1、2013届江西南昌 10所省重点中学高三第二次模拟突破冲刺文科数学（一）（带解析） 选择题 已知 是虚数单位， A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于 故选 B. 考点：复数的运算 点评：解决的关键是对于复数的虚数单位的运算的准确表示，以及乘法的运算法则的运用，属于基础题。 已知函数 f（ x） =|log2|x1|，且关于 x的方程 f（ x） 2+af（ x） +2b=0有 6个不同的实数解，若最小的实数解为 1，则 a+b的值为 A -2 B -1 C 0 D 1 答案： B 试题分析：根据题意，由于函数 f（ x） =|log2|x1|，且关于 x的方程 f（ x） 2+
2、af（ x） +2b=0有 6个不同的实数解，解：作出函数 f（ x） =|log2|x-1|的图象， 方程 f（ x） 2+af（ x） +2b=0 有 6 个不同的实数解， 如图所示：令 t=f（ x），方程 f（ x） 2+af（ x） +2b=0转化为： t2+at+2b=0则方程有一零根和一正根，又 最小的实数解为 -3 f（ -3） =1， 方程： t2+at+2b=0的两根是 0和 2，由韦达定理得： a=-2， b=0， a+b=-2，故选 B 考点：函数的与方程 点评：解决的关键是对于函数与方程的等价转化思想的运用，属于基础题。 在同一平面直角坐标系中 ,画出三个函数 , ,
3、的部分图象（如图），则（ ） A 为 ， 为 ， 为 B 为 ， 为 ， 为 C 为 ， 为 ， 为 D 为 ， 为 ， 为 答案： B 试题分析：根据三角函数 , , 的式可知，由于 , ,两个式相似，因此图像也相似可知 为 ，那么再结合振幅的大小可知，满足的图像依次为 为 ， 为， 为 ，故选 B. 考点：三角函数的图像 点评：解决的关键是利用三角函数的图像和性质判定，属于中档题。 若点 O 和点 F（ 2， 0）分别是双曲线 的中心和左焦点，点 P为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为 A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，设点 P（ m,n），则可知 ，同时满足 =，由于
4、 ，则可知c=2, ，那么结合二次函数的性质可知，数量积的范围是 ，故选 B. 考点：双曲线的方程以及性质 点评：解决的关键是根据通过向量的坐标表示来得到数量积的表达式，属于基础题。 在平面直角坐标系中，不等式组 （ a为常数）表示的平面区域的面积 8，则 x2+y的最小值 A B 0 C 12 D 20 答案： A 试题分析：根据题意，由于不等式组 （ a为常数）表示的平面区域的面积 8，那么可知 ，因此可知所求的表示为区域内点到原点距离的最小值问题，那么可知 目标函数的表示的最小值即为过点与直线 y=-x相切的情况，此时可知其在 y轴上的截距为 ，故选 A. 考点：线性规划 点评：解决的关
5、键是对于不等式表示的区域的理解以及目标函数的几何意义的运用，属于基础题。 已知一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 A B C D 答案： B 试题分析：根据题意可知该几何体是一个球体和一个半个圆柱体的组合体，球体的半径为 1，而圆柱体的半径为 1高为 2，那么可知其表面积为,故选 B. 考点：三视图的运用 点评：解决的关键是对于三视图还原为几何体结合几何体的表面积公式求解，属于基础题。 已知 、 、 是平面上不共线的三点，向量 ， 。设 为线段 垂直平分线上任意一点，向量 ，若 ， ，则 等于 A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于 、 、 是平面上不共线的三
6、点，向量 ，。设 为线段 垂直平分线上任意一点，则结合 ， ，取BA的中点 C，可知,故选 D. 考点：向量的数量积的运用 点评：解决的关键是对于数量积的表示以及运算，属于基础题。 已知 ， b= ， ，则执行如图的程序框图后输出的结果等于 A B C D其它值 答案： C 试题分析：根据指数函数和对数函数以及幂函数的性质可知， ，b= ， ，因此可知 ,是最大值，因此选 C. 考点：程序框图的运用 点评：解决的关键是对于框图的理解，表示的 为求解三个数中最大的数，属于基础题。 已知函数 ，则 “ ”是 “函数 在 R上 递增 ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充
7、分也不必要条件 答案： A 试题分析：对于函数函数 ，当 c=1，则可知函数在来两个区间都是增函数，那么要使得在整个实数域上递增，则只要满足 c+1 , ,故可知 是函数 在 R上递增 ”的充分而不必要条件，选 A. 考点：充分条件 点评：解决的关键是对于函数的单调性的运用，属于基础题。 设全集 U是实数集 R， M x|x2 4， N x|x3或 x 1都是 U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是 ( ) A x|-2x 1 B x|-2x2 C x|1 x2 D x|x 2 答案： A 试题分析：根据题意，由于全集 U是实数集 R， M x|x2 4= x2,x-2，N x|x3或 x 1
