1、2011届江西省重点中学联盟高三第一次联考数学文卷 选择题 已知集合 为（ ） A（ 1， 2） B C D 答案： A 某大学的信息中心 A与大学各部门，各院系 B， C， D， E， F， G， H， I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）。请观察图形，可以不建部分网线，而使得信息中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最少的建网费用是（ ） A 12万元 B 13万元 C 14万元 D 16万元 答案： B 设 ，已知函数 的定义域是 ，值域是 ，若函数 g(x)=2x-1+m+1有唯一的零点，则 （ ） A 2 B C 1 D 0 答案： C 考点：函数零
2、点的判定定理；对数函数的定义域 专题：计算题 分析：由关于 x的方程 2|x-1|+m+1=0有唯一的实数解，我们易得 m的值，然后根据函数 f（ x） =log2（ -|x|+4）的定义域是 m， n，值域是 0， 2，结合函数 f（ x）=log2（ -|x|+4）的性质，可求出 n的值，进而得到答案： 解答：解： f（ x） =log2（ -|x|+4）的值域是 0， 2， （ -|x|+4） 1， 4 -|x| -3， 0 |x| 0， 3 若若关于 x的方程 2|x-1|+m+1=0有唯一的实数解 则 m=-2 又由函数 f（ x） =log2（ -|x|+4）的定义域是 m， n，
3、 结合 可得 n=3 即： m+n=1 故选 C 点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于 x的方程 2|1-x|+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于 x的方程 2|1-x|+1=-m有唯一的实数解，即 -m为函数 y=2|1-x|+1的最值，是解答本题的关键 设 F1， F2是双曲线 的左、右两个焦点， 若双曲线右支上存在一点 P，使 （ O 为坐标原点），且 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： D P 的坐标 满足 ，过点 P 的直线 与圆 相交于 A、B两点，则 的最小值是（ ） A B 4 C D 3 答案：
4、 B 阅读如图所示的算法框图，输出的结果 S的值为（ ） A B C 0 D 答案： A 下面说法正确的是 ( ) A命题 “ 使得 ”的否定是 “ 使得 ” B C设 p、 q为简单命题，若 “ ”为假命题， 则 “ ”也为假命题。 D命题 “若 则 ”的逆否命题为假命题。 答案： D 一几何体的主视图，左视图与俯视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A 2 B C D 1 答案： C 考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题 分析：几何体是一个不完整的圆柱，首先用和它一样的不完整图形对起来，得到一个完整的圆柱，圆柱的底面直径是 2，圆柱的高是 4，做出圆柱的体积，得到不完整图形的体积
5、解答：解：由三视图知，几何体是一个不完整的圆柱， 首先把几何体补成完整的圆柱，用和它一样的不完整图形对起来， 得到一个完整的圆柱， 圆柱的底面直径是 2，圆柱的高是 4 圆柱的体积是 4124=4 不完整圆柱的体积是 4=2 故选 C 点评：本题考查由三视图求体积，考查由三视图还原直观图，考查利用补全的思想来把不能解决的问题转化为我们熟悉的图形，本题是一个基础题 在等差数列 中，已知 ，则 等于（ ） A 40 B 42 C 43 D 45 答案： B 已知复数 z满足 ，则 z等于（ ） A B C D 答案： D 填空题 已知函数 的定义域为 R，则实数 a的取值范围 。 答案： (- ,
6、-3 1,+ ） 表 1中数阵称为 “森德拉姆筛 ”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字 206共出现 次。 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 4 7 10 13 16 19 5 9 13 17 21 25 6 11 16 21 26 31 7 13 19 25 31 37 答案： ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1， ，且 ，则向量 在向量 方向上的投影为。 答案： 在集合 中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是 _ 答案： 已知函数 ，则 的值为 。 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知函数 的一系列对应值如表： 0 0 1 0 0 （ 1）求
