1、2013届河南郑州盛同学校高三 4月模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 ， ，则 中元素个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析： ， ， 中元素个数为1个，故选 B 考点：本题考查了集合的概念及运算 点评：求解集合运算问题可应用数轴或韦恩图来描述 “交 ”“并 ”“补 ”运算，从而使抽象问题形象化，增加计算的准确性 . 设函数 则 的值为 （ ） A a, b中较大的数 B a, b中较小的数 C a D b 答案： A 试题分析：当 ab时， a-b0,f(a-b)=-1， ;当 ab时， a-b0,f(a-b)=1， . 函数 则的值为 a, b中较大的
2、数，故选 A 考点：本题考查了分段函数的运用 点评：熟练掌握分段函数的概念是解决此类问题的关键，属基础题 如图，在 ABC中， CAB= CBA=30， AC、 BC 边上的高分别为 BD、AE， 则以 A、 B为焦点，且过 D、 E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 （ ） A B 1 C 2 D 2 答案： A 试题分析：根据题意，设 AB=2c，则 AE=BD=c， BE=AD= c ， 在以 A， B为焦点，且过 D， E的椭圆中，离心率 = ，以 A， B为焦点，且过 D， E的双曲线中，离心率 = ，椭圆与双曲线的离心率的倒数和为： ，故选 A 考点：本题考查了双曲线的性质和应用 点
3、评：解题时要认真审题，注意公式的灵活运用 若函数 的图象的顶点在第四象限，则其导函数 的图象可能是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 函数 的图象的顶点在第四象限， ， b0.由 的斜率为正，截距为负，故选 C 考点：本题考查了导数的运用及直线方程的图象 点评：掌握导数的运算及一元二次函数、一次函数图象是解决此 类问题的关键，属基础题 正方体 ABCDA 1B1C1D1 中， EF 是异面直线 AC 和 A1D 的公垂线，则 EF和 BD1的关系是 （ ） A相交但不垂直 B垂直相交 C异面 D平行 答案： D 试题分析：建立以 D1为原点的空间直角坐标系 D1-xyz，且设正方形
4、的边长为 1，所以就有 D1（ 0， 0， 0）， B（ 1， 1， 0）， A1（ 1， 0， 0）， D（ 0， 0， 1）， A（ 1， 0， 1）， C（ 0， 1， 1），所以 =（ -1， 0， 1）， =（ -1， 1， 0），=（ -1， -1， 1） ,所以 =-1+1=0 所以 A1D BD1， =1-1=0 ,所以 AC BD1，所以 BD1与 A1D和 AC 都垂直 ,又 EF 是 AC、 A1D的公垂线， BD1 EF,故选 D 考点：本题考查了空间中直线与直线之间的位置关系 点评：建立空间坐标系，借助向量分析直线与直线之间的位置关系是解答本题的关键，这样降低了题目的
5、难度，把纯理论的东西用数字的运算来解决 已知 ，且 ，则锐角 的值（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，且 ， ， ，又 为锐角，所以 ， ，故选 C 考点：本题考查了向量的坐标运算及三角函数运算 点评：熟练掌握向量的坐标运算及特殊三角函数值是解决此类问题的关键，属基础题 命题 :函数 （ 且 ）的图像恒过点 ；命题 ：函数 有两个零点 . 则下列说法正确的是 A “ 或 ”是真命题 B “ 且 ”是真命题 C 为假命题 D 为真命题 答案： A 试题分析：对于命题 p： :函数 （ 且 ）的图像恒过点（ 0，-1），错误，对于命题 q：函数 有两个零点，正确 . “ 或 ”是真命
6、题，故选 A 考点：本题考查了函数与简易逻辑的综合运用 点评：熟练掌握两个命题的真假及真值表的运用是解决此类问题的关键，属基础题 下列函数中，周期为 ，且在区间 上单调递增的函数是 A B C D 答案： C 试题分析：易知这些选项的周期都为 ， ， ，根据 y=sinx和 y=cosx的单调性可知， 在区间 上为单调递增的，故选 C 考点：本题考查了三角函数的性质 点评：熟练掌握常见三角函数的单调性及性质是解决此类问题的关键，属基础题 等差数列 前 项和 ， ，则公差 d的值为 A 2 B 3 C 4 D -3 答案： B 试题分析： ， ，故选 B 考点：本题考查了等差数列的通项及求和公式
7、 点评：熟练掌握等差数列的通项公式及求和公式是解决此类问题的关键，属基础题 复数 的共轭复数是 A B C 1 D 答案： A 试题分析： ， 复数 的共轭复数是 i，故选 A 考点：本题考查了复数的概念及运算 点评：掌握复数的概念及运算是解决这类问题的关键 .复数乘除运算是运算复数的难点，也是复数考查的必考内容，在乘法运算中，类比多项式的乘法，但要注意 i的幂的性质 填空题 将含有 3n个正整数的集合 M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、 B、 C，其中 ， ， ，若 A、 B、C中的元素满足条件： ， ， 1,2， ， ，则称为 “完并集合 ”. （ 1）若 为 “完并集合
