1、2013-2014学年安徽合肥一六八中学高二上学期期中考试理数学卷（带解析） 选择题 直线 的倾斜角为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：直线的斜率 ，倾斜角为 ，即 ，因为 ，所以 考点：直线的斜率公式和倾斜角的取值范围。 在空间中 ,过点 作平面 的垂线 ,垂足为 ,记 .设 是两个不同的平面 ,对空间任意一点 , ,恒有 ,则（ ） A平面 与平面 垂直 B平面 与平面 所成的 (锐 )二面角为 C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的 (锐 )二面角为 答案： A 试题分析：令 , ,则 ，即, 。当平面 与平面 平行时， 与 重合，与 重合，因为 ,，所以 P点到两个面
2、的距离相等，与点 P的任意性相矛盾，故 C错。则 ，由分析知 ，所以这五点共面设为 ，设 ，则 三点共线， 三点共线， 即为 所成二面角的平面角，由点 P的任意性且恒有 ，可知三点重合，四边形 为矩形，所以 ，即 。故 A正确。 考点：面面的位置关系，二面角 直线 的倾斜角的取值范围是（ ） A B C D答案： B 试题分析： ，因为 ，所以 ，所以，即 ，因为 ，结合正切函数图象可知考点：由直线方程求斜率，斜率的定义及倾斜角范围 设四面体的六条棱的长分别为 1， 1， 1， 1， 和 ，且长为 的棱与长为的棱异面，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：取两种极限情况
3、，当以 为交线的两个面重合时， ；当以为交线的两个面所成二面角为 时，此时平面图形为边长为 1的正方形， a为对角线长 。所以 考点：数形结合 在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则异面直线 与 所成角的大小是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：连接 交 DN 于点 E，由题意知 ,所以,所以 ,即，所以 ;因为 ， ,所以；因为 ，所以 ,因为 ,所以 ，所以异面直线 与 所成角的是 考点：线面垂直的判定定理，异面直线所成角。 某四棱台的三视图如图所示 ,则该四棱台的体积是 ( ) A BC D 答案： B 试题分析：还原成立体图如图所示上底和下底是边长分别为 1和 2的正方形
4、。且 ， ,所以体积 考点：立体几何三视图和台体体积公式。 已知直线 与 垂直，则 是（ ） A 1或 3 B 1或 5 C 1或 4 D 1或 2 答案： C 试题分析：两直线垂直斜率相乘等于 或其中一条斜率为 0 另一条斜率不存在。所以可得 ，整理的 ，解得 或考点：两直线垂直问题 设 为直线 , 是两个不同的平面 ,下列命题中正确的是（ ） A若 , ,则 B若 , ,则 C若 , ,则 D若 , ,则 答案： B 试题分析： A错，如当 平行于 的交线时，满足 , ，但 相交；B正确，根据定理垂直于同一条直线的两个平面垂直； C错，因为 ，故在内存在一条直线 与 平行。因为 ， ，所以
5、 ，因为 ，所以 ； D错，还有可能 或 。 考点：线面的位置关系及判定 已知 是异面直线，直线 直线 ，那么 与 ( ) A一定是异面直线 B一定是相交直线 C不可能是平行直线 D不可能是相交直线 答案： C 试题分析： 与 可能异面，可能相交就是不可能平行。假设直线 直线 ，因为直线 直线 ，所以直线 直线 ，这与已知 是异面直线相矛盾，故假设不成立，即 与 不可能是平行直线 考点：空间两直线的位置关系 若两个球的表面积之比为 ,则这两个球的体积之比为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：球的面积之比等于半径比的平方，所以半径之比为 ，球的体积之比等于半径比的立方，所以体积之比为
