1、2012-2013学年湖北武汉部分重点中学高二上期中考试理数学试卷与答案（带解析） 选择题 某超市有四类商品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40种、 10 种、 30种、 20种，现从中抽取一个容量为 20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ） A 10 B 8 C 7 D 6 答案： D 试题分析：根据题意，应抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是. 考点：本小题主要考查分层抽样的实施 . 点评：分层抽样在高考中一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大，注意分层抽样是按比例抽样，找清楚比例即可 . 若圆 上有且只有两
2、个点到直线 的距离等于1，则半径 的取值范围是（ ） A B (4,6) C D 答案： B 试题分析：圆 的圆心 到直线 的距离为，又因为圆上只有两个点到直线的距离等于 1，所以考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用，考查学生数形结合解决问题的能力 . 点评：在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，不要单纯依靠代数计算，这样既 简单又不容易出错 . 是圆 ： 内一点，过 被圆截得的弦最短的直线方程是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： 化成标准方程为 ，所以圆心为 ，半径为 ，当 所在的弦与 垂直时，弦长最短，而，所以 所在的弦的斜率为
3、，所以直线方程为 ，即 . 考点：本小题主要考查直线与圆相交时弦的性质和两直线垂直时斜率的关系以及点斜式方程的求法，考查学生数形结合思想的运用 . 点评：直线与圆相交的问题，要借助图形数形结合来解决，可以简化运算 . 把正方形 沿对角线 折起 ,当以 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 和平面 所成的角的大小为（ ） A 90 B 30 C 60 D 45 答案： D 试题分析：当平面 垂直于平面 时，以 四点为顶点的三棱锥体积最大，此时找 的重点 ，连接 ，易证 ,所以 平面,所以 ,所以 为直线 和平面 所成的角，所以考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力 .
4、点评：求直线与平面所成的角，关键是先作出角，再证明作出的角是要求的线面角，最后才是求角的大小 . 圆 : 与圆 公切线的条数是（ ） A 0条 B 1条 C 2条 D 3条 答案： C 试题分析： 的圆心为 ；的圆心为 ，所以，所以两圆相交，所以两圆公切线的条数为 2条 . 考点：本小题主要考查圆与圆的位置关系的判断 . 点评：判断圆与圆的位置关系主要是判断圆心距与半径的和与差之间的关系，而不要联立方程组，那样运算量太大 . 正方体 ，棱长为 ，点 到截面 的距离为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：易知 为边长 的正三角形，面积为 ， 而 ,根据等体积法可知点 到截面 的距离为考
5、点：本小题主要考查点到平面的距离的求法 ,考查学生的运算求解能力 . 点评：其点到平面的距离时， “等体积法 ”是常用的一种方法 . 如右图所示，正三棱锥 中， 分别是 的中点，为 上任意一点，则直线 与 所成的角的大小是（ ） A B C D随 点的变化而变化。 答案： A 试题分析：连接 因为三棱锥 为正三棱锥， 分别是 的中点，所以 ,因为 ,所以 平面，因为 ,所以 平面 ，因为 平面 ,所以 ,所以直线 与 所成的角的大小是 考点：本小题主要考查线性平行、线面垂直、线线垂直的判定及应用，考查学生的空间想象能力和推理论证能力 . 点评：线线、线面、面面之间的平行和垂直是高考的重点内容，
6、要仔细分析，灵活转化应用 . 把 289化为四进制数的末位为（ ） A 1 B 2 C 3 D 0 答案： A 试题分析： ， ， ， ，所以转化为四进制为 ，所以末位为 . 考点：本小题主要考查四进制数与十进制数之间的转化 . 点评：十进制数向几进制数转化，就采用 “除几取余 ”法 . 下列说法不正确的是（ ） A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 . C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； D存在两条异面直线 ，使得 ； 答案： B 试题分析：以课本的轴和每页书为例可知，过一条直线可以有无数
