1、2012-2013学年浙江杭州西湖高级中学高二 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若直线 经过原点和点 A（ -2， -2），则它的斜率为 A -1 B 1 C 1或 -1 D 0 答案： B. 试题分析：由斜率公式可得 . 考点：直线的斜率公式 . 点评：直线的斜率公式：已知 ,则 AB的斜率为 . 点 在圆 内，则直线 和已知圆的公共点个数为 A 0 B 1 C 2 D不能确定 答案： A. 试题分析：因为点 P在圆内，所以 .由圆心到直线 的距离 , 所以直线 和已知圆相离，所以直线 和已知圆的公共点个数为 0. 考点：点圆，线圆位置关系的判断方法 . 点评：解本小题先根据
2、点 P在圆内，得到 ,再根据直线与圆位置关系的判断方法， 求出圆心到直线的距离 ,从而得到直线与圆相离，所以没有公共点 . 给出下列命题 过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B. 试题分析： 过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，所以此命题错 . 因为过直线外一点只能做一条直线与已知直线平行，那么经过此直线有无数个平面与已知直线平行，因而此命题错 . 过直线外一点可能做一个平面与已知直
3、线垂直，所以经过这个点有无数条直线与已知直线垂直 . 过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 ,所以此命题正确 . 因而正确的命题只有一个 . 考点：线面平行与垂直的判定 . 点评：只有掌握好定理，再具有较强的空间想象能力，才能解决此类问题，别无它法 . 在右图的正方体中， M、 N分别为棱 BC和棱 CC1的中点 ，则异面直线 AC和 MN所成的角为 A 30 B 45 C 90 D 60 答案： D. 试题分析：连接 BC1， AD1，因为 MN/BC1/AD1,所以 就是异面直线 AC和 MN所成的角， 因为 为等边三角形，所以 . 考点：异面直线所成的角 . 点评：找异面直线所成的
4、角：一是选点，二是平移，三是转化为相交直线所成的角 .本小题汲及到中点，联想到中位线，所以连接 AD1，就可找出 就是异面直线 AC和 MN所成的角 . 已知圆心为 C（ 6， 5），且过点 B（ 3， 6）的圆的方程为 A B C D 答案： A. 试题分析：因为圆心为 C（ 6， 5） ,所以所求圆的方程为 ,因为此圆过点 B（ 3， 6）， 所以 ,所以 ，因而所求圆的方程为. 考点：圆的标准方程 . 点评：在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为 ,然后根据圆过点 B（ 3， 6）， 代入方程可求出 r的值，得到圆的方程 . 如果 AC 0， BC 0，那么直线 Ax+By+C=0不通过
5、A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： C. 试题分析：把直线方程化成斜截式方程为 ,因为 AC 0， BC 0,所以 ,直线的斜率 ,所以直线经过一、二、四象 限，不通过第三象限 . 考点：直线方程的斜截式与一般式的互化 . 点评：判断直线经过哪些象限，不经过哪些象限，一般要把直线方程化成斜截式，然后根据斜率的值的正负，和在 y轴上截距的正负，判断出直线经过哪些象限 . 已知 A（ 1， 0， 2）， B（ 1， 1），点 M在 轴上且到 A、 B两点的距离相等，则 M点坐标为 A（ ， 0， 0） B（ 0， ， 0） C（ 0， 0， ） D（ 0， 0， 3） 答案：
6、C. 试题分析：设 M的坐标为 (0,0,z),因为 M在 轴上且到 A、 B两点的距离相等 , 所以 ,所以 z=-3,所以点 M的坐标为 (0,0,-3). 考点：空间两点间的距离公式 . 点评：在 M在 z轴上其横坐标，纵坐标都为零，设 M的坐标为 (0,0,z),因而再根据空间两点间的距离公式建立关于 z的方程求出 z的值得到点 M的坐标 . 经过两点（ 3， 9）、（ -1， 1）的直线在 x轴上的截距为 A B C D 2 答案： A. 试题分析：直线 l的斜率为 所以所求直线方程为 ， 令 y=0,则 ,所以此直线在 x轴上的截距为 . 考点：求直线方程，直线在坐标轴上的截距 .
