1、20122013 学年江苏省海安县实验中学高二下学期期中考试数学理科试卷与答案（带解析） 填空题 参数方程 (0t5)表示的曲线（形状）是 答案：线段 试题分析：消去 t2得， x-2=3(y-1)是直线，又由 0t5,得 2x77,故为线段。 考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化，方程的曲线。 点评：简单题，将参数方程化为普通方程，注意变量的范围。 如图，一环形花坛分成 共五块，现有 4种不同的花供选种，要求在每块里种 1种花，且相邻的 2块种不同的花，则不同的种法总数为 答案： 试题分析：先在 A处种一种后，与 A相邻的 B只有三种选择， B确定后 C可分两类，若 C与 A同，则 D
2、有三种选择， E有两种， 若 C与 A不同，则 C有两种选择， D若与 A同，则 E有三种选择， D若与 A不同则 D有两种选择， E有二种选择， 故所有的种法种数为 43（ 132+2（ 13+22） =240，答案：为 240种。 考点：本题主要考查分类分步计数原理的应用。 点评：中档题，利用分类讨论思想，将事件的完成分类，并按顺序分步计算。本题有一定难度，使用的不错的应用题。 设正四面体的四个顶点是 各棱长均为 1米，有一个小虫 从点 开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条 棱的尽头，则它爬了 米之后恰好再次位于顶点 的概率是 （结果用分
3、数表示） 答案： 试题分析：小虫从 A出发，一共分第 5步走，可以确定下来是小虫最后一步必须回到 A，那么第四步就不能是走回 A，所以第三步成为关键， 分两种情况， 回到 A点， 不回 A点。 在 情况下，小虫第一步有 3种选择，第三步为了回到 A，则第二步只能有 2种选择，到第四步时，因为从 A出发，又有 3种选择，所以此时共32131=18种可能。 在 情 况下，第二步的走法又分为 回 A点或者 不回 A点的情况。 因此在 情况下，共 31321=18种可能， 在 情况下，共 32221=24种可能。 所以，第五步回到 A总共有 18+18+24=60种可能。 而小虫总共有 33333=2
4、43种选择， 故它爬了 米之后恰好再次位于顶点 的概率是 。 考点：本题主要考查等可能性事件的概率计算。 点评：中档题，利用分类分步计数原理，计算完成事件的方法数，是正确解题的关键。 直线 = 与直线 l关于 直线 = ( R)对称，则 l的极坐标方程是 . 答案： = 试题分析：直线 = 是一三象限的角平分线，则所求直线就是原来直线关于y=x的对称直线，即 = 。 考点：本题主要考查直线的极坐标方程，直线的对称性。 点评：简单题，确定曲线关于直线 y=x的对称曲线方程，即原方程中 x， y位置交换。 二项式 (1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为 7，且二项式系数最大的一项的值为
5、 ，则 x在 (0， 2 )内的值为 _ 答案： 或 试题分析：因为二项式 (1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为 7，所以n+1=7， n=6；又 展开式二项式系数 最大的一项的值为 ，所以，即 ，故 x在 (0， 2 )内的值为 或 。 考点：本题主要考查二项式展开式通项公式，二项式系数的性质，正弦函数的性质。 点评：简单题，此类问题的解法，往往利用二项式展开式的通项公式，建立方程进一步求解。 满足 的最大自然数 n= 答案： 试题分析：令 ， 则 t=Cnn-1+2Cnn-2+3Cnn-3+ （ n-1） Cn1+nCnn， 两式两边分别相加得 2t=n2n， 故 n2n-1
6、 400 验证知，最大的 n是 6 故答案：为 6 考点：本题主要考查二项式定理的应用，组合数性质。 点评：简单题，此类问题的解法，往往是通过构造二项式，利用二项展开式加以探究。 设 M(1， 1)， N(2， 2)两点的极坐标同时满足下列关系： 1+2=0 ，1+2=0，则 M， N 两点 (位置关系 ) 关于 对称 . 答案：直线 = . 试题分析： 1+2=0表明，两射线关于极轴对称， 1+2=0则表明极径互为相反数，因此，其中一个点应在射线的反向延长线上，故 M， N 两点 (位置关系 ) 关于直线 = 对称。 考点：本题主要考查点的极坐标关系，极坐标的概念。 点评：简单题，从已知出发
7、，确定极径、极角之间的关系，利用数形结合思想，确定得到点的对称性。 若 ，且 n为奇数，则 被 8除所得的余数是 答案： 试题分析：因为 n为奇数，所以 = -1=-1 = -1=8（ M-1） +6， M为整数，即被 8除所得的余数是 6. 考点：本题主要考查二项式定理的应用。 点评：简单题，此类问题的解法，往往是通过构造二项式，利用二项展开式加以探究。 若 (x,y)与 (,)( R)分别是点 M的直角坐标和极坐标， t表示参数，则下列各组曲线： = 和 sin= ； = 和 tan= ； 2-9=0和 = 3； 和 . 其中表示相同曲线的组数为 . 答案： 试题分析：由于 ，所以由 si
8、n= 得， ，即 = 和sin= 表示不同曲线； 由于 ，所以由 tan= 得， ，所以 = 和 tan=表示相同曲线； 由 2-9=0得到 = 3，所以 2-9=0和 = 3表示相同曲线； 和 化为普通方程后均为 ，故表示相同曲线的组数为 3. 考点：本题主要考查常见曲线的极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化。 点评：简单题，极坐标方程中，注意极径、极角的范围限制。 的展开式中 x的系数是 . 答案： -2 试题分析： 故 的展开式中含 x的项为 ,所以 x的系数为 -2. 考点：本题主要考查二项式定理的应用。 点评：简单题，本解法将其中一个二项式展开，也可以均不展开，利用通项公式求解。
9、 设随机变量 X的分布为 ，则 的值为 答案： 试题分析：由随机变量分布列的性质得 ，所以， 的值为 。 考点：本题主要考查随机变量分布列的性质。 点评：简单题，随机变量分布列的性质： 。 若直线 （ 为参数）与直线 （ 为参数）垂直，则. 答案： -1 试题分析： 即 kx+2y-k-4=0； 即 2x+y-1=0.因为两直线垂直，所以 2k+2=0， k=-1. 考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直线垂直的条件。 点评：简单题，将参数方程化为普通方程，两直线垂直，则斜率之积为 -1。或一斜率为 0，另一直线无斜率。或用 。 把极坐标方程 =2sin( +)化为直角坐标方程为 .