7、个平面与已知平面垂直 . 考点：本小题主要考查空间中线线、线面的位置关系，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力 . 点评：空间中的线面关系常以选择题的形式考查，解决这类问题时要注意用手中的笔当直线，本子就是平面，更要注意特 殊情况 . 在 2011年十四中 “校园十佳歌手 ”大赛中，七位评委为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A 92， 2 B 93， 2 C 92， 2.8 D 93， 2.8 答案： C 试题分析：去掉一个最高分 95分，去掉一个最低分 89分， 所剩数据的平均值为 方差为 考
8、点：本小题主要考查平均值和方差的求法，考查学生的运算求解能力 . 点评：求平均值和方差，直接代入数据求解即可 . 填空题 已知曲线 的方程是 ，曲线 的方程是 ，给出下列结论： 曲线 恒过定点 ； 曲线 的图形是一个圆； 时， 与 有一个公共点； 若 时，则 与 必无公共点。 其中正确结论的序号是 _。 答案： 试题分析：曲线 的方程 可化为 ，所以恒过定点 ，所以 正确；曲线 的方程 通过移项、平方可以化成 ，但此时 ，所以表示的不是一个完整的圆，二是一个半圆，所以 错误；半圆圆心到直线的距离等于半径时， ，结合图象可知，当 时，直线与 半圆相交或相切，所以有一个公共点，所以 正确； 时，直
9、线与半圆相离，所以 与 必无公共点，所以 正确 . 考点：本小题主要考查含参数的直线过定点与直线和圆（半圆）的位置关系问题，考查了学生数形结合解决问题的能力和思维的严密性 . 点评：含参数的直线方程过定点要灵活应用，化简方程时，要注意化简的等价性，比如本题中的曲线 表示的是一个半圆而不是一个完整的圆 . 由曲线 围成的图形的面积为 _。翰林汇 答案： 试题分析：当 时，曲线 表示的图形为 以 为圆心，以 为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为 ，根据对称性，可知由曲线 围成的图形的面积为 考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力 . 点评：解
10、决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题 . 正四棱柱 中 , 则 与平面 所成角的正弦值为 _ 。 答案： 试题分析：连接 ,则 为 与平面 所成角，在 中，考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力与运算求解能力 . 点评：求直线与平面所成的角，一般分为两大步：（ 1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完 成；（ 2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解 . 为了在运行下面的程序之后得到输出结果为 16，键盘输入 x应该是 。 INPUT x IF x0 THEN y=(x+1)*(x
11、+1) ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END 答案：或 -5 试题分析：根据程序可知，如果输入的 ，则 ，解得 ；同理可求如果输入的 ，则 . 考点：本小题主要考查对用算法语句描写的程序的理解和应用 . 点评：解决算法语句有三个步骤，首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题 . 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 1000名年龄为 17.5岁 18岁的男生体重 (kg),得到频率分布直方图如下右：根据下右图可得这 1000名学生中体重在 的学生人数是 _ 。答案： 试题分析：由图可知，这
12、 1000名学生中体重在 的学生人数是考点：本小题主要考查频率分布直方图的理解和应用，考查学生读图识图用图的能力 . 点评：在频率分别直方图中，纵轴表示的 是频率 /组距，而不是频率，这点要特别注意 . 解答题 (本小题满分 12 分 )为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了 14 天，统计每天上午 8 00 12 00间各自的车流量（单位：百辆），得如图所示的统计图，试求： （ 1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？ （ 2）甲交通站的车流量在 间的频率是多少？ （ 3）根据该茎叶图结合所学统计知识分析甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由 . 答案： (1)甲： （白辆）乙