7、 点评：一定要搞清楚截距不是距离，在 x轴上的截距就是直线与 x轴交点的横坐标 . 如图 、 、 、 为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为 A三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 D三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 答案： C. 试题分析：由三视图与几何体之间的对应关系可知（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）依次为三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 . 考点：空间几何体的三视图 . 点评：掌握常见几何体的三视图是解决这类小题的关键，平时要多画柱、锥、台体的三视图，提高自己的空间想象能力 . 各棱长均为 的三棱锥的表面积为 A B C
8、 D 答案： D. 试题分析：此三棱锥为正四面体，所以其表面积 . 考点：正四面体的性质，及表面积 . 点评：因为各棱长相等，所以此四面体是正四面体，各面都为正三角形 . 填空题 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 2，则侧棱与底面所成角的大小为 . 答案： . 试题分析：设侧棱与底面所成的角为 ,则 . 考点：正四棱锥的性质，斜线与平面所成的角 . 点评：根据正四棱锥的定义，顶点在底面的射影是底面正方形的中心，因而线面角就很容易找到 . 已知两条不同直线 、 ，两个不同平面 、 ，给出下列命题： 若 垂直于 内的两条相交直线，则 ； 若 ，则 平行于 内的所有直线； 若 ， 且 ，则 ； 若 ，
9、 ，则 ； 若 ， 且 ，则 ； 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上） 答案： . 试题分析： 由直线与平面垂直的判定定理可知此命题正确； 错，直线 l与平面内的直线也可能异面 . 一个平面内的一条直线垂直另一个平面的一条直线，两个平面不一定垂直，故错 . 若 ， ，则 ，符合面面垂直的判定定理，故正确； m与 l也可能异面，故错 . 所以正确命题的序号为 . 考点：线面垂直，面面垂直的判定与性质，两条直线的位置关系 . 点评：掌握线面垂直，面面垂直的判定与性质是判定线面，面面垂直关系的前提，在研究空间两条直线的位置关系时，要从相交，平行，异面三种情况来考虑 . 一个圆柱和一
10、个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 答案： . 试题分析：设球的半径为 r,则, 所以 . 考点：圆柱，圆锥，球的体积公式 . 点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为 . 过点（ 1， 2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程 答案： y=2x或 x+y-3=0. 试题分析：（ 1）截距相等为零时，直线过原点，直线方程为 y=2x. (2)截距相等不为零时，设直线方程为 x+y=a,因为它过点（ 1， 2），所以 a=3,所以直线方程为 x+y-3=0. 所以所求直线方程为 y=2x或 x+y-3=0 考点：求直线方程，直线方程的截距式 . 点评：截距
11、相等的直线方程包括两类直线：一是过原点，截距都为零；二是截距相等都为零，此时直线的斜率为 -1.还要注意截距相等与截距的绝对值相等的区别 . 经过两圆 和 的交点的直线方程 答案： . 试题分析：将两圆方程减减得 所以所求直线方程为. 考点：求两圆公共弦所成直线的方程 . 点评：两圆相交时，公共弦所成直线方程可通过两圆的方程作差得到关于 x,y的二元一次方程即为公共弦所成直线的方程 . 已知原点 O（ 0， 0），则点 O到直线 x+y+2=0的距离等于 答案： . 试题分析：由点到直线的距离公式知 . 考点：点到直线的距离 . 点评： P ,则点 P到直线 l的距离为：. 解答题 （本大题
12、10分）求经过直线 L1： 3x + 4y 5 = 0与直线 L2： 2x 3y + 8 = 0的交点 M，且满足下列条件的直线方程 （ 1）与直线 2x + y + 5 = 0平行 ； （ 2）与直线 2x + y + 5 = 0垂直； 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：先通过两直线方程联立解方程组求出交点坐标 .（ 1）根据两直线平行，斜率相等，设出所求直线方程，将交点坐标代入即可求出平行直线的方程 . （ 2）根据两直线垂直，斜率之积等于 -1,设出所求直线的斜截式方程，然后将交点坐标代入所求直线的方程，即可得解 . 解得 -2分 所以交点（ -1， 2） （ 1） -4分 直线
