求出方程的解可得出 m的值，把求出的 m的值代入原方程中，即可得到原方程的另一根 由题意得 ，解得 ， 把 代入原方程得 ，解得 ， 则另一个根为 考点：此题考查了一元二次方程的解 点评：解答本题的关键是把 x=-1代入原方程中，求出 m的值。另外，
16、本题也可以设方程的另一根是 x2然后利用根与系数的关系来求另一个根及 m的值 如图，已知 DE BC， CD是 ACBD平分线， B=70， A=60，则 EDC=_ 答案： 试题分析：由 B=70， A=60，根据三角形内角和为 180可得 ACB=50，由 CD是 ACB的平分线，根据角平分线的性质，即可求得 DCB的度数，又由 DE BC，根据两直线平行，内错角相等，即可求得 EDC的度数 ABC中， B=70， A=60， ACB=50， CD是 ACB的平分线， DCB=25， DE BC， EDC= DCB=25 考点：本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质 点
17、评：解答本题的关键是掌握好平行线和角平分线同时出现时图形的特征，再结合三角形内角和，是很常见的问题。 如图所示，在正方形 ABCD的边 BC的延长线上取一点 E，使 CE=CA，连接 AE交 CD于 F，则 AFD=_。 答案： .5， 试题分析：由图知 AFD= FAC+ ACF，即求出 FAC， ACF的值，可知 AFD的度数 ABCD为正方形 DC BC 即 DCE=90 又 AC是正方形 ABCD的对角线 ACF=45 ACE= DCE+ ACF=135 CE=CA FAC= E= （ 180-135） =22.5 AFD= FAC+ ACF=22.5+45=67.5 考点：此题主要考
18、查正方形的性质的运用 点评：解答和正方形有关的题目，要充分利用正方形的对角线平分每一组对角，且解答时要注意 45角的特殊作用 用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于 60，应先假设 _。 答案：每个角都大于 60 试题分析：根据命题： “三角形三个内角至少有一个不大于 60”的否定为 “三个内角都大于 60”，即可得到答案： 根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题： “三角形三个内角至少有一个不大于 60”的否定为“三个内角都大 60”， 故答案：为三个内角都大于 60 考点：本题考查的是反证法 点评：反证法的步骤是： （
19、1）假设结论不成立； （ 2）从假设出发推出矛盾； （ 3）假设不成立，则结论成立 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定 如图，在 Rt ABC中， ACB=90， CD AB于 D，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相等的锐角： _(只需写出一对即可 ) 答案： A= 2（答案：不唯一） 试题分析：根据垂直的概念找到互余的角，再根据等角的余角相等即可求解 CD AB， 2与 B互余 ACB=90， A与 B互余 A= 2 又 1与 A互余， B与 A也互余， 1= B （此题答案：不唯一） 考点：本题考查
20、的是余角的定义以及等角的余角相等 点评：解答本题的关键是掌握好直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等在直角三角形的问题中比较常用，要牢记。 方程（ x-1）（ x+2） =1转化为一元二次方程的一般形式是 。 答案： 试题分析：根据一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0（ a， b， c是常数且a0），化简原方程即可得到结果 ， ， 考点：本题考查的是一元二次方程的一般形式 点评：解答本题的关键是掌握好一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0（ a， b，c是常数且 a0），特别要注意 a0的条件 方程 的解是 _。 答案： ， 试题分析：先移项，再提取公因式 ，即可根据因式分
21、解法解方程。 ， ， 解得 ， 。 考点：本题考查的是解一元二次方程 点评：解答本题的关键是根据一元二次方程的特征选用合适的方法。 解答题 如图，在矩形 ABCD中， AB=16cm， AD=6cm，动点 P、 Q分别从 A、 C同时出发，点 P以每秒 3cm的速度向 B移动，一直达到 B止，点 Q以每秒 2cm的速度向 D移动 （ 1） P、 Q两点出发后多少秒时，四边形 PBCQ的面积为 36cm2； （ 2）是否存在某一时刻，使 PBCQ为正方形？ 答案：（ 1） 4秒时；（ 2）不存在。 试题分析：（ 1）首先设 P、 Q两点出发后 x秒时，四边形 PBCQ的面积为36cm2，根据题意
22、可得 PB=AB-AP=（ 16-3x） cm， CQ=2xcm，再根据梯形的面积公式可得方程 （ 16-3x） +2x6 =36，再解方程即可； （ 2）首先设 P、 Q两点出发后 x秒时，四边形 PBCQ是正方形，根据正方形的性质可得 BP=BC，由此可得方程 16-3x=6，解出 x的值，再把 x计算 CQ的长度，发现 CQBC，故不存在使 PBCQ为正方形的时刻 （ 1）设 P、 Q两点出发后 x秒时，四边形 PBCQ的面积为 36cm2，由题意得： （ 16-3x） +2x6 =36，解得： x=4 答： P、 Q两点出发后 4秒时，四边形 PBCQ的面积为 36cm2 （ 2）不存
