1、2012-2013学年山西省忻州一中高二下学期期中考试数学理科试卷与答案（带解析） 选择题 复数的虚部是 A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于复数 ，故可知实部为零，虚部为 -2，故选 C. 考点：复数的概念，复数的运算 点评：主要是考查了复数的乘除法运算以及复数的概念的运用，属于基础题。 已知二次函数 f（ x） =ax2+bx+1的导函数 为 f（ x）， f（ 0） 0， f(x)与 x轴恰有一个交点，则 的最小值为 A B 2 C 3 D 答案： B 试题分析：解： f（ x） =ax2+bx+1， f（ x） =2ax+b， f（ 0） =b，又 f（ 0） 0， b
2、 0又已知 f（ x）与 x轴恰有一个交点， =b2-4a=0,则可知 f(1)=a+b+1= ,则 ,故选 B. 考点：二次函数、导数 点评：本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式，熟练掌握它们的性质及使用方法是解决问题的关键 若函数 在区间 上为单调函数，则实数 不可能取到的值为 A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于函数 在区间 上为单调函数，则可知导数 ，分离参数思想来求解参数 a的范围可知 实数 不可能取到的值为 ，故选 D. 考点：函数的单调性与函数导数 点评：本题主要考查了函数的单调性与函数导数的关系的应用，函数的恒成立问题的求解常会转化为求函数的最值，体现了构造
3、函数与转化思想的应用 某学校文艺委员安排五个文艺节目的出场顺序，其中两个音乐节目既不能放在最前，也不能放在最后，那么不同的 排法有 A 30种 B 36种 C 16种 D 24种 答案： B 试题分析：根据题意，先考虑两个音乐节目的位置，两个音乐节目又 3种选择，分步计数原理得到结果 ，故选 B 考点：分步计数原理 点评：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，把几个步骤中数字相乘得到结果，注意有限制条件的元素 利用数学归纳法证明 “ ”时，从 “ ”变到 “ ”时，左边应增乘的因式是 A B C D 答案： C 试 题分析：解：由题意，
4、n=k 时，左边为（ k+1）（ k+2） （ k+k）； n=k+1时，左边为（ k+2）（ k+3） （ k+1+k+1）；从而增加两项为（ 2k+1）（ 2k+2），且减少一项为（ k+1），故选 C 考点：数学归纳法 点评：本题以等式为载体，考查数学归纳法，考查从 “n=k”变到 “n=k+1”时，左边变化的项，属于中档题 已知 ，由不等式 可以推出结论 = A 2n B 3n C D 答案： D 试题分析：解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简消去根号，得到右式；对于给出的等式， 左边变形为 ，前 n个表达式分母都是 n，那么根据均值不等式，必有
5、为定值，则可知选 D. 考点 ：归纳推理 点评：本题考查归纳推理，需要注意不等式左右两边的变化规律，并要结合基本不等式进行分析 如图是一个算法程序框图，当输入的 值为 3时，输出的结果恰好是 ，则空白框处的关系式可以是 A B C D 答案： B 试题分析：根据程序框图可知，程序运行时，列出数值 x的变化情况，从而求出当 x=-1时，输出的 ，从而选出答案：即可解：当 x=3时，因为 x 0，所以 x=x-2， x=1，即 x=x-2， x=-1， x=-1时，空白框处的关系式可以是 ，故选 B. 考点：当型循环结构 点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循
6、环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题 等比数列 中 , ,前三项和 ,则公比 的值为 A 或 B 或 C D 答案： B 试题分析：解： =18， , a1+a2= (1+q)=12， 2q2-q-1=0， q=1或 q= ，故选 B 考点：等比数列的前 n项和 , 定积分的基本运算 点评：本题考查等比数列的前 n项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 ），则该棱锥的体积是 A B 8 C 4 D 答案： A 试题分析：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的