6、考点：球的面积公式和体积公式 填空题 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 相邻的三个顶点到的距离分别为 1， 2和 4， 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 到平面的距离可能是： 3； 4； 5； 6； 7 以上结论正确的为 _。（写出所有正确结论的编号） 答案： 试题分析：线段 BD的中点到 的距离为 ，所以 C点到 的距离位，故 ； B点到 的距离 = 到 的距离 +B点 的距离 =4+1=5，故 正确； 到 的距离 = 到 的距离 +C到 的距离 =4+3=7，故 正确； 到的距离 = 到 的距离 +D到 的
7、距离 =4+2=6，故 正确。 考点：点到面的距离，线到面的距离 如图，在多面体 ABCDEF中，已知面 ABCD是边长为 3的正方形， EF/AB，EF= ， EF 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 _. 答案： 试题分析：如图，取 AB中点 N，取 CD中点 M， , ,所以 考点：割补法求多面体体积 已知正三棱锥 ，点 都在半径为 的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面 的距离为 _。 答案： 试题分析：设 PA=PB=PC= ，则 AB=AC=BC= ,设球半径为 R= ，所以 ，解得 。所以三角形 是边长为 的正三角形，中线长为 。设球心到面 的距离为 。因为球心在面 A
8、BC上的射影为三角形的中心，所以 ，所以 。 考点：怎样确定球心位置，点到面的距离 若点 位于曲线 与 所围成的封闭区域 , 则 的最小值为 _. 答案： -4 试题分析： 可行域如图，所以当目标函数直线 过点 A 时，取得最小值为 考点：线性规划问题 直线 与两坐标轴围成的三角形面积等于 _. 答案： 试题分析：令 ，则 ，令 ，则 ，所以 考点：求直线的横纵截距 解答题 已知直线 l： 3x-y 3 0，求： (1)过点 P(4,5)且与直线 l垂直的直线方程； (2)与直线 平行且距离等于 的直线方程。 答案： 试题分析： (1)两直线垂直斜率相乘等于 ，求出所求直线的斜率，再利用点斜式
9、求直线方程。（ 2）两直线平行，斜率相等，再用点斜式求其方程，法二，与直线 平行的直线可设为 ，根据题中条件求 ，本题给的是两平行直线的距离为 ，故可用平线线间的距离公式求 即可。 试题： (1)由 l： 3x-y 3 0可知，直线 斜率为 ，所以与 垂直的直线斜率为 ，又因为所求直线过点 P(4,5)，所以所求直线方程为，即 (2)设与直线 l： 3x-y 3 0平行的直线方程为 ，因为两平行线距离为 ，所以 ，解得 或 ，所以所求方程为考点：直线平行和垂直时斜率间的关系，两平行线间的距离公式 已知两定点 ， 为动点 （ 1）若 在 x轴上方，且 是等腰直角三角形，求 点坐标； （ 2）若直
10、线 的斜率乘积为 ，求 点坐标 满足的关系式。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）因为 是等腰直角三角形，没说哪个角为直角，所以需分三种情况讨论。当 时，点 C在线段 AB的中垂线上，即点 C横坐标为 0,所以可设点 C ，因为 在 x轴上方，所以 。，根据两直线垂直斜率相乘等于 ，求出 。当 时， ,且两直角边相等，即，所以 。当 时，即 ，且 ,所以 。（ 2）根据斜率公式列出方程，详见。 试题：（ 1）因为 是等腰直角三角形，当 时，设点 C 且，所以直线 AC 的斜率 ，直线 BC 的斜率，因为 ，所以 ，所以，因为 ，所以 ，此时点 。 当 时， ,且两直角边相等，即 ，所
11、以 。 当 时，即 ，且 ,所以 。综上可得点坐标为 或 或 （ 2）直线 AC 斜率为 ，直线 BC 斜率为，由题意可得 ，整理的考点：分类讨论思想，求轨迹问题 如图 , ( )求证 : ( )设 答案： ( ) ( )均详见 试题分析：根据线面垂直的判定定理，需在面 PAC内证出两条相交线都与 BC垂直，首先可根据线面垂直得线线垂直证出 ,再根据圆中直径所对的圆周角为直角，证出 , 因为 PA与 AC 相交于点 A，所以可以证得( )因为 ，延长 OG交 AC 与点 M,则 M为 AC中点， Q 为 PA中点，所以可得 ,根据内线外线平行即可证出,同理可证 ,因为 QM与 QO交与点 O，
