1、2014届四川成都外国语学校高三 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，集合 ，则下列各式中正确的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： =（ 0， + ）， =（ 1， +），所以 ，故选 A. 考点： 1.指数函数和对数函数的性质； 2.集合间的关系 . 已知 R上的连续函数 g(x)满足： 当 时， 恒成立 ( 为函数 的导函数 )； 对任意的 都有 ，又函数 满足：对任意的 ，都有 成立。当 时，。若关于 的不等式 对恒成立 ,则 的取值范围是（ ） A B C D 或 答案： D 试题分析：因为函数 g（ x）满足：当 x 0时， g（ x） 0 恒成立
2、，且对任意x R都有 g（ x） =g（ -x），所以函数 g（ x）是 R上的偶函数且在 0， +）上为单调递增函数，且有 g（ |x|） =g（ x），所以 g|f（ x） |g（ a2-a+2）在 R上恒成立， |f（ x） |a2-a+2|对 恒成立， 只要使得定义域内 |f（ x） |max|a2-a+2|，由于当 时， , 令 =0 解得 x=-1 或 x=1，可得函数 在（ 和（ 1， + ）上是增函数，在（ -1,1）上是减函数， f（ -1） =2 是 极大值， f（ 1） =-2 是极小值 . 所以函数 在 -1和 1, 上是增函数，在（ -1,1）上是减函数， 即 f（
3、） f（ ） =f（ = f（ =f（ = , 所以函数 在 -1和 1, 上最大值是 2.所以 2|a2-a+2|，解得 或 ，故选 D. 考点： 1.函数的周期性； 2.抽象函数及其应用 已知函数 与 轴相切于 点，且极小值为 ，则 （ ） A 12 B 15 C 13 D 16 答案： B 试题分析： = 与 轴相切于 点，所以 =0 有两个相等的实数根，即 = ，所以 （ 1），设极小值点为（ s， -4），而 ，所以（ 2）， （ 3），解由（ 1）（ 2）（ 3）组成的方程组可解得 ，所以 15.故选 B. 考点： 1.函数的导数； 2.导数的性质 . 某校周四下午第五、六两节是选
4、修课时间 ,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课 ,丙、丁教师各自最多可以开设一节课 .现要求第五、六两节课中每节课恰有两位教师开课 (不必考虑教师所开课的班级和内容 ),则不同的开课方案共有（ ）种。 A 20 B 19 C 16 D 15 答案： B 试题分析：法一：枚举可得，有下列的开课方案： （ 1）第五节：甲，乙，第六节：甲，乙；（ 2）第五节：甲，乙，第六节：甲，丙（丁）；（两种） （ 3）第五节：甲，乙，第六节：乙，丙（丁）；（两种）（ 4）第五节：甲，丙（丁），第六节：甲，乙；（两种）（ 5）第五节：乙，丙（丁），第六节：甲，乙；（两种）（ 6
5、）第五节：甲，乙，第六节：丙，丁；（ 7）第五节：甲，丙，第六节：甲，丁；（ 8）第五节：甲，丙，第六节：乙，丁；（ 9）第五节：乙，丙，第六节：甲，丁；（ 10）第五节：乙，丙，第六节：乙，丁；（ 11）第五节：甲，丁 ，第六节：甲，丙；（ 12）第五节：甲，丁，第六节：乙，丙；（ 13）第五节：乙，丁，第六节：甲，丙；（ 14）第五节：乙，丁，第六节：乙，丙；（ 15）第五节：丙，丁，第六节：甲，乙； 综上所述，一共有 19种开课方案 . 法二：开课方案可以分一下几种情况：（ 1）丙丁都不上课，有 1 种方案；（ 2）丙丁有一个老师上课，有 (2+2)2=8种方案； (3）丙丁老师都上课
6、,有1+4+4+1=10种方案 .根据分类加法计数原理可得共有 1+8+10=19种开课方案 . 考点：排列组合 .已知 且 ，函数 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. . . . 答案： C 试题分析：假设 a1,则 A,B,C,D四个选项都不满足条件，所以 01，所以排除 A， B选项， D选项中直线的截距 a1，所以排除 D，故选 C. 考点：指数函数、对数函数的图象和性质 . 执行如图的程序框图，如果输入 p=8,则输出的 S=（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由程序框图可知，输出的 S=0+ = ，故选 C. 考点：程序框图和循环赋值 . 已知正方体 的棱长为 ， ，