7、侧面是一个高为 2，底边长也为 2的等腰直角三角形，然后利用三视图数据求出几何体的体积 . 解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥 ,由 图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为 2，底面面积 22=2，故此三棱锥的体积为 22= ,故选 A 考点：三视图求几何体的面积、体积 点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，考查空间想象能力与计算能力 已知等比数列 中有 ，数列 是等差数列，且 ，则 A 2 B 4 C 8 D 16 答案： C 试题分析：根据题意，由于等比
8、数列 中有 ，数列 是等差数列，且，则由等比中项性质可知， ，则可知 =4，故根据等差中项性质可知 ，故选 C. 考点：等差数列，等比数列 点评：主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式的运用，属于基础题。 曲线 y= 在点（ 1， -1）处的切线方程为 A y=x-2 B y=-3x+2 C y=2x-3 D y= -2x+1 答案： D 试题分析：根据题意 ，由于曲线 y= ,则可知其导数 ，故当 x=1时，则可知导数值为 -2，则由点斜式方程可知为 y= -2x+1，选 D. 考点：导数的几何意义 点评：主要是考查了导数在研究曲线的切线方程中的运用，属于基础题。 下列命题中，真命题是 A
9、 B C a+b=0的充要条件是 = -1 D a1且 b1是 ab1的充分条件 答案： D 试题分析：根据题意，由于选项 A, 不能判定真假，因此错误。对于选项 B ，也不能判定真假，不是命题。对于 C a+b=0的充要条件是 a=-1 错误。对于 D a1且 b1是 ab1的充分条件，由于条件能推出结论，成立，故选 D. 考点：命题的真假 点评：主要是考查了充分条件的判定以及命题得真假，属于基础题。 填空题 下列命题： 动点 到两定点 的距离之比为常数 ，则动点 的轨迹是圆； 椭圆 的离心率是 ； 双曲线 的焦点到渐近线的距离是 b； 已知抛物线 上两点 ，且 OA OB (O是坐标原点
10、)，则 所有正确命题的序号是 _. 答案： 试题分析：对于 动点 到两定点 的距离之比为常数 ，则动点 的轨迹是圆；当比值等于 1时，是圆，正确。对于 椭圆 的离心率是 成立。；对于 双曲线 的焦点到渐近线的距离是 b；根据点到奥直线的距离公式可知成立，对于 已知抛物线 上两点，且 OA OB (O是坐标原点 )，则 ，错误。故填写 考点：圆锥曲线的性质 点评：主要是考查了圆锥曲线的性质的运用，以及直线与抛物线的位置关系运用，属于基础题。 已知 ABC的面积为 ， ，则 的最小值是 _. 答案： 试题分析：根据题意，由于 ABC的面积为 ， , =4,那么可知，可知最小值为 ，故答案：为 。
11、考点：余弦定理 点评：主要是根据已知的角和面积公式得到 bc得值，然后借助于余弦定理来求解最值，属于基础题。 若函数 在 上无极值点，则实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：根据题意，由于函数 在 上无极值点，那么可知其导数 ,故答案：为 考点：导数得运用 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，确定三次函数为单调函数是关键 若 展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于_. 答案： 试题分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出第四项与第六项的系数，列出方程，求出 n，令通项中的 x为 0，求出展开式的常数项 . 解：展开式的通项为 Tr+1=Cnrx
12、n-2r,当 r=3得第四项的系数为 Cn3,当 r=5得第六项的系数为 Cn5,据题意知Cn3=Cn5,所以 n=8,所以通项为 Tr+1=C8rx8-2r,令 8-2r=0得 r=4,故展开式的常数项为 C84=70,故答案：为 70. 考点：二项展开式 点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题 解答题 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， cos （ 1）求 cosB的值； （ 2）若 ， b 2 ，求 a和 c的值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解： (1) cos ， sin ， 2分 cosB 1-2sin2 . 5分 (2)
13、由 可得 a c cosB 2，又 cosB ，故 ac 6， 6分 由 b2 a2 c2-2accosB可得 a2 c2 12， 8分 (a-c)2 0，故 a c， a c 10分 考点：解三角形 点评：解决的关键是根据诱导公式以及二倍角公式和向量的数量积结合余弦定理来求解，属于中档题。 设函数 （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）若当 x -2， 2时，不等式 f（ x） m恒成立，求实数 m的取值范围 答案： (1) 为增区间， 为减区间 (2) m 0 试题分析：解：（ 1） - 2分 令 的增区间， 的减区间 . 6分 （ 2） x -2， 2时，不等式 f（ x） m恒成