13、方程为 -6分 （ 2） -8分 直线方程为 -10分 . 考点：两直线平行与垂直的判定 . 点评：两直线平行：斜率都不存在或斜率相等 .两直线垂直：斜率之积等于 -1或一条直线的斜率不存在，另一条斜率等于 0. （本大题 10分）求圆心在 上，与 轴相切，且被直线截得弦长为 的圆的方程 答案： 或 。 试题分析：根据圆心在 上，可设圆心坐标为（ ） ,再根据它与轴相切 ,得 . 圆心到直线的距离等于 ,根据弦长公式可得 ,从而求出 a的值，写出圆的标准方程 . 由已知设圆心为（ ） -1分 与 轴相切则 -2分 圆心到直线的距离 -3分 弦长为 得： -6分 解得 -7分 圆心为（ 1， 3
14、）或（ -1， -3）， -8分 圆的方程为 -9分 或 -10. 考点：圆的标准方程 . 点评：解本小题要利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式： 点到直线的距离公式： 则 . 圆的弦长公式：弦长 . （本大题 12分）如图，在棱长为 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F、 G分别是 CB、 CD、 CC1的中点 （ 1）求直线 C与平面 ABCD所成角的正弦的值； （ 2）求证：平面 A B1D1 平面 EFG； （ 3）求证：平面 AA1C 面 EFG 答案：（ 1） ； （ 2）见；（ 3）见。 试题分析： (1)因为 平面 ABCD,所以 为 与平面 ABCD所成角 ,
15、然后解三角形求出此角即可 . （ 2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面 A B1D1内两条相交直线和 分别平行于平面 EFG即可 .在证明线面平行时又转化为证明线线平行 . (3)易证： BD 平面 AA1C，再证明 EF/BD，因而可证出平面 AA1C 面 EFG. （ 1） 平面 ABCD=C，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 平面 ABCD AC为 在平面 ABCD的射影 为 与平面 ABCD所成角 .2 分 正方体的棱长为 AC= ， = .4 分 （ 2）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 连接 BD， ， = 为平行四边形 E， F分别为 BC， CD的中点 EF B
16、D EF 3 分 EF 平面 GEF， 平面 GEF 平面 GEF 7 分 同理 平面 GEF = 平面 A B1D1 平面 EFG 9 分 （ 3）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 平面 ABCD EF 平面 ABCD EF 10 分 ABCD为正方形 AC BD EF BD AC EF .11 分 EF 平面 AA1C EF 平面 EFG 平面 AA1C 面 EFG .12 分 . 考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定 . 点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影 .面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂
17、直（平行）再转化为线线垂直（平行） . (本题 15分 )如图， AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， BAC 30，BM AC交 AC 于点 M， EA 平面 ABC， FC/EA， AC 4， EA 3， FC 1 （ I）证明： EM BF； （ II）求平面 BEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 答案：（ 1）见；（ 2） 试题分析：（ 1）本小题易建立空间直角坐标系，易于用向量法求解，建系后可求出点 E， M， B， F的坐标，然后利用 证明即可 . （ 2）由于 EA垂直 平面 ABC，所以 可做为平面 ABC的法向量，然后再求出平面 BEF的法向量 设二面角为
18、求解即可 . （ 1） 如图，以 为坐标原点，垂直于 、 、 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系由已知条件得 ， 由 ， 得 ， 6 分 （ 2）由（ 1）知 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 令 得 ， ， 由已知 平面 ，所以取面 的法向量为 ， 设平面 与平面 所成的锐二面角为 ， 则 ， 平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 . 考点：利用空间向量法证明异面直线垂直，求二面角 . 点评：利用空间向量法证明两直线垂直，就是证明两直线的方向向量的数量积为零即可 . 在利用向量法求二面角时，要先求（或找）出两个面的法向量，然后求法向量的夹角即可 . 还要注意法向量的夹角可能与二面角相等也可能互补，要注意从图形上观察 .
