1、2013-2014学年山东省潍坊市重点中学高二下学期入学考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 数列 的通项公式是 ，若前 n项和为 10，则项数 n为 A 11 B 99 C 120 D 121 答案： C 试题分析： ,前 项和 解点 . 考点：数列求和 . 已知 是抛物线 上任意一点，则当 点到直线 的距离最小时， 点与该抛物线的准线的距离是 A 2 B 1 CD 答案： C 试题分析 :当直线 与抛物线相切于 点时，到直线 的距离最小，把 代入 得 ，由于相切 得 ，因此 ，此点到准线 的距离为 . 考点：直线和抛物线的综合问题 . 等比数列 中， ，且 ,则 的值为 A 6 B 12
2、C 18 D 24 答案： A 试题分析：由等比数列的性质得 ，. 考点：等比数列的性质 . 在等差数列 中，公差 ， ，则 等于 A 91 B 92 C 93 D 94 答案： C 试题分析：由题知 ， ， ，代入得 . 考点：等差数列的性质和前 项和公式 . 已知正六边形 ，在下列表达式 ； ； ； 中，等价的有 A 个 B 个 C 个 D 个 答案： D 试题分析：设正六边形的中心为 ， ， ， ， ，因此四个向量相等 . 考点：向量相等和加法法则 . 已知 F是抛物线 y2=x的焦点， A、 B是该抛物线上的两点， |AF|+|BF|=3，则线段 AB 的中点到 y轴的距离为 A. B
3、.1 C. D. 答案： C 试题分析：设 ， ， ，因此线段 的中点到 轴的距离为 . 考点：抛物线的性质 . 在命题 “若抛物线 的开口向下，则 ”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是 A都真 B都假 C否命题真 D逆否命题真 答案： D 试题分析：由于原命题中抛物线开口向下 ， 解一定有，因此原命题是真命题；根据原命题和逆否命题具有相同的真假性，因此逆命题为真命题 . 考点：四种命题的关系 . 设 Sn是等差数列 an的前 n项和，若 ，则 等于 A.1 B.-1 C.2 D 答案： 试题分析：由于 . 考点：等差数列的性质和前 项和公式 . 过抛物线 y 2=4x的焦点作直线，交抛
4、物线于 A(x1, y 1) ， B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么 |AB|= A 8 B 10 C 6 D 4 答案： A 试题分析：由于 ，因此 ，根据焦点弦公式. 考点：直线与抛物线相交求弦长 . 2x2-5x-3 0的一个必要不充分条件是 A - x 3 B - x 0 C -3 x D -1 x 6 答案： 试题分析：解不等式 得 ，由于是必要不充分条件，由得到 ，但由 不能得到 ，故选 考点：充分条件和必要条件 . 下列命题中正确的是 A当 B当 ， C当 ， 的最小值为 D当 无最大值 答案： B 试题分析：基本不等式使用时注意 “一正、二定、三相等 ”，选项
5、 的符号不确定，可正可负；选项 当且仅当 时取到等号，而 的最大值为 1；， 当且仅当 取到等号 . 考点：基本不等式的使用 . 函数 的定义域为 A B C D 答案： B 试题分析：使函数有意义满足 ，解得 . 考点：求函数的定义域 . 填空题 设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ，分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 的值为 答案： 试题分析：双曲线的渐近线方程 ，得 ，由于 ，由双曲线定义知 ，得 . 考点：双曲线的性质 . 命题 “ 不成立 ”是真命题，则实数 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：由于命题 “ 不成立 ”是真命题，所以 恒成立， 当 时， 时成立，当 时，
6、需满足 ，解得， 综上， . 考点：不等式恒成立的问题 . 已知 , 则不等式 的解集 答案： 试题分析：当 时， ，解得 ，因此 ；当时， 恒成立，综上 . 考点：不等式的解集 . 已知等比数列 an的各项均为不等于 1的正数，数列 bn满足 bn ln an， b3 18， b6 12，则数列 bn前 n项和的最大值为 _ 答案： 试题分析：由题知 为常数，所以 为等差数列 ， 解得 ， ，由于，因此最大值 . 考点：等差数列的性质和前 项和公式 . 解答题 已知 ，解关于 的不等式 答案： (1)当 时，原不等式的解集为 ,当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 试题分析
7、： (1)解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决； (2)把分式不等式转化成整式不等式，注意看清分子、分母的符号；（ 3）解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：一是二次项中若含有参数应讨论是小于 0，等于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式， 二是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式 与 0的关系，三是确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集；（ 4）讨论时注意找临界条件 . 试题：解：不等式 可化为 ， ，则原不等式可化为 故当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原
