1、2013-2014学年广东东莞南开实验学校高二上期中理数学卷（带解析） 选择题 在数列 中， 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：经观察知后一项是前两项的和，递推公式为： 考点：考察数列的特征 . 已知直线 交抛物线 于 、 两点，则 ( ) A为直角三角形 B为锐角三角形 C为钝角三角形 D前三种形状都有可能 答案： A 试题分析：因为直线 与抛物线 交于两点，联立得：，设 ， 所以 ， ， 因为 ， ，所以 ，即为直角三角形。 考点：直线与抛物线的关系，如何判断三角形的形状 . 不等式 的解集是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由 或 或 考点：不等式性质及对数
2、运算 . 设 ,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：由 , 又 , 故选 A 考点：不等式的性质及应用 . 与 ，两数的等比中项是（ ） A B C D答案： C 试题分析：设等比中项为 A,则 考点：等比中项定义 . 边长为 的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设中间角为 , 则 考点：解斜三角形，余弦定理 . 以椭圆 的顶点为顶点，离心率为 的双曲线方程（ ） A B C 或 D以上都不对 答案： C 试题分析：因为椭圆方程为 : 所以分两种情况讨论 . 当顶点为 时 , ， ， ，则双曲线方程为： ； 当顶点为
3、时 , ，则双曲线方程为： ；故选C 考点：圆锥曲线问题 ,椭圆与双曲线有共同顶点问题 . 一元二次不等式 的解集是 ，则 的值是（ ）。 A B C D 答案： D 试题分析：方程 的两个根为 , , , , , 故选 D 考点：一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系 . 填空题 已知 f(x)在（ 0,3）上单调递减，且 y=f(x+3)是偶函数，则不等式组所表示的平面区域的面积为 . 答案： 试题分析：因为 为偶函数 ,所以 则关于直线 对称， 所以 1）当 时， ，因为 在 上单调递减，所以 阴影部分面积为 （图 1） 2）当 时， ，因为 在 上单调递减且关于直线 对称，所以在 上
4、单调递增，所以 ，阴影部分面积为（图 2） 所以由 1）， 2）知平面区域的面积为 . 考点：函数单调性 ,奇偶性 ,线性规划 ,三角形面积 . 在 ABC中，若 ，则 ABC的形状是 答案：等腰或直角三角形 试题分析：由 或 所以 或 即 :等腰或直角三角形 考点：解三角形问题 ,正弦定理 . 已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得，则 的最小值为 ； 答案： 试题分析：因为数列 为正项等比数列 ,设公比为 , 则 解得 : , (舍 ) 又 所以 即 又 又 考点：等比数列的性质应用 ,基本不等式 . 若双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的焦点坐标是_ 答案： 试题分析：由渐近线方程
5、为 ,得 ,又焦点在 x轴上 ,所以焦点坐标为 . 考点：双曲线的焦点坐标求法 ,及渐近线方程 . 设 是等差数列 的前 n项和，若 答案： 试题分析：由等差数列的性质知 考点：等差数列的前 n项和及性质 . 已知椭圆 上的一点 到椭圆一个焦点的距离为 ，则 到另一焦点距离为 答案： 试题分析：由椭圆定义知 : ,所以 到另一焦点距离为 7. 考点：椭圆的定义 . 解答题 在 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，角 C是锐角，且。 （ 1）求角 的值； （ 2）若 ， 的面积为 ,求 的值。 答案： (1) (2) 试题分析： (1)解三角形问题 , 由 根据正弦定理可得到角 C的正弦值
6、 ,再根据三角形的内角和为 ,可得 C的值 . (2)在 (1)中已经知道 C的值 ,利用面积公式 得到 的值 ,再利用余弦定理解得 的值 . 试题：（ 1） ，据正弦定理，得 3分 ， 因为 C是锐角，所以 6分 (2) .8分 由余弦定理， ， 即 的值为 。 12分 考点：解三角形问题 ,正弦定理余弦定理的应用 ,三角形面积公式 . 已知函数 f(x) ax2 bx 1(a， b为实数 )， x R， F(x) (1)若 f(-1) 0，且函数 f(x) 0的对任意 x属于一切实数成立，求 F(x)的表达式； (2)在 (1)的条件下，当 x -2， 2时， g(x) f(x)-kx是单
