1、2013-2014学年浙江省杭州市重点中学高一上学期抽测数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 U=小于 10的正整数 ，集合 M=3， 4， 5， P=1， 3， 6， 9，则集合 =（ ） A B C D答案： B 试题分析：由已知全集 是有限集 ,对有限集可用 Venn图来解题 由图可知集合 在集合 M,P的外部故选 B 考点：主要考查集合运算 设 的定义域为 ，若 满足下面两个条件，则称 为闭函数 . 在 内是单调函数； 存在 ，使 在 上的值域为 ， 如果 为闭函数，那么 的取值范围是（ ） A B 1 C D 1 答案： A 试题分析：因为 是常数 ,函数 是定义在 上的增函数
2、 所以函数 是 上的增函数，因此若函数为闭函数，则可得函数 的图像与直线 相交于点和 如下图 即 可得方程 在 上有两个不相等的实数根 令 ,得 ,设函数 ,在 时 , 为减函数 ； 在 时 , 为增函数 ； 所以当 时 ,有两个不相等的实数 使 成立 , 相应地有两个不相等的实数根 满足方程 所以 为闭函数时，实数 k的取值范围是： . 考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明 已知定义在 R上的函数 ,其中函数的图象是一条连续曲线，则方程 在下面哪个范围内必有实数根（ ） A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 答案： C 试题分析：方程的根可以转化成函数的零
3、点 :判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断连续函数在给定区间端点处的符号是否相反 . 由题中有抽象函数 连续 ,所以使其系数为 0即可不求其式 ,即得 可验证 故选 C 考点：函数零点的判定 . 三个数 的大小关系为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：判断几个数的大小多用构造函数单调性来解题 . 因为 是 上的减函数 ,所以 因为 是 上的减函数 ,所以 因为 是 上的增函数 ,所以 故选 D 考点：用指数函数与对数函数单调性比较大小，转化思想应用 . 如图给出了函数 ， ， ， 的图像，则与函数 ， ， ， 依次对应的图像是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：参数函数
4、图像的影响 , 与 单调性一致且分别过定点与 , 是 上的增函数且过定点 图像必是 , 是过点 的二次函数图像是 .故选 B 考点：基本函数的图像性质 . 函数 的零点所在区间是（ ） A（ ） B（ ） C（ ， 1） D（ 1， 2） 答案： C 试题分析：判定连续函数在区间 上存在零点的方法 .由, , , , ,所以故选 C 考点：函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力 若 a 0， 1，则 ( ) A a 1,b 0 B a 1,b 0 C 0 a 1,b 0 D 0 a 1,b 0 答案： D 试题分析： 是 上的增函数 ,由 ,所以 是 上的减函数 , 由 ,所以 故选 D 考
5、点：指数函数 ,对数函数的单调性 . 下列函数 中，满足 “对任意 ， （ 0， ），当 的是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：对任意 ， （ 0， ），当 则 是上的减函数 . A中 是 上的减函数 , B中 是 上的减函数 ,是 上的增函数 C中 是 R上的增函数 D中 是 上的增函数 故选 A 考点：函数的单调性 函数 的图像关于 ( ) A 轴对称 B直线 C坐标原点对称 D直线 答案： C 试题分析：函数图像关于 轴对称则是偶函数 ,函数图像关于直线 对称则反函数是它本身 , 函数图像关于坐标原点对称是奇函数 由 得 又因为 的定义域是 关于原点对称 ,所以 是奇函数
6、,所以图像关于坐标原点对称 故选 C 考点：函数的奇偶性 , 函数的对称性 . ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由 得 故选 B 考点：对数运算 填空题 已知函数 ,则实数 t的取值范围是 _. 答案： 试题分析： 令 ,值域为 由题意函数 的值域为 则 是函数 值域的子集 所以 即 考点：对数函数图象与性质的综合应用 函数 的值域是 _. 答案： 试题分析：利用函数单调性求值域 设 则 由 在 上是增函数 ,所以值域为 考点：复合函数的值域 函数 的图象必过的定点坐标为 _. 答案： 试题分析：过定点即自变量为一定值时 ,函数值也为一个与 无关的定值 因为 定义域为 由