8、 ”，则 的一个可能值为 .（写出一个即可） （ 2）对于 “完并集合 ” ，在所有符合条件的集合中，其元素乘积最小的集合是 . 答案：（ 1） 7,9,11 中任一个 （ 2） 试题分析：（ 1）若集合 A=1,4， B=3,5，根据完并集合的概念知集合 C=6，x， x=4+3=7, 若集合 A=1,5， B=3,6，根据完并集合的概念知集合C=4， x， x=5+6=11, 若集合 A=1,3， B=4,6，根据完并集合的概念知集合 C=5， x， x=3+6=9,故 的一个可能值为 7,9,11 中任一个；（ 2）若A=1,2,3,4， B=5,8,7,9，则 C=6,10,12,11
9、，若 A=1,2,3,4， B=5,6,8, 10 ，则 C=7,9,12,11，这两组比较得元素乘积最小的集合是 考点：本题考查了集合的新定义的运用 点评：这类题型的特点是在通过假设来给出一个新概念，在新情景下考查考生解决问题的迁移能力，要求解题者紧扣新概念，对题目中给出的条件抓住关键的信息，进行整理、 加工、判断，实现信息的转化 已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 . 答案： 试题分析：由题意 3m-5n=2m+3n， m=8n， 双曲线的渐近线方程是考点：本题考查了圆锥曲线的性质 点评：熟练掌握椭圆和双曲线的 a,b,c及性质是解决此类问题的关键，属基础题 在 A
10、BC中，已知 ,则 的值是 . 答案： 试题分析： ， ，再由得 ， = 考点：本题考查了正余弦定理的运用 点评：掌握正余弦定理及其变形是解决此类问题的关键，属基础题 已知圆 的参数方程为 为参数 )，以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 , 则直线被圆所截得的弦长是 . 答案： 试题分析： ， 圆 C的方程为 ，又直线的极坐标方程为 , 直线的方程为 2x+y-1=0, 圆心 (0,2)到直线2x+y-1=0的距离为 ， 直线被圆所截得的弦长是 考点：本题考查了极坐标、参数方程与普通方程的互化及直线与圆的位置关系 点评：熟练掌握极坐标、参数方程与普通方程的互化及
11、直线与圆的位置关系是解决此类问题的关键，属基础题 若实数 , 满足约束条件 , 则目标函数 的最小值为_. 答案： 试题分析：实数 , 满足约束条件 如图阴影部分， 平移直线 2x+y=0到点 A（ 1,2）时， z=2x+y有最小值 2+2=4 考点：本题考查了线性规划的运用 点评：正确作出可行域是解决此类问题的关键，另外还要掌握常见线性规划问题的解法 解答题 设 F1、 F2 分别为椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右两个焦 点。（ 1）若椭圆 C上的点 A（ 1， ）到 F1、 F2两点的 距离之和等于 4，写出椭圆 C的方程和焦点坐标； （ 2）设点 K 是（ 1）中所得椭圆上的动
12、点，求线段 F1K 的中点的轨迹方程 . 答案：（ 1）椭圆 C的方程为 =1，焦点 F1（ -1， 0）， F2（ 1， 0） ;（ 2） 试题分析：（ 1）椭圆 C的焦点在 x轴上， 由椭圆上的点 A到 F1、 F2两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2. （ 2分） 又点 A（ 1， ）在椭圆上，因此 =1得 b2=3，于是 c2=1. （ 4分） 所以椭圆 C的方程为 =1，焦点 F1（ -1， 0）， F2（ 1， 0） （ 6分） （ 2）设椭圆 C上的动点为 K（ x1， y1），线段 F1K 的中点 Q（ x， y）满足： ， 即 x1=2x+1， y1=2y. （ 1
13、0分） 代入 =1得 =1. 即 为所求的轨迹方程 . （ 14分） 考点：本题考查了椭圆方程的求法及轨迹方程的求法 点评：处理轨迹问题时往往用到以下要注意用到这个方法：（ 1）结合几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（ 2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（ 3）如果点P的运动轨迹或所在曲线已知，又点 Q 与点 P之间的坐标可以建立某种关系，则借助点 P的轨迹可以得到点 Q 的轨迹；（ 4）参数法 如图，三棱锥 中， 底面 ABC于 B， =900，点 E、 F分别是 PC、 AP 的中点。 （ 1）求证： 侧面 ； （ 2）求异