10、答案： (x- )2+(y- )2=1 试题分析： =2sin( +)即 ，所以答案：为： (x- )2+(y- )2=1。 考点：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化。 点评：简单题，互化依据： 。 在 的展开式中， 项的系数是 （用数字作答） . 答案： 试题分析：由二项式定理知， 的展开式中，项的系数是 = =10. 考点：本题主要考查二项式展开式的通项公式，组合数的性质。 点评：简单题，这类问题解法有二，一是先求和化简，再求系数；二是，直接确定各二项式中 项的系数，求和化简。 解答题 规定 = ，其中 是正整数，且 =1，这是组合数 ( 是正整数，且 )的一种推广 (1)求 的值
11、； (2)设 ，当 为何值时， 取得最小值 (3)组合数的两个性质： = ； + = 是否都能推广到 ( 是正整数 )的情形 若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由 答案： (1) (2)当 时， 取得最小值 (3)性质 不能推广例如当 时， 有意义，但 无意义； 性质 能推广，其推广形式是： ， 是正整数， 试题分析： (1) 4分 (2) 当且仅当 时，取等号 当 时， 取得最小值 8分 (3)性质 不能推广例如当 时， 有意义，但 无意义； 性质 能推广，其推广形式是： ， 是正整数， 12分 事实上，当 时，有 ， 当 时， = = 15分 考点：本题主要考查组合数的
12、性质及其应用，归纳推理，均值定理的应用。 点评：中档题，本题由 3道小题组成，前两小题解题思路明确，利用组合数公式及其性质变形、计算，其中（ 2）在得到函数表达式的基础上，灵活运用均值定理求最值，具有一般性。（ 3）利用归纳推理，作出判断，利用组合数公式及其性质进行了证明，对复杂式子变形能力要求高。 有 6本不同的书，按照以下要求处理，各有多少种不同的分法？ （ 1）一堆一本，一堆两本，一堆三本； （ 2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （ 3）一人得一本，一人得二本，一人 得三本； （ 4）平均分给甲、乙、丙三人； （ 5）平均分成三堆 答案：（ 1） =60种 （ 2） =60 种 （ 3
13、） =360（种） （ 4）一共有 =90种方法 （ 5） （种）。 试题分析：（ 1）先在 6本书中任取一本作为一本一堆，有 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有 种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有 种取法，故共有分法 =60种 3分 （ 2）由（ 1）知分成三堆的方法有 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的 分法亦为 =60 种 6分 （ 3）由（ 1）知，分成三堆的方法有 种，但每一种分组方法又有 不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有=360（种） 9分 （ 4） 3个人一个一个地来取书，甲从 6本不同的书本
14、中任取出 2本的方法有种，甲不论用哪一种方法取得 2本书后，已再从余下的 4本书中取书有 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取 2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法， 所以一共有 =90种方法 12分 （ 5）把 6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人 2本的分法就应 种，由（ 4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人 2本的方法有 种 所以 ，则 （种） 15
15、分 考点：本题主要考查排列组合中的 “分组问题 ”。 点评：典型题，本题涵盖了所有情况下 “分组问题 ”，其解法具有较强的代表性，可作为 “经典 ”理解、掌握。要注意分组中的 “均匀不均匀 ”、 “编号不编号 ”等条件。 2012年 3月 2日，江苏卫视推出全新益智答题类节目一站到底，甲、乙两人报名参加一站到底面试的初试选拔，已知在备选的 10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其中的 8题规定每次抢答都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对 2题初试才能通过 （ ）求甲答对试题数 的概率分布及数学期望； （ ）求甲、乙两人至少有一人初试通过的概率 答案：（ ）分布列如下： 0 1 2
16、 3 P 甲答对试题数 的数学期望 E= （ ）甲、乙两人至少有一人通过的概率为 。 试题分析：（ ）依题意，甲答对试题数 的可能取值为 0、 1、 2、 3，则 其分布列如下： 0 1 2 3 P 6分 甲答对试题数 的数学期望 E= 8分 （ ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、 B，则 P(A)= = ， P(B)= 12分 因为事件 A、 B相互独立， 甲、乙两人均不通过的概率为 ， 甲、乙两人至少有一人通过的概率为 15分 考点：本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，相互独立事件的概率计算。 点评：典型题，作为概率的应用问题，有较好的实际背景。涉及概率计算问题，关键是理解好问题