12、所以可得,因为 QG在 内，所以 试题： ( )证明：由 AB是圆 O 的直径，得 AC BC. 由 PA 平面 ABC， BC 平面 ABC，得 PA BC, 又 PAAC=A,PA 平面 PAC， AC 平面 PAC, 所以 BC 平面 PAC. （ II）连 OG并延长交 AC 与 M，链接 QM， QO. 由 G为 AOC的重心，得 M为 AC 中点， 由 G为 PA中点，得 QM/PC.因为 ,所以 同理可得 因为 , , ,所以,因为 所以 QG/平面 PBC. 考点：线面垂直，线面平行，面面平行 如图 ,在四棱锥 中 , 面 ,为线段 上的点 . ( )证明 : 面 ; ( )若
13、 是 的中点 ,求 与 所成的角的正切值 ; ( )若 满足 面 ,求 的值 . 答案： ( )详见； ( ) ； ( ) 试题分析： ( )证 BD与面 PAC内的两条相交线 PA和 AC 都垂直，根据线面垂直可证 ，利用证角等于 的方法可证 ,详见。 ( ) 设,由 (1)知 ，所以 GO 为 GD在面 PAC 内的摄影，所以 即为所求，在直角三角形中利用三角函数即可求出。 ( )根据 ( )中条件可求出 ,在直角三角形中利用勾股定理求出 ,同理求出,根据已知 面 可得 ，根据两直角三角形用公共边可列出方程求解。 试题：证明 :( )由已知得三角形 是等腰三角形 ,且底角等于 30,且,所
14、以 ;、 ,又因为 ; ( )设 ,由 (1)知 ,连接 ,所以 与面 所成的角是 ,由已知及 (1)知 : , ,所以 与面所成的角的正切值是 ; ( )由已知得到 : ,因为,在 中 ,因为 面 , ,所以 ,设 考点：线面垂直，线面角 如图 ， BCD内接于直角梯形 ， A1D A2A3， A1A2 A2A3， A1D 10， A1A2 8，沿 BCD三边将 A1BD、 A2BC、 A3CD翻折上去，恰好形成一个三棱锥 ABCD，如图 . (1)求证： AB CD； (2)求直线 BD和平面 ACD所成的角的正切值； (3)求四面体 的体积。 答案： (1)详见； (2) ； (3) 试
15、题分析：（ 1）平面图中因为 A1D A2A3， A1A2 A2A3，所以，立体图中不变，即 ，可证得,就可证出 AB CD。（ 2）由（ 1）知 AB 平面 ACD.，所以AD即为 BD在面 ACD内的射影，所以 BDA即为所求。在直角三角形中利用三角函数可求其正切值。（ 3）由（ 1）知 ，所以可以选以面ADC 为底面，以 AB为高求其体积。 试题： (1)证明： 在直角梯形 A1A2A3D中， A1B A1D， A2B A2C， 在三棱锥 ABCD中， AB AD， AB AC. ACAD A， AB 平面 ACD. CD 平面 ACD， AB CD. (2)解：由 (1)知 AB 平面
16、 ACD， AD为 BD在平面 ACD内的射影， BDA是直线 BD和平面 ACD所成的角 依题意，在直角梯形 A1A2A3D中， A1D A3D 10， A1B A2B 4， 在三棱锥 ABCD中， AD 10， AB 4. 在 Rt ABD中， tan BDA . 直线 BD和平面 ACD所成的角的正切值为 . （ 3）由 (2)得 : 考点：线面垂直证线线垂直，线面角，多面体体积。 如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 上的一点， 是 的延长线与 的延长线的交点，且 平面。 (1)求证： ； (2)求二面角 的平面角的余弦值； (3)求点 到平面 的距离 答案：（ 1）详见；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）连接 交 于 ，由线面平行的性质定理可得， ,又 为 的中点， 中点。同理可得 为 的中点，再根据全等证 。（ 2）根据二面角的定义利用垂面法找到二面角，利用三角函数求出即可，详见； (3)因为 D是 的中点，所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离 ,再根据 求点到面的距离。 试题：（ 1）连接 交 于 , , ,又 为 的中点， 中点， 的中点 ,D为 的中点。 （ 2）由题意 ,过 A 作 ,连接 ，则 , 为二面角 的平面角。在 中，, 因为在三角形 中， 则,所以 (3)因为 ，所以 , , 在 中， 考点：线面平行，二面角，点到面的距离