14、立 等价于 m, 8分 令： x=0和 x=-2,由（ 1）知 x=-2是极大值点， x=0为极小值点 , m 0 12分 考点：导数的运用 点评：解决的关键是根据导数的符号判定函数的单调性，以及函数的极值，来得到求解，属于基础题。 如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩 形， 平面 ， , 为 上的点，若 平面 （ 1）求证： 为 的中点； （ 2）求二面角 的大小 答案：（ 1）由 PD 平面 MAB， 平面 MAB，则 PD MA，同时 PA=AD，进而得到证明。 （ 2） 120 试题分析：解：（ 1）由 PD 平面 MAB， 平面 MAB，则 PD MA 2分 又 PA=AD，则 APM
15、 AMD，因而 PM=DM，即 M为 PD的中点； 5分 （ 2）以 A原点，以 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系， 则 A(0， 0， 0)， B(1， 0， 0)， C(1， 2， 0)， D(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， M(0， 1， 1)， 由（ 1）知 =(0， -1， 1)为平面 MAB的法向量， 7分 设平面 MBC的法向量 =(x， y， z)， =(1， 1， -1)， = (0， 2， 0)， =0， =0，即 ，令 x=z=1，则 =(1， 0， 1)， 10分 ， 11分 而二面角 A BM C为钝角，因而其大小为 120 12分
16、考点：二面角的平面角以及线线垂 直的运用 点评：解决的关键是利用空间向量结合向量的数量积来表示角的大小，属于基础题。 某单位为了提高员工素质，举办了一场跳绳比赛，其中男员工 12人，女员工 18人，其成绩编成如图所示的茎叶图（单位：分），分数在 175分以上（含 175分）者定为 “运动健将 ”，并给予特别奖励，其他人员则给予 “运动积极分子 ”称号 . （ 1）若用分层抽样的方法从 “运动健将 ”和 “运动积极分子 ”中抽取 10人，然后再从这10人中选 4人，求至少有 1人是 “运动健将 ”的概率 ； （ 2）若从所有 “运动健将 ”中选 3名代表，求所选代表中女 “运动健将 ”恰有 2人
17、的概率 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1）根据茎叶图，有 “运动健将 ”12人， “运动积极分子 ”18人 2分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为，所以选中的运动健将有 运动积极分子有 5分 设事件 ：至少有 1名 运动健将 被选中，则 （ 2）由茎叶图知男 “运动健将有 ”8人，女 “运动健将 ”有 4人， 10分 设事件 ：所选代表中女 “运动健将 ”恰有 2人 12分 考点：古典概型 点评：主要是分析茎叶图和古典概型的运用，属于基础题。 抛物线 的准线与 轴交于，焦点为 ，若椭圆 以、 为焦点、且离心率为 （ 1）当 时 ,求椭圆 的方程； （ 2）若抛物线与直线
18、 及 轴所围成的图形的面积为 ，求抛物线和直线 的方程 答案： (1) (2) 抛物线方程为 ，直线方程为 试题分析：解：（ 1）当 时，抛物线 的准线为 ， 则 ， 2分 设椭圆 ，则 ，离心率 4分 故 ，此时椭圆 的方程为 6分 （ 2）由 消 得： ，解得 8分 故所围成的图形的面积 10分 解得： ，又 ， ， 所以：抛物线方程为 ，直线方程为 12分 考点：圆锥曲线方程和性质的运用 点评：解决的关键是熟悉圆锥曲线方程和性质，以及利用定积分表示曲边梯形面积的运用，属于中档题。 已知函数（ 为常数， 是自然对数的底数）是实数集 上的奇函数 （ 1）求 的值； （ 2）试讨论函数 的零点
19、的个数 答案：（ 1） a=0 (2) 当 时，方程无解函数 没有零点； 当 时，方程有一个根函数 有 1个零点 当 时，方程有两个根函数 有 2个零点 试题分析：解：（ 1） 是奇函数，则 恒成立 即 -4分 （ 2）由（ 1）知 讨论函数 的零点的个数 ,即讨论方程根的个数 . 6分 令 ， ， 当 上为增函数； 当 上为减函数， 当 时， 而 ， 8分 、 在同一坐标系的大致图象如图所示， 当 时，方程无解函数 没有零点； 10分 当 时，方程有一个根函数 有 1个零点 11分 当 时，方程有两个根函数 有 2个零点 12分 考点：函数零点和奇偶性 点评：解决的关键是根据函数奇偶性以及函数零点的概念来求解运用，属于基础题。