8、不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 考点：分类讨论解不等式 . 已知关于 x的一元二次方程 (m Z) mx2-4x 4 0, x2-4mx 4m2-4m-5 0，求方程 和 都有整数解的充要条件 . 答案： . 试题分析： (1)判定 是 的什么条件，需要从两方面去理解：一是由条件 能否推得 ；二是由条件 能否推得 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可以利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；（ 2)判断充要条件的方法：（ 1）定义法：直接判断若 则 、若 则 的真假；（ 2）等价法：利用 与
9、， 与 ， 与 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法；（ 3）利用集合间的包含关系判断：若 ，则是 的充分条件或 是 的必 要条件，若 ，则 是 的充要条件 . 试题：解：方程 有实根的充要条件是 解得 m 1. 方程 有实根的充要条件是 ， 解得 故 m=-1或 m=0或 m=1. 当 m=-1时， 方程无整数解 . 当 m=0时， 无整数解； 当 m=1时， 都有整数 .从而 都有整数解 m=1.反之， m=1 都有整数解 . 都有整数解的充要条件是 m=1 考点：充要条件的探索 . 抛物线的顶点在原点，它的准线过双 曲线的一个焦点，并与 双曲线的实轴垂直，已知抛物线与
10、双曲线的交点为 ，求抛物线的方程和双曲线的方程 . 答案： 试题分析： (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（ 2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此； (3)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值 . 试题：解：由题意可知，抛物线的焦点在 x轴，又由于过点 ， 所以可设其方程为 =2 所 以所求的抛物线方程
11、为 所以所求双曲线的一个焦点为（ 1， 0），所以 c=1， 设所求的双曲线方程为 而点 在双曲线上，所以 解得 所以所求的双曲线方程为 考点：双曲线和抛物线的方程 . 已知：等差数列 中， =14，前 10项和 . （ ）求 ； （ ）将 中的第 2 项，第 4 项， ，第 项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前 项和 . 答案： (1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用 ;(2)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用
12、，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（ 3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了 . 试题：解：（ ）由 由 （ ）设新数列为 ，由已知， 考点：（ 1）等差数列的通项公式；（ 2）等比数列的前 项和 . 在正方体 中，如图、分别是 ， CD的中点， （ 1）求证： ； （ 2）求 . 答案： (1)证明见 ;(2) . 试题分析： (1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算 .其中灵活建系是解题的关键 .(2)证明证线线垂直，只需
13、要证明直线的方向向量垂直；（ 3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值 ;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化 .同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备 . 试题： 解：建立如图所示的直角坐标系，（ 1）不妨设正方体的棱长为 1， 则 D（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， （ 0， 0， 1）， E（ 1， 1， ）， F（ 0， ， 0）， 则 （ 0， ， -1）， （ 1， 0， 0）， （ 0， 1， ）， 0， . （） （
14、 1， 1， 1）， C（ 0， 1， 0），故 （ 1， 0， 1）， （ -1， -， - ）， -1 0- - ， ， ， 则 cos . . 考点：利用空间向量证明线线垂直和求夹角 . 如图，已知椭圆 （ a b 0）的离心率 ，过点 A（ 0， -b）和B（ a， 0）的直线与原点的距离为 （ 1）求椭圆的方程 （ 2）已知定点 E（ -1， 0），若直线 y kx 2（ k0）与椭圆交于 C、 D两点问：是否存在 k的值，使以 CD为直径的圆过 E点 请说明理由 . 答案： (1） ；（ 2) . 试题分析：（ 1）设椭圆的方程，用待定系数法求出 的值；（ 2）解决直线和椭圆的综合
15、问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程 .第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程 .第 三步：求解判别式 ：计算一元二次方程根 .第四步：写出根与系数的关系 .第五步：根据题设条件求解问题中结论 . 试题：解：（ 1）直线 AB方程为： bx-ay-ab 0 依题意 解得 椭圆方程为 . （ 2）假若存在这样的 k值，由 得 设 ， 、 ， ，则 而 要使以 CD为直径的圆过点 E（ -1， 0），当且仅当 CE DE时，则，即 将 式代入 整理解得 经验证， ，使 成立 . 综上可知，存在 ，使得以 CD为直径的圆过点 E. 考点： (1)椭圆的标准方程；（ 2）直线与椭圆的综合问题 .