13、： （白辆） (2) (3)甲，理由见 试题分析：（ 1）甲交通站车流量的极差为 （百辆）， 2 分 乙交通站车流量的极差为 (百辆） 4 分 （ 2）甲交通站的车流量在 间的频率为 . 8 分 （ 3）甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方，而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲交通站更繁忙 . 12 分 考点：本小题主要考查了茎叶图在统计中的应用及对极差、频率等概念的理解，考查了读图和识图能力 . 点评：解决此类问题关键是弄清图表中有关量的含义，掌握好统计的基础知识 . (本小题满分 12分 )如图，已知平面 ，是垂足 （ ）求证： 平面 ； （ ）若 ，求证： 答 案
14、：（ ）见（ ）见 试题分析：（ ）因为 ，所以 同理 又 ， 故 平面 . 4 分 （ ）设 与平面 的交点为 ，连结 、 因为 平面 ，所以 ， 所以 是二面角 的平面角 又 ， 所以 ，即 在平面四边形 中， ， 所以 故平面 平面 12 分 考点：本小题主要考查线面垂直和面面垂直的证明，考查了学生的空间想象能力和推理论证能力和划归思想的运用 . 点评：垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点也是重点 .而灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的平行与垂直关系是证明的关键 . (本小题满分 12分 )为了了解某市居民的用水量，通过抽样获得了 100位居民的
15、月均用水量下图是调查结果的频率直方图 . （ 1）估计该样本的平均数和中位数；（结果精确到 0.01）； （ 2）由（ 1）中结果估算该市 12万居民的月均用水总量。 答案： (1)平均数 ，中位数 ； (2) 或 试题分析：（ 1）平均数为. 4 分 因为 , 所以中位数为 . 8 分 （ 2）若以样本平均数来估算 12万居民的月均用水总量：, 若以样本中位数来估算： （两者求出其一即可） . 12 分 考点：本小题主要考查频率分布直方图的性质和应用及中位数、平均数的概念和用样本估计总体的应用，考查了学生利用频率分布直方图解决实际问题的能力 . 点评：频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率
16、分布，从这个直方图中可以求出样本数据在各个组的频率分布 .根据频率分布直方图估计样本（或者总体）的平均值时，一般是采用组中值乘以各组的频率的方法 . (本小题满分 13 分 )已知以点 为圆心的圆与 轴交于点 、,与 轴交于点 、 ,其中 为原点 . （ 1）求证： 的面积为定值； （ 2）设直线 与圆 交于点 、 , 若 ，求圆 的方程 . 答案：（ 1）见（ 2） 试题分析： （ 1）证明：由题设知，圆 的方程为 , 化简得： ,当 时， 或 ，则 ； 当 时 , 或 ,则 , 为定值 . 6 分 （ 2）因为 ，所以原点 在 的中垂线上， 设 的中点为 ，则 , 、 、 三点共线， 则直
17、线 的斜率 或 . 圆心为 或 ， 圆 的方程为 或 ， 由于当圆方程为 时，直线 到圆心的距离 ，此时不满足直线与圆相交，故舍去， 圆 的方程为 . 13分 考点：本小题主要考查圆的标准方程、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，考查学生数形结合数学思想的应用和运算求解能力 . 点评 :解决此类问题时，要注意数形结合数学思想的应用 . (本小题满分 14分 )如图所示，已知以点 为圆心的圆与直线相切 .过点 的动直线 与圆 相交于 ， 两点， 是的中点，直线 与 相交于点 . （ 1）求圆 的方程 ; （ 2）当 时，求直线 的方程 . （ 3） 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说
18、明理由 . 答案：（ 1） （ 2） 或 （ 3）是定值，为 ，理由见 试题分析： (1)设圆 的半径为 . 因为圆 与直线 相切 , . 所以圆 的方程为 . 4 分 （ 2）当直线 与 轴垂直时，易知 符合题意； 5 分 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， . 由 ，得 . 直线 的方程为 . 所求直线 的方程为 或 . 9 分 （ 3） . = . 当直线 与 轴垂直时，得 ，则 又 , . 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 . 由 解得 . . . 综上所述， 是定值，且 . 14 分 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系、弦长公式的应用以及平面向量的运算，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力以及思维的严密性 . 点评：本小题的易错点在于设直线方程时，忘记考虑斜率不存在的情况，所以做题时思路一定要严谨 ,步骤一定要规范 .
