1、2013-2014学年湖北武汉外国语学校高一上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ） A B CD 答案： A 试题分析：由正切函数的定义即得 . 考点：三角函数的概念 . 对于任意不全为 的实数 ，关于 的方程 在区间内（ ） A无实根 B恰有一实根 C至少有一实根 D至多有一实根 答案： C 试题分析：令 ，（ 1）当时， 在 上有且仅有一个零点；（ 2）当 即时，不等式两边同除以 得 ，即 ，又 不全为 0 ；又 的对称轴为 ，所以 在 上有两个零点，故选 C. 考点：零点存在性定理，函数与方程的关系 . 函数 的图象（ ） A关于 x轴对称
2、 B关于 y轴对称 C关于原点对称 D关于直线 y x对称 答案： C 试题分析：因为，所以 为奇函数，故选 C. 考点：函数的奇偶性 . 若向量 两两所成的角相等，且 ，则 等于（） A B C 或 D 或 答案： C 试题分析：因为向量 两两所成的角相等，所以它们的夹角为 0或，当夹角为 0时， ，当夹角为 时，=1+1+9+=4，得 ，所以选 C. 考点：向量的模 . 已知函数 的图象如图所示，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由图像得 A=2，周期 ,得到 ，所以，又 且 ，得 ，所以. 考点：三角函数的图像及性质 . 若 ，则 （） A B CD 答案： D 试题分析
3、：由 得 ，所以 . 考点：指对数式的互化，指数运算法则 . 已知 ， ， ， ，且四边形 为平行四边形，则（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据向量的加减法算得 ，又在平行四边形 中有 ,故得 B正确 . 考点：向量的加减法 . 函数 f(x)=x2+lnx 4的零点所在的区间是（ ） A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 答案： B 试题分析：由 可知零点在区间 内 . 考点：零点存在性定理 . 若 ，则计算 所得的结果为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：先根据诱导公式化简，原式 = ，再将 代入即得答案：为 A. 考点：诱导公式 . 设
4、a0，将 表示成分数指数幂，其结果是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： . 考点：根式与指数式的互化，指数式的运算法则 . 填空题 设函数 ，其中 （ 1）记集合 不能构成一个三角形的三边长，且 ，则所对应的 的零点的取值集合为 ； （ 2）若 是 的三边长，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） 对于区间 内的任意 ，总有 成立； 存在实数 ，使得 不能同时成为任意一个三角形的三条边长； 若 ，则存在实数 ，使 （提示 ： ） （第（ 1）空 2分，第（ 2）空 3分） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）由题可知 令又 .所以 f(x)的零点集合为 （ 2）1
5、 所以 正确 . 令 则 不能构成三角形的三条边长，所以 正确。 若三角形为钝角三角形，则令，使 。所以 正确 . 考点：函数的零点，指（对）数函数的性质，解三角形等知识的综合运用 . 函数 的图象如图所示，其右侧部分向直线 无限接近，但永不相交。 （ 1）函数 的定义域为 ，值域为 ； （ 2）当 时，只有唯一的 值与之对应。（错一空扣 2分，扣完为止） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）由图像可得定义域为 ，值域为 ；（ 2）从图像可得答案：为 . 考点：函数的图像 . 若 ，则 的值为 . 答案： 试题分析：. 考点：同角三角函数基本关系 . 已知 ，则与 垂直的单位向量的坐
6、标是 . 答案： 试题分析：设所求向量为 ，则 解之得 或. 考点：向量数量积的应用（向量的模、向量垂直的充要条件） . 已知函数 在区间 上具有单调性，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：要 使在区间 上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以 或 即得 的范围 . 考点：二次函数的单调性 . 解答题 设全集 ，集合 为第二象限角 ，集合为第四象限角 （ 1）分别用区间表示集合 与集合 ； （ 2）分别求 和 答案：（ 1） ， ； （ 6分） （ 2） ， （ 12分） 试题分析：（ 1）由 是第二象限角得 ，进而得集合A与集合 B； （ 2）借助于数轴或直角坐标系即可求解 .
