1、2013-2014学年黑龙江省大庆铁人中学高一上学期期末数学试卷与答案（带解析） 选择题 非空集合 ，使得 成立的所有 的集合是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 所以 ，所以有 解得 。故 A正确。 考点：集合的运算 在平面上， , , ,若 ,则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：当 时，此时点 O与点 P重合，此时 是边长为 1的正方形，所以 。当 时 ，因为 ，且 所以 为矩形，所以 。只有当点 P在 上时，最短，此时 。设 与 交与点 C， 因为此时是 的中垂线，且 为矩形，所以 ，解得 ，所以 ，因为 ，所以 ，故 D正确。 考点：向量数量
2、积，垂直，向量平行四边形法则，数形结合 函数 ，设 ，若 ， 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： 当 时， ，当 时 ，因为 在和 上都是增函数，所以 ， ，所以， ，故 B正确。 考点：函数单调性，数形结合，不等式的同向正数可乘性 已知 且 ，则 =( ) A B C D 答案： C 试题分析： ，因为 ， ， ，所以 ， ，所以，所以 ，故 C正确。 考点：配凑法求角，缩角，正切图像， 正切两角和差公式 已知 是定义在 上的不恒为零的函数，且对任意的 都满足，则 是 A奇函数 B偶函数 C不是奇函数也不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 答案： A 试题分析：令 ，
3、则 ，所以 ，令 ，则，所以 ，令 ，则 ，因为，所以 ，所以 是奇函数。 考点：赋值法，函数奇偶性 下列说法中： 若向量 ，则存在实数 ，使得 ； 非零向量 ，若满足 ，则 与向量 ， 夹角相等的单位向量 已知 ,若对任意 , 则 一定为 锐角三角形 。 其中正确说法的序号是 ( ) A (1)(2) B (1)(3) C (2)(4) D (2) 答案： D 试题分析： (1)不正确：当 时不存在实数 ，使得 ； （ 2）正确： ，所以 ； （ 3）不正确：因为 的模长相等，所以 与 的数量积也相等。设单位向量，所以 ，且 ，解得 或 ，所以 或 ；（ 4）不正确：当 时 ,满足题意，但此
4、时三角形为锐角，直角，或钝角三角形均有可能。 考点：向量共线，垂直，数量积 在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ,若 ， ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意可知， 与 相似，且相似比为 ，所以,由向量加减法的平行四边形法则可知， ，解得， ，由向量加法的三角形法则可知，,故 D正确。 考点：平面向量的加减法 已知 P是边长为 2的正 的边 BC上的动点，则 ( ) A最大值为 8 B是定值 6 C最小值为 6 D是定值 3 答案： B 试题分析：因为 P是边 BC上的动点，所以令 , 的夹角为 ， 的夹角为 。所以，故 B正确。 考点：
5、向量的数量积，向量的夹角 下列函数中最小正周期为 的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： A选项中 周期是 周期的一半，所以 周期是 ，故 A不正确； B选项中，所以周期为 ，所以 B不正确；C选项中令 ，因为 ，所以 不是此函数周期，故 C不正确； D选项中，所以周期为 ，故 D正确。 考点：三角函数化简变形，周期公式 已知偶函数 ,当 时， ,设，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 为偶函数，所以 图像关于 对称，因为在 上单调递增，所以 在 上单调递减。因为 且 ，所以 ，即，故 D正确。 考点：函数奇偶性，对称性，用函数单调性比较大小 将函数 图像上所
6、有点向左平移 个单位，再将各点横坐标缩短为原来的 倍，得到函数 ，则 ( ) A 在 单调递减 B 在 单调递减 C 在 单调递增 D 在 单调递增 答案： A 试题分析： 图像上所有点向左平移 个单位，得到的图像，再将各点横坐标缩短为原来的倍，得到函数 。由余弦函数图像可知 在单调递减。故 A正确 考点：三角函数伸缩变换，单调性 函数 的图象大致是（ ） 答案： C 试题分析： ，即 ，所以不是偶函数，图像不关于 y轴对称，故 D不正确； 时 ，所以 ，所以 ，所以 ，故 B 不正确。当 时 ，所以 ，所以 ，故 A不正确。故选 C。 考点：对数函数，含绝对值的函数图像 填空题 定义在 R上
7、的函数 满足 ， ，且时， 则 . 答案： 试题分析：由 ， 可知 是奇函数，且关于对称，由图像分析可知其周期为 4，所以考点：奇偶性周期性，指数函数图像，数形结合 已知函数 ,不等式 对任意实数 恒成立，则 的最小值是 . 答案： 试题分析：由分析可知要想 恒成立，只能，因为 ，所以最小值为 考点：函数图像绝，对值不等式 函数 ,若 ,则方程 在 内的所有实数根之和为 . 答案： 试题分析：，周期为 ，由数形结合可知，方程 在 内有四个根，依次设为，所以 ，所以所有根之和为考点：三角函数化简变形，图像平移，数形结合 已知一个扇形的周长是 40，则扇形面积的最大值为 . 答案： 试题分析：设扇