7、点 N 为 的中点， 则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：以 为原点，分别以 所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，则 A（ 0,0， a）， N（ a， 0， ）， (a,a， 0)，设 M（ x， y，z），因为 ，所以（ x-0， y-0， z-a） = （ a-x， a-y， 0-z）即 ，解得 ，即 M（ , , ），所以 = ，故选 A. 考点：空间向量的坐标运算和向量的模 . 要得到一个奇函数，只需将 的图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 答案： C 试题分析： =2 ，而是奇函数，故选 C. 考
8、点：函数图象和性质 . 设等差数列 的前项和为 ，若 ， ，则 等于（ ） A 180 B 90 C 72 D 100 答案： B 试题分析：因为 2 =9+11=20，所以 ， =9 =90，故选 B. 考点： 等差数列的性质和前 n项和 设 是虚数单位，则 等于（ ） A 0 B C D 答案： D 试题分析： = = = ，故选 D. 考点：复数的运算和几何意义 . 若 展开式中各项的二项式系数之和为 32，则该展开式中含 的项的系数为 答案： -80 试题分析：由题意可知， ，所以 n=5， T =，由 解得 ，所以该展开式中含的项的系数为 =-80. 考点：二项定理及其性质 . 填空
9、题 若对任意 ， ，（ 、 ）有唯一确定的 与之对应，称 为关于 、 的二元函数 . 现定义满足下列性质的二元函数 为关于实数 、 的广义 “距离 ”: （ 1）非负性 : ，当且仅当 时取等号； （ 2）对称性 : ； （ 3）三角形不等式 : 对任意的实数 z均成立 . 今给出个二元函数 : ； ； ； .则能够成为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数的所有序号是 . 答案：（ 1） 试题分析：对于 ， f（ x， y） =|x-y|0满足（ 1）， f（ x， y） =|x-y|=f（ y， x）=|y-x|满足（ 2）； f（ x， y） =|x-y|=|（ x-z） +（ z-y）
10、|x-z|+|z-y|=f（ x， z） +f（ z， y）满足（ 3） 故 能够成为关于的 x、 y的广义 “距离 ”的函数；对于 不满足（ 3）；对于 不满足（ 2）；对于 不满足（ 1）（ 2），故答案：为 考点： 1.函数的概念及其构成要素 已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b 1,且 a (0,3)，则对于任意的 b R,函数 F(x)=f(x) x总有两个不同的零点的概率是 答案： 试题分析： F（ x） =ax2+（ b+1） x+b-1-x=ax2+bx+b-1， 函数 F（ x）总有两个不同的零点，所以 =b2-4ab+4a 0恒成立 ,令 f（ b） =b2-4ab
11、+4a 0 只需要 =16a2-16a 0 0 a 1 所以，由几何概率的公式可得，所求的概率 P= ，故答案：为 . 考点： 1.几何概型； 2.函数的零点与方程根的关系 设 ， 满足条件 则点 构成的平面区域面积等于 . 答案： 试题分析：约束条件 的可行域是如图所示正方形区域， 矩形区域的面积为： AB AD= =2. 考点 :线性规划 . 已知 则 = 答案： 试题分析：因为 所以 = ，所以 = . 考点：同角三角函数的基本关系 . 解答题 集合 ， ，若命题 ，命题 ，且 是 必要不充分条件，求实数 的取值范围。 答案： 试题分析：首先化简 得 ,即，然后求出集合 ,由于 是 必要
12、不充分条件得到，所以 且 解之即可 . 试题：解：5分 故 6分 在 为减函数，故 ， 8分 又命题 ，命题 ， 是 必要不充分条件，故 10分 且 ，从而 12分， 考点： 1.充分必要条件； 2.两角和差公式和正弦函数的性质； 3.集合间的关系 . 三棱锥 P ABC中， PA 平面 ABC， AB BC。 （）证明：平面 PAB 平面 PBC； （）若 PA= ， PC与侧面 APB所成角的余弦值为 ， PB与底面 ABC成 60角，求二面角 BPCA的大小。 答案：（ 1）证明详见；（ 2） 60 试题分析：（ ）先利用线面垂直的判定定理证明 BC 平面 PAB，再利用面面垂直的判定定