8、,因此可知 那么阴影部分表示的为,故选 A. 考点：集合的表示 点评：解决的关键是理解阴影部分表示的集合的含义，属于基础题。 填空题 下列 4个命题： 已知 则 方向上的投影为 ； 关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围是 ； 函数 为奇函数的充要条件是 ； 将函数 图像向右平移 个单位，得到函数 的图像 其中正确的命题序号是 （填出所有正确命题的序号）。 答案： 试题分析：根据题意， 已知 ，则两边平方可知， 则 方向上的投影为 ； 成立。 关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围是 ；应该是 错误。 函数 为奇函数的充要条件是 ；应该是 b=0,错误 。 将函数 图像向右平移 个单位，得到函
9、数 的图像，应该是 ，故错误，故填写 考点：向量的概念，三角函数图像，命题 点评：解决的关键是熟练向量的数量积和函数的性质，属于中档题。 设函数 f（ x） = 的最大值为 M，最小值为 N， 那么 M+N= _ 答案： 试题分析：根据题意，由于函数 f（ x） =， 那么可知 ， 则根据式可知哈数图像关于（ 0， 2011）对称 ，那么可知 M+N=4021. 考点：函数的 对称性的运用 点评：解决的关键是对于原函数式的变形来的到函数的性质，进而分析得到最值。属于基础题。 从平面区域 G=（ a， b） |0a1， 0b1内随机取一点（ a， b），则使得关于 x的方程 x2+2bx+a2=
10、0有实根的概率是 _ 答案： 试题分析：根据题意，由于从平面区域 G=（ a， b） |0a1， 0b1内随机取一点（ a， b），可知其面积为 1，那么使得关于 x的方程 x2+2bx+a2=0 有实根，则满足判别式 ，那么结合不等式表示的区域可知其区域表示的面积为 ，那么可知其概率为 ： 1= 。 考点：古典概型 点评：解决 关键是理解方程有实数根只要判别式大于等于零即可，得到 a， b的不等式求解概率值。属于基础题。 已知圆 C过点 A（ 1， 0）和 B（ 3， 0），且圆心在直线 上，则圆 C的标准方程为 。 答案： 试题分析：根据题意，由于圆 C过点 A（ 1， 0）和 B（ 3，
11、 0），则圆心在直线AB的中垂线 x=2上，即为且圆心在直线 上，故圆心坐标（ 2， 2），半径为 A（ 1， 0）与（ 2， 2）两点的距离公式可知为 ，因此可知圆的方程为考点：圆的方程的求解 点评：解决的关键是得到圆心和圆的半径，属于基础题。 已知 ，则 _。 答案： 试题分析：因为 ，故答案：为 考点：三角函数的化简 点评：解决的关键是利用二倍角公式化简为正切函数来求解，属于基础题。 解答题 已知 A、 B、 C是三角形 ABC的三内角，且 ，并且 （ 1）求角 A的大小。 （ 2） 的递增区间。 答案：（ 1） （ 2） 的递增区间为 试题分析：解：（ 1）由 ,得即 2分 由正弦定理
12、得 , 即 4分 由余弦定理得 , 又 ，所以 6分 （ 2） 9分 因为 ，且 B， C均为 的内角， 所以 ， 所以 ， 又 ， 11分 即 时， 为递增函数， 即 的递增区间为 12分 考点：三角函数的性质 点评：解决的关键是熟练的化简三角函数式，以及根据三角函数的性质来得到求解，属于基础题。 如图，正方形 的边长为 2. (1)在其四边或内部取点 ，且 ，求事件： “ ”的概率； (2)在其内部取点 ，且 ，求事件 “ 的面积均大于 ”的概率 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解： （ 1） 共 9种情形： 3分 满足 ，即 ，共有 6种 -5分 因此所求概率为 6分 （ 2）设
13、 到 的距离为 ，则 ，即 8分 到 、 、 、 的距离均大于 9分 概率为 - 12分 考点：几何概型和古典概型 点评：解决的关键是能够准确根据两个重要的概率模型来求解概率值，属于基础题。 如图，三棱锥 PABC 中， PA 底面 ABC， AB BC， DE垂直平分线段PC，且分别交 AC、 PC于 D、 E两点，又 PB=BC， PA=AB （ 1）求证： PC 平面 BDE； （ 2）若点 Q 是线段 PA上任一点，判断 BD、 DQ 的位置关系，并证明结论； （ 3）若 AB=2，求三棱锥 BCED的体积 答案：（ 1）根据线面垂直的判定定理来加以证明，关键是对于 DE PC的证明的
14、运用。 （ 2）点 Q 是线段 PA上任一点都有 BD DQ （ 3） 试题分析：解： （ 1）证明：由等腰三角形 PBC，得 BE PC，又 DE垂直平分 PC， DE PC，且 DEBE=E， PC 平面 BDE； 4分 （ 2）由（ ） PC 平面 BDE， BD 平面 BDE， PC BD 同理， PA 底面 ABC， PA BD， 6分 又 PAPC=P， BD 面 APC， DQ 面 APC， BD DQ 所以点 Q 是线段 PA上任一点都有 BD DQ 8分 （ 3） PA=AB=2， ， AB BC， S ABC= =2 AC=2 CD= = ， 9分 即 S DCB= S A
