1、2013-2014学年湖北部分重点中学高二上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 两个三角形全等是这两个三角形相似的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 试题分析： 两个三角形全等是两个三角形相似的特殊情况， 答案：为 A. 考点：充要条件 . 若椭圆 上有 个不同的点 为右焦点， 组成公差 的等差数列，则 的最大值为（ ） A 199 B 200 C 99 D 100 答案： B 试题分析：椭圆上的点到右焦点最大距离为： a+c=3，到右焦点最小距离是 a-c=1， 2=（ n-1） d，要使 ，且 n最大，有 d= ，由
2、此能求出 n的最大值 考点：（ 1）椭圆的定义；（ 2）等差数列 . 在平面直角坐标系中，若方程 表示的曲线为椭圆，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：先将方程化简，可得看成是轨迹上点到（ 0， -1）的距离与到直线 x-2y+3=0的距离的比，利用曲线为椭圆，离心率 0 e 1，即可求得 m的取值范围 . 考点：椭圆的标准方程 . 如果方程 表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由方程 表示双曲线，可得 c= ，判断出A， C不表示椭圆，再求出 B， D中的 c，即可得出结论 考点：双曲线与椭圆的标准方程 .
3、 若 X是离散型随机变量， ，且 ，又已知，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论 考点：离散型随机变量的期望方差 . 三名学生与两名老师并排站成一排。如果老师甲必须排在老师乙的左边，且两名老师必须相邻，那么不同的排法共有（ ）种 . A 60 B 48 C 36 D 24 答案： D 试题分析：必须相邻可以采用捆绑法，把两个老师捆绑在一起看作一个元素，然后与三个学生全排列即可 . 考点：捆绑法解排列组合问题 . 若双曲线 的离心率 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由离心率 e=
4、= 其中 k 0，再利用 即可求出 k的取值范围 . 考点：双曲线的定义和几何性质 . 若椭圆经过原点，且焦点分别为 ，则其离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据椭圆定义，原点到两焦距之和为 2a=1 2，焦距为 2c=2，所以离心率为 . 考点：椭圆的定义 . 命题 “所有实数的平方是非负实数 ”的否定是（ ） A所有实数的平方是负实数 B不存在一个实数，它的平方是负实数 C存在一个实数，它的平方是负实数 D不存在一个实数它的平方是非负实数 答案： C 试题分析：本命题是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，要改变量词同时否定结论 . 考点：全称命题与特称命题的否定 .
5、填空题 圆 经过椭圆 的两个焦点 ，且与该椭圆有四个不同交点，设 是其中的一个交点，若 的面积为 ，椭圆的长轴长为 ，则 （ 为半焦距） . 答案： 试题分析：依题意作图，易求 a= ；利用椭圆的定义与直径三角形 F1PF2即可求得 c= ，从而可求得 b，继而可得 a+b+c的值 考点：椭圆的定义与性质 . 的展开式中含 的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）。 答案： 试题分析：本题考查二项展开式的通项公式，利用二项展开式的通项公式进行找寻整数次幂，注意找到所有的整数次幂，然后再求和 考点：二项式的通项问题 . 某班有 名学生，一次考试的数学成绩 服从正态分布 ，已知，估计该班学生成绩
6、在 以上的人数为 人。 答案： 试题分析：根据正态分布函数的性质可知 x=100 是其图像的对称轴， P（ 110）=0.5- P（ 90100） =0.2，所以 0.250=10. 考点：正态分布函数的图像与性质 . 椭圆 的焦点分别为 和 ，点 在椭圆上，如果线段 的中点在 轴上，那么 。 答案： 试题分析：依题意，可求得 a=2 ， b= ， c=3，设 P的坐标为（ x， y），由线段 PF1的中点在 y轴上，可求得 P（ 3， ），继而可求得 |PF1|与 |PF2|，利用余弦定理即可求得答案： 考点：（ 1）椭圆定义；（ 2）余弦定理 . 与双曲线 有共同的渐近线，并且经过点 的双