7、的式； （ 2）若在 ABC中， AC=2， BC=3， （ A为锐角），求 ABC的面积。 答案：解：（ 1） 6 分 （ 2） ，且 A为锐角 ，在 ABC中，由正弦定理得 12 分 （本小题满分 12分） 某高校在 2010年的自主招生考试成绩中随机抽取 100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1组 ，第 2组 ，第 3组 ，第 4组，第 5组 ，得到的频率分布直方图如图所示。 （ 1）求第 3、 4、 5组的频率； （ 2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第 3、 4、 5组中用分层抽样的方法抽取 6名学生进入第二轮面试，求第 3、 4、 5组每组各抽取多少学生进入第二
8、轮面试？ （ 3）在（ 2）的前提下，学校决定在这 6名学生中随机抽取 2名学生接受甲考官的面试，求第 4组至少有 一名学生被甲考官面试的概率。 答案：解：（ 1）由题设可知，第 3组的频率为 0.065=0.3，第 4组的频率为 0.045=0.2，第 5组的频率为 0.025=0.1。 3 分 （ 2）第 3组的人数为 0.3100=30，第 4组的人数为 0.2100=20，第 5组的人数为 0.1100=10。 因为第 3、 4、 5组共有 60名学生，所以利用分层抽样在 60名学生中抽取 6名学生，每组抽取的人数分别为第 3 组： ，第 4 组： ，第 5 组：，所以第 3、 4、
9、5组分别抽取 3人、 2人、 1人。 6 分 （ 3）设第 3组的 3名学生分别为 A1、 A2、 A3-，第 4组的 2名学生分别为 B1、B2，第 5组的 1名学生为 C1，则从 6名学生中抽取两位学生有：（ A1， A2）、（ A1， A3）、（ A1， B1）、（ A1， B2）、（ A1， C1）、（ A2， A3）、（ A2，B1）、（ A2， B2），（ A2， C1），（ A3， B1），（ A3， B2），（ A3， C1），（ B1，B2），（ B1， C1），（ B2， C1），共 15种可能。其中第 4组的 2位学生 B1， B2至少有一位学生入选的有：（ A1， B1
10、）、（ A1， B2）、 (A2， B1）、（ A2， B2），（ A3， B1），（ A3， B2），（ B1， B2），（ B1， C1），（ B2， C1），共 9 种可能，所以第 4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为 。 12 分 （本小题满分 12分） 在 直三棱柱 中， AC=4,CB=2,AA1=2 ， E、 F分别是 的中点。 （ 1）证明：平面 平面 ； （ 2）证明： 平面 ABE； (3)设 P是 BE的中点，求三棱锥 的体积。 答案： （ 1）证明：在 ， AC=2BC=4, 由已知 又 4 分 （ 2）证明：取 AC的中点 M，连结 在 , 直线 FM/面 ABE
11、在矩形 中， E、 M都是中点 直线 又 故 8 分 （ 3）在棱 AC 上取中点 G，连结 EG、 BG，在 BG上取中点 O， 连结 PO，则 PO/ ， 点 P到面 的距离等于点 O 到平面 的距离。 过 O 作 OH/AB交 BC 与 H，则 平面 在等边 中可知 在 中，可得 12 分 （本题满分 12分） 设数列 （ 1）求 （ 2）求证：数列 是等差数列，并求 的表达式 答案：）解：当 时，由已知得 同理，可解得 。 4分 （ 2）证明 ：由题设 当 代入上式，得 -1的等差数列。 10分， 。 12分 （本小题满分 13分） 设函数 （ 1）若函数 在 x=1处与直线 相切 求
12、实数 a， b的值； 求函数 上的最大值 . （ 2）当 b=0时，若不等式 对所有的 都成立，求实数m的取值范围 . 答案：解：（ 1） 函数 在 处与直线 相切 解得3 分 当 时，令 得 ； 令 ，得 上单调递增，在 1， e上单调递减， 。 7分 8 分 （ 2）当 b=0时， 若不等式 对所有的都成立， 则 对所有的 都成立， 即 对所有的 都成立，。 8分 令 为一次函数， 上单调递增 ， 对所有的都成立。 11分 。 13分 （注：也可令 所有的 都成立，分类讨论得对所有的 都成立， ，请根据过程酌情给分） 本小题满分 14分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1、 F2，若以
13、F2为圆心， b-c为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P作此圆的切线，切点为 T，且 的最小值不小于 。 （ 1）证明 ：椭圆上的点到 F2的最短距离为 ； （ 2）求椭圆的离心率 e的取值范围； （ 3）设椭圆的短半轴长为 1，圆 F2与 轴的右交点为 Q，过点 Q 作斜率为的直线 与椭圆相交于 A、 B两点，若 OA OB，求直线 被圆 F2截得的弦长 S的最大值。 答案：解：（ 1）假设椭圆上的任一点 P（ x0,y0） 则 PF22=（ x0-c） 2+y02由椭圆方程 易得 PF22= x02-2cx0+c2+b2,显然当 x0=a时 , PF2最小值为 a-c.。 4分 （ 2）依题意知 当且仅当 取得最小值时， 取最小值 ,又因为 b-c0, 得 。 8分 （ 3）依题意 Q 点的坐标为 ，则直线的方程为 ，代入椭圆方程得 设 ，则 ， ，。 10分 又 OA OB， ， ，即 ，直线的方程为 圆心 到直线 的距离 由图象可知 。 12分 由 得 。 14分