15、BC，又 E是 PC的中点 V BCED= S ABC PA= 12分 考点：几何体的体积，以及线面垂直 点评：解决的关键是熟练的运用空间中线面的垂直以及线线的垂直的判定定理和性质定理来证明，并利用体积公式求解，属于中档题。 已知函数 f（ x）的图象经过点（ 1， ），且对任意 x R， 都有 f（ x+1） =f（ x） +2数列 an满足 （ 1）当 x为正整数时，求 f（ n）的表达式；（ 2）设 =3，求 a1+a2+a3+a 2n； （ 3）若对任意 n N*，总有 anan+1 an+1an+2，求实数 的取值范围 答案：（ 1） 22n+n2（ 2） 的取值范围为（ 2， +）
16、 试题分析：解： （ 1）记 bn=f（ n），由 f（ x+1） =f（ x） +2有 bn+1bn=2对任意 n N*都成立， 又 b1=f（ 1） =，所以数列 bn为首项为 公差为 2的等差数列， 2分 故 bn=2n+2，即 f（ n） =2n+2 4分 （ 2）由题设 =3 若 n为偶数，则 an=2n1；若 n为奇数且 n3，则 an=f（ an1） =2an1+2=2 2n2+2=2n1+2=2n1+1 又 a1=2=1， 即 - 6分 a1+a2+a3+a2n=（ a1+a3+a2n1） +（ a2+a4+a2n） =（ 20+22+22n2+n1） +（ 21+23+22n
17、1） =（ 1+21+22+22n1） +n1=22n+n2 8分 （ 3）当 n为奇数且 n3时， an+1an+2anan+1=an+1（ an+2an） =2n2n+1+2（ 2n1+2） =3 22n1 0； 10分 当 n为偶数时， an+1an+2anan+1=an+1（ an+2an） =（ 2n+2）（ 2n+12n1） =3 2n1（ 2n+2），因为 anan+1 an+1an+2，所以 2n+2 0， n为偶数， n2， 2n+2单增 4+2 0，即 2 故 的取值范围为（ 2， +） 12分 考点：数列的求和， 以及数列单调性 点评：解决的关键是利用数列的通项公式以及数
18、列的单调性来得到证明，属于中档题。 函数 (1)当 时，求证： ； (2)在区间 上 恒成立，求实数 的范围。 (3)当 时，求证： ） 答案：（ 1）根据构造函数利用导数来得到函数的最小值，只要证明最小值大于等于零即可。 （ 2） （ 3）在第一问的基础上，结合 ，放缩法来得到证明。 试题分析：解： （ 1）明 :设 则 ,则 ,即 在 处取到最小值 , 则 ,即原结论成立 . 4分 （ 2） :由 得 即 ,另 , 另 , 则 单调递增 ,所以 因为 ,所以 ,即 单调递增 ,则 的最大值为 所以 的取值范围为 . 8分 （ 3） :由第一问得知 则 - 10分 则 13分 考点：函数的单
19、调性与导数的运用 点评：解决的关键是结合导数的符号来判定函数单调性，进而得到最值，并能证明不等式，属于中档题。 如图，已知直线 l： x=my+1过椭圆 的右焦点 F，抛物线：的焦点为椭圆 C的上顶点，且直线 l交椭圆 C于 A、 B两点，点 A、 F、B在直线 g： x=4上的射影依次为点 D、 K、 E（ 1）椭圆 C的方程；（ 2）直线 l交 y轴于点 M，且 ，当 m变化时，探求 1+2的值是否为定值？若是，求出 1+2的值，否则，说明理由；（ 3）接 AE、 BD，试证明当 m变化时，直线 AE与 BD相交于定点 答案： (1) (2) 当 m变化时， 1+2的值为定值 ； (3)当
20、 m变化时， AE与 BD相交于定点 试题分析：（ 1）知椭圆右焦点 F（ 1， 0）， c=1， 抛物线 的焦点坐标 ， b2=3 a2=b2+c2=4 椭圆 C的方程 4分 （ 2）知 m0，且 l与 y轴交于 ， 设直线 l交椭圆于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2） 由 - 5分 =（ 6m） 2+36（ 3m2+4） =144（ m2+1） 0 6分 又由 同理 - 7分 所以，当 m变化时， 1+2的值为定值 ； 9分 （ 3）：由（ 2） A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， D（ 4， y1）， E（ 4， y2） 方法 1） 10分 当 时， = 12分 点 在直线 lAE上， 13分 同理可证，点 也在直线 lBD上； 当 m变化时， AE与 BD相交于定点 14分 方法 2） 10分 - 11分= 12分 kEN=kAN A、 N、 E三点共线， 同理可得 B、 N、 D也三点共线； 13分 当 m变化时， AE与 BD相交于定点 14分 考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系 点评：解决的关键是对于椭圆的几何性质的表示，以及联立方程组的思想结合韦达定理来求解，属于基础题。
