1、2011届吉林省普通中学高中毕业班下学期期中考试数学理卷 选择题 若集合 A= ,B= ，则 “ ”是 “ ”的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 函数 ，当 时， 恒成立 , 则的最大值与最小值之和为 A 18 B 16 C 14 D答案： B 已知函数 ，若 ，则实数 取值范围是 A ( )B ( ) C ( ) D ( ) 答案： B 下列命题正确的有 用相关指数 来刻画回归效果， 越小，说明模型的拟合效果越好； 命题 :“ ”的否定 :“ ”； 设随机变量 服从正态分布 N(0,1), 若 ，则 ； 回归直线一定过样本中心（ ） . A
2、 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为 A B C D 答案： D 是 所在平面内一点，动点 P满足 ，则动点 P的轨迹一定通过 的 A内心 B重心 C外心 D垂心 答案： B 设 l， m， n表示三条直线， ， ， 表示三个平面，给出下列四个命题： 若 l ， m ，则 l m； 若 m ， n是 l在 内的射影， m l，则 m n； 若 m ， m n，则 n ； 若 ， ，则 . 其中真命题为 A B C D 答案： A 工作需要，现从 4名女教师， 5名男教师中选 3
3、名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A 140 B 100 C 80 D 70 答案： D 双曲线 的渐近线与圆 的位置关系为 A相切 B相交但不经过圆心 C相交且经过圆心 D相离 答案： A 阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间 内，那么输入实数 的取值范围是 A B C D 答案： B 已知函数 则下列区间必存在零点的是 A ( ) B ( C ( ) D ( ) 答案： C 已知复数 ，则 的虚部是 A B C 1 D 答案： C 填空题 若对于定义在 R上的函数 ，其函数图象是连续不断，且存在常数（ ），使得 对任意的实数 x成立，则称 是 伴随函数
4、 . 有下列关于 伴随函数的结论： 是常数函数中唯一一个 伴随函数； 是一个 伴随函数； 伴随函数至少有一个零点 . 其中不正确的结论的序号是 _.（写出所有不正确结论的序号） 答案： . 已知数列 为等比数列，且 ，设等差数列 的前 项和为，若 ，则 =_. 答案： 二项式 展开式中常数项为 _.(用数字做答 ) 答案： 定积分 的值为 _. 答案： 解答题 （本小题满分 10分）选修 44 ：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x轴的正半轴重合设点 O 为坐标原点 , 直线 （参数 ）与曲线 的极坐标方程为 （ ）求直线 l与曲线 C的普通方程；
5、 （ ）设直线 l与曲线 C相交于 A， B两点，证明： 0. 答案：解：（ ）由直线 的参数方程消去 得普通方程 由曲线的极坐标方程两边同乘 得曲线 的普通方程为 , (5分 ) （ ）设 ,由 消去 得 (6分 ) y1y2= (8分 ) x1x2+ y1y2= 0 (10分 ) （本小题满分 10分）选修 41 ：几何证明选讲 如图， AB是 O 的直径，弦 BD、 CA的延长线相交于 点 E， EF 垂直 BA的延长线于点 F. 求证： （ ） ； （ ） 答案：证明：（ ）连结 AD因为 AB为圆的直径，所以 ADB=90，又EF AB， EFA=90则 A、 D、 E、 F四点共圆
6、 (4分 ) DEA= DFA (5分 ) （ ）由（ ）知， BD BE=BA BF(6分 )，又 ABC AEF 即： AB AF=AE AC(8分 ) BE BD-AE AC =BA BF-AB AF=AB(BF-AF)=AB2 (10分 ) （本小题满分 12分） 已知函数 在 处取到极值 2 （ ）求 的式； （ ）设函数 .若 对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 ，求实数 的取值范围 . 请考生在第 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 答案：解 : （ ） (2分 ) 由 在 处取到极值 2，故 ， 即 , 解得 ，经检验，此时 在 处取得极值
7、 .故 (4分 ) （ ）由（ ）知 ，故 在 上单调递增， 在 上单调递减 ,由 ，故 的值域为 (6分 ) 依题意 ，记 （ ）当 时， ， 在 上单调递减，依题意由 得， 故此时 (8分 ) （ ）当 时， 当 时， 依题意由 ，得 ，即 .与 矛盾 (10分 ) （ ）当 时， ， 在 上单调递增 ,依题意得 即 此不等式组无解 (11分 ).综上，所求 取值范围为(12分 ) （本小题满分 12分） 在直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 . 其中 也是抛物线 的焦点，点 为 与 在第一象限的交点，且（ ）求 的方程； （ ）若过点 的直线 与 交于不同的两点 . 在 之间，试求
8、与 面积之比的取值范围 .（ O 为坐标原点） 答案：解：（ ） 依题意知 ，设 .由抛物线定义得，即 . 将 代人抛物线方程得 (2分 )，进而由 及 解得 .故 的方程为 (4分 ) （ ）依题意知直线 的斜率存在且不为 0，设 的方程为 代人， 整理得 (6分 ) 由 ，解得 .设 ,则 （ 1） (8分 ) 令 且 .将 代人（ 1）得消去 得 (10分 )即 ， 即 解得 . 故 与 面积之比的取值范围为 (12分 ) （本小题满分 12分） 如图，五面体 中， 底面 是正三角形， 四边形 是矩形，二面角 为直二面角 （ ） 在 上运动，当 在何处时，有 平面 ， 并且说明理由； （
9、 ）当 平面 时，求二面角 余弦值 答案：解：（ ）当 为 中点时 ,有 平面 (2分 ) 证明 :连结 交 于 ,连结 四边形 是矩形 为 中点又 为 中点 ,从而 (4分 ) 平面 , 平面 平面 (6分 ) （ ）建立空间直角坐标系 如图所示 , 则 , , , , (7分 ) 所以 , (8分 ) 设 为平面 的法向量 ,则有 ， ,即 令 ,可得平面 的一个法向量为 , 而平面 的一个法向量为 (10分 ) 所以 ，故二面角 的余弦值为 (12 分 ) （本小题满分 12分） 某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于 90 分，满分 150分），将成绩按如下方
10、式分成六组，第一组 、第二组 第六组 . 如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有 4人 . （ ）请补充完整频率分布直方图，并估 计这组数据的平均数 M； （ ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选 2人，记他们的成绩分别为. 若 ,则称此二人为 “黄金帮扶组 ”，试求选出的二人为 “黄金帮扶组 ”的概率 ； （ ）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出的 3名学生 ，求成绩不低于 120分的人数 分布列及期望 . 答案：解：（ ）设第四，五组的频率分别为 ，则 由 解得 ， (2分 ) 从而得出直方图（如图所示） (3分 ) (4分 ) （
11、 ）依题意第四组人数为 ，故 (6分 ) （ ）依题意样本总人数为 ，成绩不低于 120分人数为(7分 ) 故在样本中任选 1人，其成绩不低于 120分的概率为 又由已知 的可能取值为 0， 1， 2， 3 ， ， ， , 故 的分布列如下： 0 (10分 ) 依题意 .故 本小题满分 12分） 在 中 ，角 的对边分别为 ，且满足 。 （ ）若 求此三角形的面积 ; （ ）求 的取值范围 . 答案：解：由已知及正弦定理得 , 即 ,在 中，由 故 ， 所以 (3分 ) （ ）由 ，即 得 (5分 ) 所以 的面积 (6分 ) （ ） (10分 ) 又 ， ，则 (12分 ) （本小题满分 10分）选修 45 ：不等式选讲 已知函数 ， （ ）当 时，解不等式 ； （ ）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围 . 答案：