7、试题：（ 1） ， ； （ 6分） （ 2） ， （ 12分） 考点：象限角，集合的运算 . 对于函数 （ ） （ 1）探索并证明函数 的单调性； （ 2）是否存在实数 使函数 为奇函数？若有，求出实数 的值，并证明你的结论；若没有，说明理由 答案：（ 1）单调增；（ 2） 试题分析：（ 1）直接利用增函数的定义证明；（ 2）法一：直接用定义，可得 ，法二：先由 求得 ，再证明恒成立 试题：（ 1）任取 ,且 ，则， ，得 在 R上是增函数； （ 6分） （ 2）由 ，得 ， ，又所以当 时， 为奇函数 （ 12分） 考点：（ 1）函数的单调性的定义；（ 2）函数的奇偶性 已知平面直角坐标系内
8、三点 、 、 在一条直线上， ， ，且 ，其中 为坐标原点 （ 1）求实数 ， 的值； （ 2）设 的重心为 ，若存在实数 ，使 ，试求 的大小 答案：（ 1） 或 ，（ 2） 试题分析：（ 1）由 A,B,C三点共线，得 与 共线 ,又 ，可得关于方程组，解得 的值；（ 2）由 ，得 为 的中点，再利用即可求解 试题： （ 1）由于 、 、 三点在一条直线上，则 ， 而 ， ， 又 ，联立方程组解得 或 （ 6分） （ 2）若存在实数 ，使 ，则 为 的中点，故 ， ， （ 12分） 考点：向量平行，垂直的充要条件的坐标形式，向量的夹角 已知函数 。 （ 1）求函数 的单调递减区间； （ 2
9、）求函数 在区间 上的最大值及最小值； （ 3）将函数 的图象作怎样的变换可得到 的图象？ 答案：（ 1）调递减区间为： （ 2）当 ，即 时， 有最大值 ， 当 ，即 时， 有最小值 ； （ 3）法一：将 的图象的横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单位 法二：将 的图象向右平移 个单位，再将横坐标变为原来的 试题分析：（ 1）将 看作一个整体，利用正弦函数的单调性即可求解；（ 2）先求出 ，再借助正弦曲线即可求解；（ 3）法一、先平移后放缩；法二、先放缩后平移 试题：（ 1）令 ，则 的单调递减区间为 由 得： 又 在 上为增函数，故原函数的单调递减区间为： （ 4分） （ 2）令 ，则 ，
10、 当 ，即 时， 有最大值 ， 当 ，即 时， 有最小值 ； （ 8分） （ 3）法一：将 的图象的横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单位。（ 12分） 法二：将 的图象向右平移 个单位，再将横坐标变为原来的 。（ 12分） 考点：三角函数的图像和性质 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间 小时 间的关系为 如果在前 个小时消除了的污染物，试求： （ 1） 个小时后还剩百分之几的污染物？ （ 2）污染物减少 所需要的时间（参考数据：） 答案：（ 1） 个小时后还剩 的污染物；（ 2）污染物减少 所需要的时间为 个小时 试题分析：本题的关键是看懂题目： 是一个固定常数
11、， 是需要计算出来的一个常数 (1)由题意可知可知，当 时， ；当 时，于是有 ，解得 ，那么，当 时， ；（ 2）当时，有 解得 . 试题：（ 1）由 可知，当 时， ；当 时，于是有 ，解得 ，那么 所以，当 时， 个小时后还剩 的污染物 （ 7分） （ 2）当 时，有 解得 （ 13分） 污染物减少 所需要的时间为 个小时 考点：数学知识的实际应用 已知函数 （ 1）若对于区间 内的任意 ，总有 成立，求实数 的取值范围； （ 2）若函数 在区间 内有两个不同的零点 ，求： 实数 的取值范围； 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）分离参数，若对于区间 内的任意 ，总
12、有 成立，得 ，再求出 的最大值即可； （ 2）先去绝对值，当 时，方程 化为 ， 时，无解；时， ； 当 时，方程 化为 ， ，而其中，故 在区间 内至多有一解； 综合 ） ）可知， ，且 ，得 试题：（ 1） ， 记 ，易知 在上 递增，在上递减， ， 即可 （ 5分） （ 2） ） 时，方程 化为 ， 时，无解； 时，； ） 时，方程 化为 ， ，而其中，故 在区间 内至多有一解； 综合 ） ）可知， ，且 时，方程 有一解 ，故； 时，方程 也仅有一解 ，令，得 ，所以实数 的取值范围是 ； （ 10分） 方程 的两解分别为 ， ， （ 14分） 考点：（ 1）绝对值，不等式的恒成立问
13、题；（ 2）函数与方程，函数的零点 已知函数 与 （ 1）对于函数 ，有下列结论： 是奇函数； 是周期函数，最小正周期为 ； 的图象关于点 对称； 的图象关于直线 对称其中正确结论的序号是 _；（直接写出所有正确结论的序号） （ 2）对于函数 ，求满足 的 的取值范围； （ 3）设函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，试判断集合 之间的关系 答案：（ 1） ； （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）可得 ，再逐一分析性质；（ 2）难点是求交集，可借助于数轴；（ 3）分别研究 与 的值域即可 试题：（ 1） ； （ 3分） （ 2） 或 ； （ 6分） （ 3） ，当且仅当 时取得等号，但是当 时， ，此时 ，所以 ，故 ，即 ； ，当且仅当 时取得等号，此时，所以 ，即 ； 由此可知， （ 10分） 考点：三角函数的性质，集合的运算