17、的实质，运用简单排列组合知识计算事件数。相互独立事件的概率计算满足 = 。 已知 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的 2倍，而又等于它后一项系数的 （ ）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； （ ）求展开式中的有理项 答案：（ ）所有项的二项式系数和为 （ ）有理项为： ， ， 试题分析：根据题意，设该项为第 r+1项，则有 3分 即 亦即 解得 6分 （ ）令 x=1得展开式中所有项的系数和为 . 所有项的二项式系数和为 8分 （ ）展开式的通项为 于是当 r=0， 3， 6时，对应项为有理项， 11分 即有理项为： ， ， 14分 考点：本题主要考查二项式展开式的通项公
18、式，二项式系数的性质。 点评：典型题，本题全面考查二项式定理的相关内容，对组合数公式的应用及复杂式子的变形能力要求较高。 （ 1）在极坐标系中，已知圆 =2cos与直线 3cos+4sin+a=0相切，求实数 a的值 . （ 2）对 5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又 任取一只，最后乙再任取一只对于下列事件： A：甲正好取得两只配对手套； B：乙正好取得两只配对手套 .试判断事件 A与 B是否独立？并证明你的结论 答案：（ 1） ，或 . （ 2） ， A与 B是不独立的 试题分析： ，圆 =2cos的普通方程为： ，即直线 3cos+4sin+a=0的普通方程
19、为： ， 4分 又圆与直线相切，所以 解得： ，或 . 7分 （ 2）解： P（ A） = = ； = = 11分 P（ AB） = = , = ， 13分 ，故 A与 B是不独立的 15分 考点：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，相互独立事件的概念及其概率计算。 点评：中档题，本题综合性较强，覆盖面较广。考查知识点注重了基础。其中（ 1）化为直角坐标方程，利用几何法研究直线与圆相切问题，是常见方法。相互独立事件的概率满足 = 。 (1) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 为参数），M为 上的动点， P点满足 ，点 P的轨迹为曲线 已知在以 O 为极点
20、， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极点的交点为A，与 的异于极点的交点为 B，求 |AB| (2) 某旅游景点给游人准备了这样一个游戏，他制作了 “迷尼游戏板 ”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如 “等腰三角形 ”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第 1行 2个铁钉之间有 1个空隙，第 2行 3个铁钉之间有 2个空隙， ，第 8行 9个铁钉之间有 8个空隙 (如图所示 )东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次 (放入一球就算玩一次 )先付给庄家 2元若小球到达 号球槽，分别奖 4元、 2元、 0元、 -2元 (一个玻璃球的滚动方式：通过
21、第 1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的 概率滚入第 2行的左空隙或右空隙以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第 8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内 )恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有 80人次玩试用你学过的知识分析，这一小时内游戏庄家是赢是赔 通过计算，你得到什么启示 答案：（ 1） . (2) B(7， ) 一小时内有 80人次玩游戏庄家通常获纯利为 (2+)80=225(元 ) 答：庄家当然是赢家 !我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑 16分 试题分析：设 P(x， y)，则由条件 知 M( ).由于 M点在
22、 C1上，所以 即 从而 的参数方程为 （ 为参数） 4分 曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 射线 与 的交点 的极径为 ， 射线 与 的交点 的极径为 所以 . 8分 (2) 解：游人每玩一次，设游戏庄家获利为随机变量 (元 )；游人每放一球，小球落入球槽，相当于做 7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量 +1， 则 B(7， ) 10分 因为 P( =-4)=P( =0或 =7)=P( =0)+P( =7)= + = P( =-2)=P( =1或 =6)=P( =1)+P( =6)= + = P( =0)=P( =2或 =5)=P( =2)+P( =5
23、)= + = P( =2)=P( =3或 =4)=P( =3)+P( =4)= + = 2+E =2+(-4) +(-2) +0 +2 =2+ ， 14分 一小时内有 80人次玩游戏庄家通常获纯利为 (2+ )80=225(元 ) 答：庄家当然是赢家 !我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑 16分 考点：本题主要考查简单曲线的参数方程、极坐标方程，独立重复试验概率计算，随机变量的分布列及数学期望。 点评：综合题，本题综合考查简单曲线的参数方程、极坐标方程，独立重复试验概率计算，随机变量的分布列及数学期望。（ 2）作为应用问题，寓教于乐，令人生趣。对计算能力要求较高。