14、面直线 AE与 BF 所成的角； 答案：（ 1）利用线面垂直证明面面垂直；（ 2） 试题分析： 考点：本题考查了空间中的线面关系 点评：证明线面关系的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理，求夹角往往利用向量法处理 2005年 10月 12日，我国成功发射了 “神州 ”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步。已知火箭的起飞重量 M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量 m和燃料重量 x之和。在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度 y关于 x的函数关系式为：当燃料重量为 吨（ e为 自然对数的底数， ）时，该火箭的最大速度为 4（ km/s） . （ 1）求火箭的最大
15、速度 与燃料重量 x吨之间的函数关系式 ； （ 2）已知该火箭的起飞重量是 544吨 ，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到 8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？ 答案：（ 1） （ 2）应装载 344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道 试题分析：（ 1）依题意把 代入函数关系式 （ 4分） 所以所求的函数关系式为 整理得 （ 7 分） （ 2）设应装载 x吨燃料方能满足题意，此时， （ 10分） 代入函数关系式 （ 13分） 即 应装载 344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道 （ 14分） 考点：本题考查了函数的运用 点评：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程
16、、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题。解答这类问题的关键是确切建立相应的函数式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答 某校高一某班的一次数学测试成绩（满分 100分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污染，但可见部分如下，据此解答如下问题： ( ) 求分数在 50,60)的频率及全班人数； ( ) 求分数在 80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中 80,90)间的矩形的高； （ ）若要从分数在 80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在 90,100之间的概率 . 答案： ( )分数在 50,60
17、)之间的频数为 2，所以全班人数为 ， ( ) 0.016，（ ） 0.6 试题分析： ( ) 分数在 50,60)的频率为 0.00810 0.08， 由茎叶图知：分数在 50,60)之间的频数为 2，所以全班人数为 ， 3分 ( ) 分数在 80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2 4； 频率分布直方图中 80,90)间的矩形的高为 . 6分 （ ）将 80,90)之间的 4个分数编号为 1,2,3,4， 90,100之间的 2个分数编号为5,6， 在 80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为： (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,3)，
18、 (2,4)， (2,5)， (2,6)， (3,4)， (3,5)， (3,6)， (4,5)， (4,6)， (5,6)共 15个， 其中，至少有一个在 90,100之间的基本事件有 9个， 故至少有一份分数 在 90,100之间的概率是 12分 考点：本题考查了频率分布直方图的运用及古典概型的求法 点评：注意频率分布直方图中用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率，所以在求面积时，通过已知求出所要区间的面积即可 设椭圆 C： 过点 , 且离心率 ( )求椭圆的方程； ( )过右焦点 的动直线交椭圆于点 ，设椭圆的左顶点为 连接且交直线 于 ，若以 MN 为直径的圆恒过右焦点 F，求 的值 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( ) 由题意知 ， ，解得 5分 ( ) 设 ， （ i） K 存在时，设直线 联立 得 8分 又 同理 10分 解得 . 12分 （ ii） 当 k不存在时， 为等腰 ， 由 C、 B、 M三点共线得 综上 . 14分 考点：本题考查了直线与椭圆的位置关系 点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式
