1、2011年辽宁省瓦房店市五校高二上学期竞赛数学理卷 选择题 设集合 S=x|x2-5|x|+6=0, T=x|(a-2)x=2, 则满足 T (S的 a的值共有 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 答案： A 函数 的定义域为 D，若对于任意 x1， x2 D，当 x1 x2时，都有 ， 则称函数 在 D上为非减函数设函数 在 0， 1上为非减函数，且满足以下三个条件： ； 则 + 等于 （ ） A B C 1 D答案： 函数 是定义在 R上恒不为 0的函数，对任意 都有， 若 ，则数列 的前 n项和 Sn的取值范围是 （ ） A B C D 答案： C 已知 ，满足 时有 恒成立，且 与
2、 的大小为 ( ) A B C D 大小不定 答案： C 设 、 、 、 是半径为 的球面上的四点，且满足 ， ，则 的最大值是 ( ) A B C D 答案： B 若 f(x)=|lgx|,当 af(c)f(b).则下列不等式中正确的为（ ）。 A (a-1)(c-1)0 B ac1 C ac=1 D ac1 答案： A 已知定义在 R上的函数 满足下列三个条件： 对任意的 x R都有 ； 对于任意的 ，都有 的图象关于 y轴对称 则下列结论中正确的是 ( ) A B C D 答案： D 若 为奇函数 , 且在 0, 为增函数 , 则 的一个值为 ( ) A B - C D - 答案： A
3、已知 则函数 的最大值为（ ） A 3 B 6 C 13 D 22 答案： B 函数 的图象如右图所示，则函数 的单调递减区间是 ( ) A B C D 答案： C 已知 =(cos , sin ), , ，若 OAB是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，则 OAB的面积等于（ ） A 1 BC 2 D答案： A 过点 的直线 将圆 分成两段弧，当其中的优弧最长时， 直线 的方程是 ( ) A B C D 答案： D 填空题 抛物线 上不存在关于直线 对称的两点，则 的取值范围是 答案： 设有一组圆 下列四个命题： A存在一条定直线与所有的圆均相切 B存在一条定直线与所有的圆均相交 C存在一条
4、定直线与所有的圆均不相交 D所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 答案： ， 关于函数 有下列命题： 函数 的图象关于 y轴对称 在 上 是增函数 ;在 上是减函数 函数 的最小值是 在 上 为增函数 无最大值 ,也无最小值 ,其中正确命题的序号是 _ 答案： 已知 x, y满足 , 若 的最大值为 , 最小值为 , 则的取值范围是 _ 答案： -1 1 解答题 （本小题满分 10 分）已知函数 ， （ 1）求 的最大值和最小值； （ 2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围 答案：解：（ ） 又 ， ，即 ， 5 分 （ ） ， ， 且 ， ，即 的取值范
5、围是 分 （本小题满分 12分）已知函数 .若 为整数，且函数 在 内恰有一个零点，求 的值 . 答案：解：（ 1） 时，令 得 ，所以 在内没有零点； 2 分 （ 2） 时，由 恒成立， 知 必有两个零点 5 分 若 ，解得 ；若 ，解得 ， 所以 7 分 又因为函数 在 内恰有一个零点， 所以 即 10 分 解得 由 综上所述，所求整数 的值为 12 分 （本小题满分 12分）如图，在正方体 中， 、 分别为棱 、 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证：平面 平面 ； （ 3）如果 ，一个动点从点 出发在正方体的 表面上依次经过棱 、 、 、 、 上的点，最终又回到点 ，指出整个
6、路线长度的最小值并说明理由 . 答案：（ 1）证明 :连结 . 在正方体 中，对角线 . 又 E、 F为棱 AD、 AB的中点， . . 2 分 又 B1D1平面 ， 平面 ， EF 平面 CB1D1. 4 分 （ 2）证明 : 在正方体 中， AA1 平面 A1B1C1D1， 而 B1D1平面 A1B1C1D1， AA1 B1D1. 又 在正方形 A1B1C1D1中， A1C1 B1D1， B1D1 平面 CAA1C1. 6 分 又 B1D1平面 CB1D1， 平面 CAA1C1 平面 CB1D1 8 分 （ 3）最小值为 . 9 分 如图，将正方体六个面展开成平面图形， 10 分 从图中
7、F到 F，两点之间线段最短，而且依次经过棱 BB1、 B1C1、 C1D1、 D1D、DA上的中点，所求的最小值为 . 12 分 . 已知椭圆 过点 ，且离心率 e . （ 1）求椭圆方程； （ 2）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围。 答案：解由题意椭圆的离心率 椭圆方程为 2 分 又点 在椭圆上 椭圆的方程为 4 分 （ ）设 由 消去 并整理得 6 分 直线 与椭圆有两个交点 ，即 8 分 又 中点 的坐标为 9 分 设 的垂直平分线 方程： 在 上 即 11 分 将上式代入得 即 或 的取值范围为 （本小题满分 12分）设函数 的定义域为
8、R，当 时，且对任意实数 ，都有 成立，数列 满足且 （ 1）求 的值； （ 2）若不等式 对一切 均成立，求的最大值 . 答案：解（ 1）令 x=-1,y=0,得 （本小题满分 12分）对于函数 ，若 ，则称 为 的 “不动点 ”，若 ，则称 为 的 “稳定点 ”.函数的 “不动点 ”和 “稳定点 ”的集合分别记为 和 ，即 ， . （ 1）求证： ； （ 2）若 ，且 ，求实数 的取值范围； （ 3）若 是 上的单调递增函数， 是函数的稳定点，问 是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由 . 答案：解：（ 1）若 ，则 显然成立；若 ，设 ， 则 ， ，故 . 3 分 （ 2） 有实根， .又 ，所以 ， 即 的左边有因式 ， 从而有 . 5 分 ， 要么没有实根，要么实根是方程 的根 .若 没有实根， 则 ；若 有实根且实根是方程 的根， 则由方程 ，得 ， 代入 ，有 .由此解得 ，再代入得，由此 ， 故 a的取值范围是 . 8 分 （ 3）由题意： 是函数的稳定点则 ，设 ， 是 上的单调增函数，则 ， 所以 ，矛盾 . 若 ， 是 上的单调增函数，则 ， 所以 ，矛盾，故 ， 所以 是函数的不动点 . 12 分
