1、2013-2014学年湖北省部分重点中学高一下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 a 0， b 0，若 是 和 的等比中项，则 的最小值为（ ） A 6 B C 8 D 9 答案： A 试题分析： 由题意 a 0， b 0，且 是 和 的等比中项，即，则，当且仅当 时，即 时取等号 考点：重要不等式，等比中项 两地相距 ，且 地在 地的正东方。一人在 地测得建筑 在正北方，建筑 在北偏西 ；在 地测得建筑 在北偏东 ，建筑 在北偏西，则两建筑 和 之间的距离为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：在 ABD中 又 点 A、 B、 C、 D四点共园，圆心是 BC 的中点
2、 (在同园或等圆中，同弧所对的圆周角相等 ) ， 同理 在 Rt ABC中， 在 Rt BCD中 考点：解三角形 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A原料 3吨、 B原料 2吨；生产每吨乙产品要用 A原料 1吨、 B原料 3吨销售每吨甲产品可获得利润 5万元、每吨乙产品可获得利润 3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨、 B原料不超过 18吨，那么该企业可获得的最大利润是( ) A 12万元 B 20万元 C 25万元 D 27万元 答案： D 试题分析：设该企业生产甲产品为 x吨，乙产品为 y吨，则该企业可获得利润为 ，且 ，解得 ，由图可知，最优解为 P 故
3、 z的最大值为 （万元） 考点：简单线性规划的应用 已知数列 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意 ，则，故考点：数列的通项公式，周期性 若不等式 的解集是 R，则 m的范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为不等式 的解集是 R，所以（ 1）当时 ，对任意 恒成立；（ 2）当 时， ；（）当 时，不合题意；综上， 考点：一元二次不等式的解法 已知数列 为等差数列，且 的值为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意 ，又数列 为等差数列， 则 考点：等差中项，特殊角的正切函数 已知 a， b为非零实数，且 a b，则下列命题一定成立的是（ ）
4、 A B C D 答案： C 试题分析： A 中，例如当 时不成立； B 中，例如时不成立； D 中，例如 时不成立； C 中，不等式两边同乘以非零正实数 ， 不等号方向不变，得到 ，所以 C正确 考点：不等式的简单性质 在 ABC中， ， ， ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意 ABC中， ， ， ，根据正弦定理，又 ，故 考点：正弦定理，同角三角函数基本关系式 等差数列 的前 n项和为 ，已知 ， ，则 （ ） A 2014 B 4028 C 0 D 答案： A 试题分析： ，两式相加得 ，解得 ，即数列为常数列，故 2014 考点：等差数列的通项 填空题 （ 1）
5、阅读理解： 对于任意正实数 ，只有当 时，等号成立 结论：在 （ 均为正实数）中，若 为定值 ， 则，只有当 时， 有最小值 （ 2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答） 若 ，只有当 _时， 有最小值 _ 若 ，只有当 _时， 有最小值 _ （ 3）探索应用：学校要建一个面积为 392 的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为 2m和 4 m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。 答案：（ 2） 1 ， 2： 3， 10（ 3）游泳池的长为 28m，宽 14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是 648 试题分析：
6、（ 2） 利用阅读材料，可知当 时， 有最小值 2， ，当 时， 有最小值 10 （ 3）设游泳池的长为 m，则游泳池的宽为 m,又设占地面积为 ，依题意，得 ，整理运用所给结论，可求面积的最值 （ 2） 利用阅读材料，可知当 时， 有最小值 2， ，当 时， 有最小值 10 （ 3）设游泳池的长为 m，则游泳池的宽为 m,又设占地面积为 ，依题意，得 ，整理 当且仅当 即 取 “=”此时 所以游泳池的长为 28m，宽 14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是 648考点：基本不等式在最值问题中的应用；进行简单的合情推理 已知 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由已知