7、调函数，求实数 k的取值范围； 答案： (1) , (2) , 试题分析： (1)式的求法， 可得 a与 b的关系，再由函数的值域求出各自的值，最后得出式。 (2)由 (1)已知 的式，进一步表示出出 的式，然后得出二次函数的对称轴，利用在闭区间上的单调性得出对称轴的范围，进 而求出实数 k 的取值范围。 试题： (1) 又 , 的值域为 , (2) 对称轴 ，当 或 即 或 时， 是单调函数。 考点：求函数的式，恒成立问题，单调性求参量。 设 是公比大于 1的等比数列， 为数列 的前 项和已知 ，且 构成等差数列 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）令 ，求数列 的前 n项和 . 答案：（
8、 1） （ 2） 试题分析：（ 1）因为 为等比数列，要求通项公式只要求出首项和公比，用， 表示 得出关系式，再根据 为等差数列，可解得答案：。 （ 2）由（ 1）得 通项公式，带入可得 通项公式，为等差和等比乘积形式，再利用错位相减法可得前 n相和 。 试题：（ 1）由已知得 解得 2分 设数列 的公比为 ，由 ，可得 又 ，可知 ，即 ， 4分 解得 由题意得 6分 （ 2）由（ 1）知， 7分 故 8分 两式相减，可得： = 10分 化简可得： 12分 考点：等比数列性质，错位相减法。 设函数 （ ） .区间 ，定义区间的长度为 b-a . （ 1）求区间 I的长度 （用 a 表示）；
9、（ 2）若 ，求 的最大值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）对函数先进行因式分解，再利用一元二次不等式可解出解集，然后利用定义区间 的长度为 b-a .可求出区间 I。 （ 2）由（ 1）已经得出 ，又 分子分母同除以 a再根据对勾函数的性质可得出它的最大值。 试题： (1) , . 解集为 . 4分 所以区间长度为 5分 (2) 由 (1)知， 7分 在 单调递增 . 13分 所以，当 时， I取最大值 14分 （第二问解法不同但说理清晰严密即给满分） 考点：不等式的解法，定区间求最值。 设椭圆 ： 的离心率为 ，点 （ ， 0）， （ 0，）原点 到直线 的距离为 。 (1
10、) 求椭圆 的方程； (2) 设点 为（ ， 0），点 在椭圆 上（与 、 均不重合），点 在直线 上，若直线 的方程为 ，且 ，试求直线 的方程 答案：（ 1）椭圆方程为 : ，（ 2）直线 方程为 试题分析： (1)由离心率为 可得出 与 的关系，再由点 , 知直线 的方程，利用点到直线的距离公式可得 与 的值求出椭圆的标准方程。 （ 2）由 (1)知 ,又因为直线 经过点 ,所以可表示出直线方程，进而求出 ，得出 的方程又 联立求解得直线 方程。 试题： (1)由 得 由点 , 知直线 的方程为 所以 则 所以 4分 所以椭圆方程为 : 5分 (2) 由 (1)知 ,因为直线 经过点 ,
11、所以 得 , ,即直线 的方程为 . 7分 ,即 9分 由 得 则 12分 所以 又 ,因此直线 方程为 14分 考点：椭圆的定义，直线与椭圆的关系，向量垂直 . 数列 中，已知 ， 时， 数列 满足： （ 1）证明： 为等差数列，并求 的通项公式； （ 2）记数列 的前 项和为 ，若不等式 成立（ 为正整数） .求出所有符合条件的有序实数对 答案：（ 1）通项公式 ,(2) 有序实数对 试题分析：（ 1）由等差数列的定义证明 ,当 时 , 经过整理为一个常数 ,从而得出它的公差 ,进一步得出它的通项公式 . (2)利用 (1)的结论 , 可得 表示的式子 ,经判断 为等比数列 ,利用等比数列的前 n项和公式求出 ,表示出 为多少 ,利用不等式得出 m的范围 ,进一步得出有序实数对 . 试题： ( ) 时， ， 2分 代入 整理得 ， 故 是公差为 的等差数列 6分 通项公式 ( )由 ( )得， ，故 ，所以8分 则 10分 因为 ，得 11分 12分 当 时， ；当 时， 13分 综上，存在符合条件的所有有序实数对 为： 14分 考点：等差数列，等比数列，不等式 .
