1、2011年辽宁省瓦房店市五校高二上学期竞赛数学文卷 选择题 集合 ，则实数 m的取值范围（ ） A B C D 答案： D 已知 是 上的奇函数，,则数列 的通项公式为 （ ） A B C D 答案： C 若 、 两点分别在圆上运动， 则 的最大值为（ ） A 13 B 19 C 32 D 38. 答案： C 已知 的导函数是 ,记 则 （ ） A ABC B ACB C BAC D CBA 答案： A 已知 ，满足 有 恒成立，且 与 的大小为 ( ) A B C D 大小不定 答案： B 设 、 、 、 是半径为 的球面上的四点，且满足 ， ，则 的最大值是 ( ) A B C D 答案：
2、 A 如果函数 （ a为常数）在区间 内单调递增， 且在区间 (0,2)内单调递减，则常数 a的值为（ ） A 1 B 2 C D 答案： C 在圆 内，过点 有 n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项 ，最长弦长为 ，若公差 ，那么 n的取值集合为 （ ） A B C D 答案： A 若 为奇函数 , 且在 0, 为增函数 , 则 的一个值为 A B - C D - 答案： B 已知二次函数 ，当 n依次取 时，其图像在 轴上所截得的线段的长度的总和为（ ） A 1 BC D 答案： B 已知 =(cos , sin ), , ，若 OAB是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，则 OA
3、B的面积等于（ ） A 1 BC 2 D答案： A 过点 的直线 将圆 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线 的方程是 A B C D 答案： D 填空题 向量 , 为坐标原点 ,动点 满足 , 则点 构成图形的面积为 . 答案： 若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为 。 答案： 已知关于 的方程 的两根为 和 ， ， 则 的值为 。 答案： 答案： 解答题 （本小题满分 10分） 中，角 A、 B、 C所对的边分别为 、 、 ， 已知 （ 1）求 的值； （ 2）求 的面积。 答案：（ 1）由 ，得 -2分 为锐角， ， -4分 -5分 （本小题满分 12分）已知函数 .若 为整数，且
4、函数 在 内恰有一个零点，求 的值 . 答案：解：（ 1） 时，令 得 ，所以 在内没有零点； 2 分 （ 2） 时，由 恒成立， 知 必有两个零点 5 分 若 ，解得 ；若 ，解得 ， 所以 7 分 又因为函数 在 内恰有一个零点， 所以 即 10 分 解得 由 综上所述，所求整数 的值为 12 分 （本小题满分 12分）如图，在正方体 中， 、 分别为棱 、 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证：平面 平面 ； （ 3）如果 ，一个动点从点 出发在正方体的 表面上依次经过棱 、 、 、 、 上的点，最终又回到点 ，指出整个路线长度的最小值并说明理由 . 答案：在正方体 中，对角线
5、 . 又 E、 F为棱 AD、 AB的中点， . . 2 分 又 B1D1平面 ， 平面 ， EF 平面 CB1D1. 4 分 （ 2）证明 : 在正方体 中， AA1 平面 A1B1C1D1， 而 B1D1平面 A1B1C1D1， AA1 B1D1. 又 在正方形 A1B1C1D1中， A1C1 B1D1， B1D1 平面 CAA1C1. 6 分 又 B1D1平面 CB1D1， 平面 CAA1C1 平面 CB1D1 8 分 （ 3）最小值为 . 9 分 如图，将正方体六个面展开成平面图形， 10 分 从图中 F到 F，两点之间线段最短，而且依次经过棱 BB1、 B1C1、 C1D1、 D1D
6、、DA上的中点，所求的最小值为 . 12 分 . （本小题满分 12分）数列 的前 项和记为 ，(1) 求 的通项公式 ; (2) 等差数列 的各项为正，其前 项和为 ,且 ， 答案：解：（ 1）、由 可得 ，两式相减得又 故 an是首项为 1，公比为 3得等比数列 . （ 2）、设 bn的公差为 d，由 得，可得 ，可得 ， 故可设 又 由题意可得 解得 等差数列 bn的各项为正， ， 本小题满分 12分）已知函数 是 R上的奇函数， 当 时 取得极值 ， （ 1）求 的单调区间和极大值； （ 2）证明对任意 ，不等式 恒成立 . 、 答案：解： 为 R上的奇函数， ， 即 ， d=0. ，
7、 . 当 x=1时， 取得极值 . 解得： . ， ， 令 ，则 或 ，令 ，则 . 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .6分 （ 2）证明：由（ 1）知， ，（ ）是减函数， 且 在 上的最大值 ， 在 上的最小值， 对任意的 ，恒有12 分 已知 ，函数 （ 1）若函数 在区间 内是减函数，求实数 的取值范围； （ 2）求函数 在区间 上的最小值 ； （ 3）对（ 2）中的 ，若关于 的方程 有两个不相等的实数解， 求实数 的取值范围 答案：解： ， .1分 函数 在区间 内是减函数， 在 上恒成立 2 分 即 在 上恒成立， 3 分 ， 故实数 的取值范围为 4 分 （ 2）解： ，令 得 5分 若 ，则当 时， ，所以 在区间 上是增函数， 所以 6 分 若 ，即 ，则当 时， ，所以 在区间上是增函数， 所以 7 分 若 ，即 ，则当 时， ；当 时， 所以 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 所以 8 分 若 ，即 ，则当 时， ，所以 在区间 上是减函数 所以 9 分 综上所述，函数 在区间 的最小值10 分 （ 3）解：由题意 有两个不相等的实数解， 即（ 2）中函数 的图像与直线 有两个 不同的交点 11 分 而直线 恒过定点 ， 由右图知实数 的取值范围是 14 分
