1、2013-2014学年湖北省长阳县第一高中高一下学期期中考试理科数学卷（带解析） 选择题 已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么（ ） . A B C D 答案： C. 试题分析 ： . 考点：向量的数量积的定义公式及 . 设等差数列 满足： ，公差若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项 的取值范围是（ ） . A B C D 答案： D. 试题分析：由，则 ，因此有，又 ，则，又因为当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，可知：，则当 时，有 ，故选 D. 考点：同角三角函数的基本关系：平方关系，平 方差公式，两角和与差的正弦公式，等差数列的下标和性质，等差数列前 N项和
2、的最值问题，转化思想 . 如图 BC是单位圆 A的一条直径 , F是线段 AB上的点，且 ,若 DE是圆 A中绕圆心 A运动的一条直径，则 的值是（ ） . A B C D 答案： C. 试题分析：根据题意有 ，则,又 且圆的半径为 1，所以 则 因此. 考点：向量的三角形法则，向量的数乘运算，数量积的定义，相反向量， . 将正偶数按下表排成 4列： 则 2 004在 ( ). A第 251行，第 1列 B第 251行，第 2列 C第 250行，第 2列 D第 250行，第 4列 答案： B. 试题分析：因为 2004能被 4整除，观察第 2列中能被 4整除的数有 4， 20， 36， ，其中
3、 ，这其中 1， 5， 9等是被 4除余 1的整数，而且 501是被 4除余数为 1的整数 ，所以 2004一定在第 2列中，又第一行时，有 ；第三行时，有 ；第 5行时，有 ； 则第 n行时，有因此，令 ，解得 n=251,即 2004在第 251行，故本题选 B. 考 点：特殊到一般思想，观察归纳推理能力 . 函数 的部分图象如图所示，则的值是（ ） . A 0 B -1 C 2 2 D 2-2 答案： C. 试题分析：从图可知 A=2， ，所以 ，解得 ，又图像过（ 2，2），所以有 ，得 ，取 ，所以函数的表达式为：，又 = =. 考点：根据函数图像求三角函数的式，周期公式，诱导公式，
4、特殊角的三角函数值 . 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 ，则角 A的大小为（ ） . A B C D 答案： C. 试题分析：根据正弦定理， （其中 R为三角形外接圆的半径），则有 ，所以有 ，又 ，所以有 ，即 ，又 ，所以 . 考点：正弦定理，二倍角的正弦公式，特殊角的三角函数值 . 设 a (sin56-cos56)， b cos50 cos128 cos40 cos38， c (cos80-2cos250 1)，则 a， b， c的大小关系是 ( ). A abc B bac C cab D acb 答案： B. 试题分析：因为， ，又因为在 内余弦函
5、数单调递减，所以 ，即 c0)的最大值为 2. (1)求函数 f(x)在 0,上的单调递减区间； (2)ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a,b,c, 且 C=60， c=3，求 ABC的面积 . 答案： (1) ; (2) . 试题分析： (1)根据辅助角公式，函数的最大值为 令其为 2，即可求得 m，利用正弦函数的单调性可求得此函数的递减区间，找到 0,上的单调递减区间即可；（ 2）本小题关键是求得边 a与 b的乘积，利用正弦定理，把化为边 a与 b的关系，另一方面已知 C=60， c=3，由余弦定理，可得边 a与 b的另一关系，两式联 立解得 ab（当然也可解得 a与 b的单个
6、值，但计算量大），利用可求得面积 . 试题： (1)由题意， f(x)的最大值为 所以 而 m0，于是 m= ，f(x)=2sin(x+ ).由正弦函数的单调性及周期性可得 x满足即 所以 f(x)在 0,上的单调递减区间为 (2)设 ABC的外接圆半径为 R，由题意，得 化简得 sin A+sin B=2 sin Asin B.由正弦定理，得 由余弦定理，得 a2+b2-ab=9，即 (a+b)2-3ab-9=0. 将 式代入 ，得 2(ab)2-3ab-9=0，解得 ab=3或 (舍去 )，故考点：辅助角公式 , 正弦函数的单调性 ,正弦定理 , 余弦定理 ,方程思想，三角形面积公式： .
7、 已知数列 an各项均为正数，其前 n项和为 Sn，且满足 4Sn=(an+1)2.来 (1)求 an的通项公式； (2)设 bn= ，数列 bn的前 n项和为 Tn,求 Tn的最小值 . 答案：（ 1） an=2n-1；（ 2） . 试题分析： (1)本小题可化归为 an+1=Sn+1-Sn，整理为 4an+1=an+12-an2+2an+1-2an再因式分解为 2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an)，即可得到 an+1-an=2，根据等差数列的定义，可知 an为等差数列，易得其通项公式；（ 2）本小题 bn通项公式先进行裂项，利用裂项相消法可求得 Tn的值，可证明 Tn
8、+1Tn， 易知 Tn为递增数列，则最小值为 T1. 试题： (1)因为 (an+1)2=4Sn,所以 Sn= ,Sn+1= . 所以 Sn+1-Sn=an+1= 即 4an+1=an+12-an2+2an+1-2an, 2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an). 因为 an+1+an0,所以 an+1-an=2,即 an为公差等于 2的等差数列 .由 (a1+1)2=4a1,解得 a1=1,所以 an=2n-1. (2)由 (1)知 bn= = ,Tn=b1+b2+ +bn= Tn+1-Tn= Tn+1Tn， 数列 Tn为递增数列， Tn的最小值为 T1= . 考点： 与
9、的关系： ，等差数列的定义，裂项相消法，递增数列的定义 . 如图， A， B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于 A点北偏东 45， B点北偏西 60的 D点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点南偏西 60且与 B点相距 海里的 C点的救 援船立即即前往营救，其航行速度为 30海里 /小时，该救援船到达 D点需要多长时间？ 答案：救援船到达 D点需要 1小时 . 试题分析：本题先求得 ，在 中由正弦定理求得 DB，再由求得 ，又在 中由余弦定理可求得 CD，由 CD长除以速度即是所求时间，本题要注重灵活地选择三角形，运用正余弦定理求解 . 试题：由题意知 海里，在 中，由正弦定理得
10、，（海里），又海里，在 中，由余弦定理得： = 30（海里），则需要的时间（小时） . 答：救援船到达 D点需要 1小时 . 考点：正弦定理，余弦定理，三角形内角和 . 将数列 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： 已知表中的第一列数 构成一个等差数列 , 记为 , 且 , 表中每一行正中间一个数 构成数列 , 其前 n项和为 . (1)求数列 的通项公式； (2)若上表中 , 从第二行起 , 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列 , 公比为同一个正数 , 且 . 求 ； 记, 若集合 M的元素个数为 3, 求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)因为 为等差数列，且已知 ，用基本量法，设公差为 d，有 ,解得 ，所以数列 的通项公式 ；（ 2） 设每一行组成的等比数列的公比为 ,且前 n行共有 个数，有,可解得 ，因此 ，以下用错位相减法求 ； 由第 小题已知 所以 ，令 ，可验证 时，有，因为 的元素个数 3，所以 . 试题：（ 1） ； （ 2） 设每一行组成的等比数列的公比为 ,由于前 n行共有个数 ,且 ,所以 ,得 因此 两式相减得 得 由 知 设 ,计算得 且 当 时 , 的元素个数 3 . 考点：基本量法求通项公式，错位相减法，方程与函数的思想，综合解决问题的能力 .