8、形所在圆的半径为 R，扇形弧长为 L则有 ,当 时取得 考点：基本不等式 解答题 集合 . （ 1）当 时，求 ； （ 2）若 是只有一个元素的集合，求实数 的取值范围 答案：（ 1） （ 2） m 3或 m 试题分析：（ 1）两集合的交集即两集合的公共部分，所以应联立方程解方程组。（ 2）要使 是只有一个元素的集合，只需联立的方程只有一个根，消去 y或 x后整理出一元二次方程，当判别式等于 0时，对称轴需在 内，当判别式大于 0时，函数的一个零点应在 内。 试题：（ 1） ，所以 。 （ 2） 消去 y整理可得 。因为 是只有一个元素的集合，即此方程在 只有一个根。所以 或解得 m 3或 m
9、 考点：集合运算一元二次函数图像 是两个不共线的非零向量，且 . （ 1）记 当实数 t为何值时， 为钝角？ （ 2）令 ，求 的值域及单调递减区间 . 答案：（ 1） ；（ 2） ，试题分析： (1)利用向量数量积公式可求得 ，当 为钝角时，但 时， 反向，其所成角为 ，不符合题意应舍去。（ 2）因为 ，所以将 整理成，属于配方法求最值。根据 x的范围出 的范围，代入 式即可求得 的值域。此函数为符合函数，根据符合函数增减口诀 “同曾异减 ”求出其单调区间。 试题：（ 1） , 。 为钝角，所以 ，且 。 当 时， 即 ，解得 。 当 时， 反向时， 即，解得 ， 综上可得， 为钝角时 （
10、2） 当时， 。当 时 ，所以。 的增区间是 考点：向量数量积，模长，函数值域，复合函数单调性 已知函数 (1)求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值； (2)若 ，求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式 ，求周期，用 x的范围求出整体角 的范围，结合三角函数图像求其最值。（ 2）解 得，角的范围和同角三角函数基本关系式可求得 的值，用配凑法表示 ，用两角差的余弦公式求 试题：解：(1)最小正周期为 ;最大值为 2，最小值为 -1 （ 2）由（ 1）可知 又 因为 ，所以 由 ，得 考点：三角函
11、数化简变形，同角三角函数基本关系式 ，配凑法表示角 已知 A、 B、 C是 的三内角，向量 ， ，且. （ 1）求角 A； （ 2）若 ，求 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）用向量数量积公式列出方程 ，在用化一公式将其化为 ，根据三角形内角的范围为 ，求出整个角的范围，最后确定 的值，即得到 A的值。（ 2）将 1用 表示，用 2倍角公式展开，得到 ，因为，所以将上式两边都同时除以 即得到关于 的一元二次方程，可求得 的值。将角 C写成 ,用诱导公式及正切的两角和公式即可求得 . 试题：（ 1） ，即 3分 , , ， ， 即 . 6 （ 2）由题知： ，即： , ， ， 或
12、 ； 10分 而 使 ，故 应舍去， ， = . 12分 考点：向量数量级，二倍角公式，同角函数基本关系式，正切的两角和公式 已知 且 ，函数 ， ，记 （ 1）求函数 的定义域及其零点； （ 2）若关于 的方程 在区间 内仅有一解，求实数的取值范围 . 答案：（ 1） ， 0；（ 2） 试题分析：（ 1） 均有意义时， 才有意义，即两个对数的真数均大于 0.解关于 x的不等式即可得出 的定义域，函数 的零点，即，整理得 ，对数相等时底数相同所以真数相等，得到 ，基础 x即为函数 的零点（ 2）即 ，应分 和 两种情况讨论 的单调性在求其值域。有分析可知 在这两种情况下均为单调函数，所以 的值
13、域即为 。解关于 m的不等式即可求得 m。所以本问的重点就是讨论 单调性求其值域。 试题：（ 1）解：（ 1） （ 且 ） ，解得 ， 所以函数 的定义域为 2分 令 ，则 （ *）方程变为 ， ，即 解得 ， 3分 经检验 是（ *）的增根，所以方程（ *）的解为 ， 所以函数 的零点为 ， 4分 （ 2） 函数 在定义域 D上是增函数 当 时， 在定义域 D上是增函数 当 时，函数 在定义域 D上是减函数 6分 问题等价于关于 的方程 在区间 内仅有一解， 当 时，由（ 2）知，函数 F（ x）在 上是增函数 只需 解得： 或 当 时，由（ 2）知，函数 F（ x）在 上是减函数 只需 解
14、得： 10分 综上所述，当 时： ；当 时， 或 （ 12分） 考点：对数函数的定义域，函数的零点，复合函数单调性 已知函数 （ 为常数），函数 定义为：对每一个给定的实数 ， （ 1）求证：当 满足条件 时，对于 , ； （ 2）设 是两个实数，满足 ，且 ，若 ，求函数在区间 上的单调递增区间的长度之和 .（闭区间 的长度定义为） 答案：（ 1）详见（ 2） 试题分析：（ 1）由分析可知 的式就是取 中较小的一个。所以等价于 ，将此不等式转化成指数函数不等式，根据指数的运算法则 ，应将 除过去用公式，再将不等式左边的 2也化为以 3为底的对数，依据的公式是 。再根据指数函数的单调性解同底的
15、对数不等式。最后根据绝对值不等式的性质放缩不等式，即可求解。（ 2）根据（ 1）中所证已知 时， ，图形关于 对称，且在 两侧单调性相反。若 则 为 的中点。即可求得函数 在区间 上的单调递增区间的长度。当 时，当 时 ，当 时 ，当 时解 图象交点的横坐标，根据图像得 的式。再根据图像得增区间，再求增区间的长度。 试题：（ 1）由 的定义可知， （对所有实数 ）等价于（对所有实数 ）这又等价于 ，即对所有实数 均成立 . （ *） 由于的最大值为 ， 故（ *）等价于 ，即 ，所 以当 时， （ 2）分两种情形讨论 （ i）当 时，由（ 1）知 （对所有实数 ） 则由 及 易知 ， 再由 的单调性可知， 函数 在区间 上的单调增区间的长度 为 （参见示意图 1） （ ii） 时，不妨设 ，则 ，于是 当 时，有 ，从而 ； 当 时，有 从而 ； 当 时， ，及 ，由方程 解得 图象交点的横坐标为 显然 ， 相关试题 2013-2014学年黑龙江省大庆铁人中学高一上学期期末数学试卷（带）