7、曲线是 。 答案： 试题分析：与双曲线 共渐近线，可设所求双曲线方程为 ，然后把点（ 2， 3）代入解得 即可 . 考点：双曲线的标准方程与几何性质 . 解答题 设命题 命题 ，如果命题真且命题 假，求 的取值范围。 答案： 试题分析：根据题意，首先求出 p为真时和 q为假时， a的取值范围，然后去交集即可 试题：因为命题 为真命题，所以 因为命题 为假命题，所以 所以 的取值范围是 . 考点：（ 1）简易逻辑；（ 2）三个一元二次的关系 . 一动圆截直线 和直线 所得弦长分别为 ，求动圆圆心的轨迹方程。 答案： 试题分析：设动圆圆心为 M，由动圆截两直线所得的弦长，结合点到直线的距离公式，根
8、据半径相等列关于动圆圆心坐标的关系式，整理后得答案： 试题：设动圆圆心 点的坐标为 ， 分别截直线 和 所得弦分别为 ，则 ， ，过 分别作直线 和 的垂线，垂足分别为 ，则， ， ， ， ， ，所以动圆圆心的轨迹方程是 . 考点：轨迹方程 . 已知椭圆 ，直线 是直线上的线段，且是椭圆上一点，求 面积的最小值。 答案： 试题分析：由直线的方程和椭圆的方程易知，直 线 与椭圆不相交，设直线 m平行于直线，则直线 m的方程可以写成 4x-5y+k=0，与椭圆方程联立，求出直线方程，再求出直线 m与直线间的距离，即可求 ABP面积的最小值 试题：由直线的方程和椭圆的方程易知，直线与椭圆不相交，设直
9、线 平行于直线，则直线 的方程可以写成 （ 1） 由 消去 得 （ 2） 令方程（ 2）的根的判别式 得 解之得 或 ， 容易知道 时，直线 与椭圆的交点到直线的距离最近，此时直线 的方程为 直线 与直线间的距离 所以 . 考点： (1)椭圆的性质；（ 2）直线与圆锥曲线的应用 . 在 个同样型号的产品中，有 个是正品， 个是次品，从中任取 个，求（ 1）其中所含次品数 的期望、方差；（ 2）事件 “含有次品 ”的概率。 答案： (1)E(x)= ， D（ x） = ；（ 2） P(A)= . 试题分析：（ 1）依题意可知随机变量 的一切可取值为 0， 1， 2，求出相应的概率，可求所含次品数
10、 的期望、方差；（ 2）事件 “含有次品 ”，则随机变量 取 1， 2，从而可求概率 试题：（ 1）依题意可知随机变量 的一切可取值为 ，则 ， （ 2）设集合 A为抽取的 3件产品中含有次品 则 . 考点：离散型随机变量的期望 与方差 以椭圆 的一个顶点 为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形 ，试问：（ 1）这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在，说明理由。（ 2）这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？ 答案： (1)存在， 与 ；（ 2）存在，最多有 个 . 试题分析：（ 1）这样的等腰直角三角形存在直线 y=x+1与直线 y=-x+1
11、满足题意； （ 2）设出 CA所在的直线方程，代入椭圆的方程并整理，求出 |CA|，同理求出|CB|，由 |CA|=|CB|得（ k-1） k2-（ a2-1） k+1=0，讨论方程根的情况，即可得出结论 试题：（ 1）这样的等腰直角三角形存在。因为直线 与直线 垂直，且关于 轴对称，所以直线 与直线 是一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。 （ 2）设 两点分别居于 轴的左，右两侧，设 的斜率为 ，则 ，所在的直线方程为 ，代入椭圆的方程并整理得， 或 ， 的横坐标为 ， 同理可得 ，所以由 得 ， ， 当 时，（ 1）的解是 无实数解； 当 时，（ 1）的解是 的解也是 ；当 时，（ 1）
12、的解除 外，方程 有两个不相等的正根，且都不等于，故（ 1）有 个正根。 所以符合题意的等腰直角三角形一定存在，最多有 个。 考点： (1)椭圆的性质；（ 2）直线与圆锥曲线的应用 . 已知常数 ，向量 ，经过定点 以 为方向向量的直线与经过定点 以 为方向向量的直线相交于 ，其中， （ 1）求点 的轨迹 的方程；（ 2）若 ，过 的直线交曲线 于两点，求 的取值范围。 答案：（ I） ；（ II） 试题分析：（ I）利用向量共线定理和坐标运算即可得出； （ II）对直线 的斜率分类讨论，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为y=kx+1与双曲线的方程联立，即可得到根与系数的关系，再利用向量的数量积和对 k分类讨论即可得出 试题：（ 1）设 点的坐标为 ，则 ， 又 ， ， ， 又因为向量 与向量 平行，所以 向量 与向量 平行，所以 ，两式联立消去 得的轨迹方程为 ，即 。 （ 2）因为 ，所以 的轨迹 的方程为 ， 此时点 为双曲线的焦点。 （ I）若直线的斜率不存在，其方程为 ， 与双曲线 的两焦点为 ， 此时 （ II）若直线的斜率存在，设其方程为 ， 由 ，设交点为 ，则 ，当 时， ， ； 当 或 时， ， ； 综上可知， 的取值范围是 。 考点：（ 1）圆锥曲线的综合应用；（ 2）向量在几何中的应用 .