23、在， 理由：设 P、 Q两点出发后 x秒时，四边形 PBCQ是正方形，由题意得： 16-3x=6，解得 ， ， 没有一个时刻可以使四边形 PBCQ是正方形 考点：此题主要考查了一元一次方程的应用，正方形的性质，梯形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质，根据题意灵活选用恰当的性质。 如图，已知：在 ABC中， AB=AC， AD BC，垂足为 D， AN是 ABC外角 CAM的平分线， CE AN，垂足为 E求证：四边形 ADCE是矩形 答案：见 试题分析：由 AB=AC， AD BC，根据 “三线合一 ”可得 AD平分 BAC，即 DAC= BAC，再根据 AN平分 CAM，
24、可得 NAC= CAM，从而得到 DAN=90，再有 CE AN， AD BC即可证得结论。 在 ABC中， AB=AC， AD BC AD平分 BAC DAC= BAC 又 AN是 ABC外角 CAM的平分线 NAC= CAM DAC+ NAC= ( BAC+ CAM)=90 即 DAN=90 又 CE AN， AD BC ADC= AEC=90 ADC= AEC= DAN = 90 四边形 ADCE是矩形 考点：本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质，矩形的判定 点评：解答本题的关键是运用 “三线合一 ”及角平分线的性质得到 DAN=90。 某商场购进一种单价为 40元的篮球，如果以
25、单价 50元出售，那么每月可售出 500个，根 据销售经验，售价每提高 1元，销售量相应减少 10个。如果每月销售这种篮球的利润是 8000元，又能让顾客得到实惠，篮球的售价应定为多少元？ 答案：元 试题分析：设每个篮球售价提高 x元，根据销售量 销售单价 =总利润列出一元二次方程求解即可。 设每个篮球售价提高 x元，由题意得 解得 ， ， 50+10=60(元 )， 答：每个篮球售价为 60元。 考点：本题考查了一元二次方程的应用 点评：解题的关键是设出篮球的价格并表示出篮球的销量为（ 500-10x）个 在下面指定位置画出此实物图的三种视图 . 答案：如图所示： 试题分析：认真观察实物，可
26、得主视图是上面一长方形，下面一小矩形；左视图是上面一正方形，下面一小矩形；俯视图是一矩形，中间应有虚线的圆， 如图所示： 考点：此题主要考查了实物体的三视图 点评：在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉 如图，菱形 ABCD中， AC与 BD相交于 O， AB 5， BD 6，求菱形面积。答案： 试题分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，即可求得 BO的长，再根据勾股定理可得 AO的长，从而得到 AC的长， 然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案： 在菱形 ABCD中， AC与 BD相交于 O AC BD BO= BD=3 在
27、 Rt ABO中 AO= =4， AC=2AO=8 S = AC BD=24。 考点：此题考查了菱形的性质以及勾股定理 点评：解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分。 如图，在 中， AB=AC， D是底边 BC的中点， 作 DE AB于 E，DF AC于 F求证： DE=DF. 答案：见 试题分析：由 AB=AC根据等边对等角可得 B= C，再由 DE AB于 E，DF AC于 F，结合 D是底边 BC的 中点，即可根据 “AAS”证得 BDE CDF，问题得证。 AB=AC B= C 又 DE AB于 E， DF AC于 F DEB= DFC 又 D是底边 BC的中点 BD=CD B
28、DE CDF DE=DF. 考点：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质 点评：全等三角形的判定与性质是初中图形问题中的重点，分析题意找到判定三角形全等的条件是解答的关键。 2x2+4x-3=0（公式法） 答案： ， 试题分析：首先找出方程中得 a、 b、 c，再根据公式法求出 的值，计算即可得到答案：； 考点：此题主要考查了公式法解一元二次方程 点评：解答本题的关键是先判断 的正负，熟记求根公式。 如图，在正方形 ABCD中， E是 AB上一点， F是 AD延长线上一点，且DF BE 求证： CE CF； 若 G在 AD上，且 GCE 45，则 GE BE GD成立吗？为什么？
29、答案：（ 1）见；（ 2）成立。 试题分析：（ 1）由 DF=BE，四边形 ABCD为正方形可证 CEB CFD，从而证出 CE=CF （ 2）由（ 1）得， CE=CF， BCE+ ECD= DCF+ ECD即 ECF= BCD=90又 GCE=45所以可得 GCE= GCF，故可证得 ECG FCG，即 EG=FG=GD+DF又因为 DF=BE，所以可证 GE=BE+GD成立 证明：在正方形 ABCD中， BC CD， B CDF， BE DF， CBE CDF CE CF 解： GE BE GD成立 CBE CDF， BCE DCF ECD ECB ECD FCD 即 ECF BCD 90， 又 GCE 45， GCF GCE 45 CE CF， GCF GCE， GC GC， ECG FCG EG GF GE DF GD BE GD 考点：本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质 点评：证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和 GE相等的线段，从而证出关系是不是成立