7、在 上过定点 在 上过定点 所以 过定点 考点：幂函数与对数函数的单调性与特殊点 若 ，则 =_. 答案： -4 试题分析：由 且 得 所以 考点：指数与对数运算 . 若幂函数 的图象过点 ，则 _. 答案： 试题分析：由幂函数的定义设 ,由图像 过 ,则 所以 ,所以 考点：幂函数的性质 ,待定系数法求式 已知 ，函数 ，若实数 、 满足 ，则 、的大小关系为 . 答案： 试题分析：因为 所以函数 在 R上是单调减函数， 因为 ，所以根据减函数的定义可得： .故答案：为： 考点：对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式 已知函数 若 ，则 . 答案： 试题分析：分段函数求值可以画图求解 ,
8、也可以分类讨论 . 当 时 , 即 解得 满足题意 当 时 , 即 解得 不满足题意 故 考点：分段函数求值 解答题 求值： （ 1） （ 2） 答案： (1) (2) 试题分析： (1)主要熟练运用指数运算的三个公式，指数运算通常化假分数为底和分数指数 ; (2)主要熟练运用对数运算的三个公式及换底公式 . 做(1) (2)这样的求题一般先化简 ,再求值 ,过程不易跳步 ,易运算错误 试题： (1) (2) 考点：指数、对数的运算性质 已知函数 (1)若 在 -3,2上具有单调性，求实数 的取值范围。 (2)若 的 有最小值为 -12，求实数 的值； 答案： (1) 或 ;(2) 或 试题分
9、析： (1)二次函数的单调性与对称轴有关 ,单调区间在对称轴的一侧 ,可数形结合解题 ; 图像开口上 , 对称轴为 ,区间 在对称轴左侧 为单调减函数 , 区间 在对称轴右侧 为单调增函数 , (2)二次函数在区间上的最值在端点处或顶点处 ,遇到对称轴或区间含有待定的字母 ,则要按对称轴在不在区间内以及区间中点进行讨论 . 图像开口上 ,当对称轴为 在区间 内时 ,最小值位于对称轴处 ; 当区间在对称轴左侧 为单调减函数 ,最小值位于右端点处 . 试题： (1) 的对称轴为 又 在 上具有单调性 所以 或 即 或 (2) 由 在 有最小值为 .当 即 时 解得 : 或 .当 即 时 解得 :
10、(舍 ) 综上所述 : 或 考点：二次函数单调性与最值 . 已知函数 （ 1）判断函数 的奇偶性，并说明理由。 （ 2）若 ，求使 成立 的集合。 答案： (1) 是奇函数 ;(2) 试题分析：（ 1）首先求出 的定义域关于原点对称 ,然后求 与 关系，利用对数的运算法则将函数转化为 ，再由函数奇偶性的定义 判断 是奇函数 ; (2)由 求出 ,利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集 ;易忘记定义域 . 试题： (1)由 的定义域为 且 所以 是奇函数 (2) 即 解得 所以使 成立 的集合 . 考点：对数函数性质 ,复合函数奇偶性 . 对于函数 (1)探索函数 的单调性，并用单调性定义证明
11、； (2)是否存在实数 使函数 为奇函数？ 答案： (1) 为 上的减函数 ;(2) 试题分析： (1)单调性定义证明步骤比较严格 ,设 , 为单调区间 ,然后判定 的符号 ;注意分 整理后要分解因式要彻底 , 在 上为增函数要熟记 . (2)由奇函数的性质求 ,可用特殊值或用恒等式对应项系数相等 ;如果 0在奇函数的定义域内 ,则一定有 ,如果不在可任取定义域内两个相反数代入求 . 试题： (1)由 定义域为 设 则 在 上为增函数 即 为 上的减函数 (2) 为 上的奇函数 即 则 时 为奇函数 考点：函数的单调性和奇偶性 . 设函数 是定义域为 的奇函数 (1)求 的值； (2)若 ，且
12、 在 上的最小值为 ，求 的值 . (3)若 ，试讨论函数 在 上零点的个数情况。 答案： (1) ;(2) (3) 当 时 在 上有一个零点 ;当时 在 上无零点 . 试题分析： (1) 由奇函数的性质求 ,可用特殊值或用恒等式对应项系数相等，如果 0在奇函数的定义域内 ,则一定有 ,如果不在可任取定义域内两个相反数代入求 . (2)由 求出 ,代入得 ,换元,注意自变量的取值范围 ,每设出一个子母都要把它取的范围缩到最小以有利于解题 , 所以得到 得到一个新的函数 ,利用二次函数函数单调性求最值方法得到 ,二次函数在区间上的最值在端点处或顶点处 ,遇到对称轴或区间含有待定的字母 ,则要按对
13、称轴在不在区间内以及区间中点进行讨论 . (3)由函数零点判定转化为二次方程根的判定 ,即 在 解个数情况 ,这个解起来比较麻烦 ,所以可以用函数单调性先来判定零点的个数 ,即在 上为增函数 ,也就是在 这个区间上是一一映射 , 时的每个值方程 只有一个解 . 试题： (1) 为 上的奇函数 即 (2)由 (1)知 解得 或 (舍 ) 且 在 上递增 令 则 所以令 , 且 因为 的对称轴为 当 时 解得 (舍 ) 当 时 解得 综上 : (3)由 (2)可得 : 令 则 即求 , 零点个数情况 即求 在 解个数情况 由 得 , 所以 在 上为增函数 当 时 有最小值为 所以当 时 方程在 上有一根 ,即函数有一个零点 当 时 方程在 上无根 ,即函数无零点 综上所述 :当 时 在