7、 考点：同角三角函数基本关系式 把数列 中各项划分为：（ 3），（ 5， 7）， (9， 11， 13)， (15， 17， 19，21)， (23)， (25， 27)， (29， 31， 33)， (35， 37， 39， 41)。照此下去，第 100个括号里各数的和为 答案： 试题分析：由题设，括号中的个数呈每四组一个周期循环，前四个括号中共有10个奇数前 100个括号所的奇数有： 1025=250，第 250个奇数为3+2492=501，所以第 100个括号中的四个数为 501， 499， 497， 495，第 100个括号里各数的和为 ，故答案：为： 1992 考点：等差数列的前 n
8、项和 ，周期性 已知 ，则 = 答案： 试题分析： ， ， ，故考点：两角和与差的正 、余弦 设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 。 答案： 试题分析：因为数列 为正项等比数列，则 也成等比数列，则 ，将 代入，可得 考点：等比数列的性质 11若 ，则 的最大值为 。 答案： -4 试题分析： ， ，因此 ，当且仅当 即 时取等号，即 的最大值为 -4 考点：基本不等式 解答题 已知 ， （ 1）求 ； （ 2）求 。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由 ，利用平方关系求出 ，再利用同角三角函数基本关系式求出 ，最后用倍角关系求出 : （ 2）由 ,利用同角三角函数基本关系式
9、求出,由（ 1）得到的 、 值，通过 即可 试题分析：（ 1）由 ， 又 （ 2）由 ， ，考点：同角三角函数基本关系式，倍角公式 已知 的三内角 、 、 所对的边分别是 ， ， ，向量，且 。 （ 1）求角 的大小； （ 2）若 ，求 的范围。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由两向量的坐标，及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出 的值，即可确定出 B的度数； （ 2）由 b及 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出的 最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出 的范围即可 （
10、1） ， ，且 ， 利用正弦定理化简得： ，整理得，即又 （ 2） ，所以由余弦定理 ，即，当且仅当 时取等号， 即 ，又 考点：正弦、余弦定理，基本不等式的运用 已知 的三内角 、 、 所对的边分别是 ， ， ，且 ， ， 成等比数列。 （ 1）若 ，求 的值； （ 2）求角 B的最大值，并判断此时 的形状 答案：（ 1） （ 2） B的最大值为 ，此时 ABC为等边三角形 试题分析：（ 1） ，再利用等比数列 以及余弦定理即可求出 cosB的值 （ 2）由 ， ， 成等比数列， ，由余弦定理可得 ，再由在区间 上的单调性， ，可知 ABC为等边三角形 （ 1）由 利用正弦定理化简得： ，又
11、 ， ，成等比数列， ，由余弦定理可得（ 2） ， 函数 在区间 上为减函数， ，即角 B的最大值为 ，此时有 ，且 ，可得 则 ABC为等边三角形 考点：余弦定理的应用，等比数列的基本性质 已知等差数列 满足 ,数列 满足 。 （ 1）求数列 和 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和； （ 3）若 ，求数列 的前 项和 答案：（ 1） ； （ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）设 的首项为 ，公差为 ，由 ，解出 ，即可，数列 满足 ，由 ， ，以上各式相乘， ， ，可得 （ 2）设数列 的前 项和为 ，裂项可得 ，易得 （ 3）由 ，显然利用错位相减法可得数列 的前 项和 （ 1）设
12、 的首项为 ，公差为 ，由， ；数列 满足， ， ，以上各式相乘，得 ， 故 ； （ 2） ， 由裂项求和法 （ 3） ，利用错位相减法可得 考点：等差、等比数列的通项，裂项求和法，错位相减法 已知数列 的首项 。 （ 1）求证： 是等比数列，并求出 的通项公式； （ 2）证明：对任意的 ； （ 3）证明： 。 答案：（ 1）见 （ 2）见 （ 3）见 试题分析：（ 1）由题意 两边同时取倒数， 又 ，所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，然后由等比数列的通项公式可求出 的通项公式； （ 2）由（ 1）知 则注意到 ，即可 （ 3）左边不等式，由 可得； 证右边不等式，由（ 2）知取 ，则（ 1） ，又 所以是以 为首项，以 为公比的等比数列 （ 2）由（ 1）知 （ 3）先证左边不等式，由 知； 当 时等号成立； 再证右边不等式，由（ 2）知，对任意 ，有，取， 则 考点：等比数列的通项，放缩法，等比数列的前 n项和
