1、2011届广东省中山市杨仙逸中学高三第一次月考数学理卷 选择题 复数 的虚部是（ ） A B C D 1 答案： A 考点：复数的基本概念 专题：计算题 分析：先将复数化简 = - i，再确定其虚部 解答：解： = - i， 复数 的虚部是 - 故选 A 已知 ，则下列结论中正确的是 （ ） A函数 的周期为 2 ； B函数 的最大值为 1； C将 的图象向左平移 个单位后得到 的图象； D将 的图象向右平移 个单位后得到 的图象； 答案： D 考点：函数 y=Asin（ x+）的图象变换 分析：先将函数 f（ x）， g（ x）根据诱导公式进行化简，再求出 f（ x） g（ x）的式，进而得
2、到 f（ x） g（ x）的最小正周期和最大值可排除 A， B；再依据三角函数平移变换法则对 C， D进行验证即可 解答：解： f(x)=sin(x+ )， g(x)=cos(x- )， f（ x） =cosx， g（ x） =sinx f（ x） g（ x） =sinxcosx= sin2x， T= =，排除 A， f(x)g(x)max= ，排除B； 将 f（ x）的图象向左平移 个单位后得到 y=cos（ x+ ） =-sinxg（ x），排除C； 将 f（ x）的图象向右平移 个单位后得到 y=cos（ x- ） =sinx=g（ x）， 故选 D 点评：本题主要考查三角函数的诱导公式
3、和平移变换三角函数的平移变换第一步先将函数化为同名函数，然后根据左加右减上加下减的原则平移 已知随机量 X服从正态分布 N（ 3,1），且 P（ 2X4） =0.6826，则 P(X4)= A 0.1588 B 0.1587 C 0.1586 D 0.1585 答案： B 已知直线 l， m，平面 和 ，且 ，给出下列三个命题 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 。其中正确命题的个数是（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B 由线面垂直，线线垂直的几何特征，我们可判断 的真假；根据面面平行的性质及线面垂直的判定和性质，我们可判断 的真假；根据面面垂直的几何特征及线面垂直的几
4、何特征，我们可以判断 的真假，进而得到答案： 解：若 l m，则 m ，或 m ，则 与 可能平行也可能相交；故 错误； 若若 ，由 l ，则 l ，进而由 m ，可得 l m；故 正确； 若若 ，则 l ，或 l ，则直线 l与 m可能平行，也可能相交，也可能异面，故 错误； 故选 B 函数 的一个单调增区间是 A B C D 答案： D 考点：正弦函数的单调性 分析：先利用辅助角公式对函数进行化简，再利用正弦函数的单调性求出单调增区间，取其一即可 解答：解： =2sin（ x+ ） - +2kx+ +2k，（ k Z） 解得： - +2k x +2k 取 k=0得函数的一个单调增区间为 -
5、 ， ， 故选 D 点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，单调性是函数的重要性质，属于基础题 从 4名男生、 3名女生 中各选出 2名组成研究性学习小组，并从选出的 4人中再选定 1人当组长，则不同选法的种数是 A B C D 答案： C 已知向量 ， ，则 的值为 （ ） A B C D 答案： C 命题 “在 中，若 是直角，则 一定是锐角 ”的证明过程如下： 假设 不是锐角，则 是直角或钝角，即 ，而 是直角， 所以 ， 这与三角形的内角和等于 矛盾，所以上述假设不成立， 即 一定是锐角本题采用的证明方法是 A综合法 B分析法 C反证法 D数学归纳法 答案： C 填空题 （坐标系与参数方
6、程选做题）在极坐标系中，已知两点 、 的极坐 标分别为 ， ，则 （其中 为极点）的面积 为 答案： （二）选做题（ 14 15题，考生只能从中选做一题） （几何证明选讲选做题）如图 5, 是半圆 的直径 ,点 在 半圆上 , ，垂足为 ，且 ,设 , 则 的值为 . 答案： 已知 ，则 的最小值为 答案： 若 ，则 的最小值为 . w 答案： 已知 且 E（ ） =10， D（ ） =6，则 . 答案： 曲线 所围成的图形的面积为 答案： 在 (x4 )10的展开式中常数项是 （用数字作答） 答案： 解答题 已知 ，其中 ( ) 求 的值； ( ) 若 ， ，求 的值 答案：略 （本小题满分
7、 12分）如图所示，在正方体 中， E为 AB的中点 (1)若 为 的中点，求证 : 面 ； (2) 若 为 的中点 ,求二面角 的余弦值； 答案： （ 1） 略 （ 2） （本小题满分 14分） 已知甲盒内有大小相同的 1个红球和 3个黑球，乙盒内有大小相同的 2个红球和 4个黑球。现从甲、乙两个盒内各任取 2个球。 （ 1）求取出的 4个球均为黑球的概率； （ 2）求取出的 4个球中恰有 1个红球的概率； （ 3）设 为取出的 4个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望 答案：略 解：（ 1）设 “从甲盒内取出的 2个球均为黑球 ”为事件 ， “从乙盒内取出的 2个球均为黑球 ”为事 件
8、。 由于事件 ， 相互独立，且 ， 。 2 分 故取出的 4个球均为黑球的概率为 4分 （ 2）设 “从甲盒内取出的 2个球均为黑球；从乙盒内取出的 2个球中， 1个是红球， 1个是黑球 ”为事件 ， “从甲盒内取出的 2个球中， 1个是红球， 1个是黑球；从乙盒内取出的 2个球均为黑球 ”为事件 。 由于事件 ， 互斥，且 ，6 分 故取出的 4个球中恰有 1个红球的概率为。 8 分 （ 3） 可能的取值为 。由（ 1），（ 2）得 ， ， 。 从而 。 10 分 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望。 .12 分 （本小题满分 12分） 某公司近年来科研费用支出 万元与公司所获得利润
9、万元之间有如下的统计数据： 2 3 4 5 18 27 32 35 (1)请画出上表数据的散点图 ; (2)请根据上表提供的数据 ,用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程； (3)试根据 (2)求出的线性回归方程 ,预测该公司科研费用支出为 10万元时公司所获得的利润 . 参考公式 : 答案： （ 1） 略 （ 2） （ 3） 64.4万元 解： (1)画出散点图如图 :.3 分 5分 .9 分 所求线性回归方程为 : .10 分 (1)当 时 , (万元 ),.11 分 故预测该公司科研费用支出为 10万元时公司所获得的利润为 64.4万元 12分 数列 an满足 Sn=2n-an， n N，先计算前 4项后猜想 an，并用数学归纳法证明 答案：略 本小题满分 14分） 定义运算 ，记函数 （ ）已知 ，且 ，求 的值； （ ）在给定的直角坐标系中，用 “五点法 ”作出函数 在 一个周期内的简图； （ ）求函数 的对称中心、最大值及相应的 值 . 答案： （ 1） （ 2）略 （ 3） 的对称中心为 当 ，即 ，