13、理证明平面 PAB 平面 PBC；（ 2）过 A作则 DEFA为所求 .然后求出 AB=,PB=2 ,PC=3及 AE,AF，在 Rt AEF中求解即可 . 试题： (1)证明： PA面 ABC,PABC, ABBC,且 PAAB=A,BC面 PAB 而 BC面 PBC中 ,面 PAB面 PBC. 5 分 (2)过 A作 则 DEFA为 B PC A的二面角的平面角 8分 由 PA= ,在 RtDPBC 中 ,cosDCPB= . RtDPAB中 ,DPBA=60. AB= ,PB=2 ,PC=3 AE= = 同理： AF= 10分 sin = = , 11分 =60. 12分 另解：向量法：
14、由题可知： AB= ,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系 7分 B(0,0,0),C(1,0,0),A(0, ,0),P(0, , ),假设平面 BPC的法向量为 =(x1,y1,z1), 取 z1= ，可得平面 BPC法向量为 =(0, 3 , ) 9分 同理 PCA的法向量为 =(2, ,0) 11分 cos= = , 所求的角为 60 12分 考点： 1. 平面与平面垂直的判定； 2.直线与平面所成的角和二面角 中国航母 “辽宁舰 ”是中国第一艘航母， “辽宁 ”号以 4台蒸汽轮机为动力 ,为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了 170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技
15、术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 、 、 。指标甲、乙、丙合格分别记为 4分、 2分、 4分；若某项指标不合格，则该项指标记 0分，各项指标检测结果互不影响。 (I)求该项技术量化得分不低于 8分的概率； (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变 量 X,求 X的分布列与数学期望。 答案：（ 1） (II)分布列详见； 试题分析： (I) 记甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件 、 、 ,则 +为得分不低于 8分事件，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式求解即可 .(II)写出三
16、个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X的所有可能取值，然后计算相应的概率，列表记得分布列，最后根据数学期望公式求得期望值 . 试题：解 :( )该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件 、 、 , 则事件 “得分不低于 8分 ”表示为 + . 与 为互斥事件，且 、 、 为彼此独立 + = ( )+ ( ) = ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( )= 5分 ( )该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数 的取值为 0,1,2,3. 6分 = ( )= = , = ( + + )= + + = , = ( + + )= + + = , = ( )= = ,
17、10分 随机变量 相关试题 2014届四川成都外国语学校高三 12月月考理科数学试卷（带） 如图，海上有 两个小岛相距 10 ，船 O 将保持观望 A岛和 B岛所成的视角为 ，现从船 O 上派下一只小艇沿 方向驶至 处进行作业，且设 。 （ 1）用 分别表示 和 ，并求出 的取值范围； （ 2）晚上小艇在 处发出一道强烈的光线照射 A岛， B岛至光线 的距离为，求 BD的最大值 答案：（ 1） ； ， （ 2）10 试题分析：（ 1）在 和 中，分别用余弦定理 AC， AB，然后两式相加即得 的表达式；两式相减即得 的表达式，由和 确定 x的取值范围 .（ 2）由、 和 可得到关于 BD的函数
18、式，然后通过求导，求出 BD的最大值 . 试题：解：（ 1）在 中， ， ， 由余弦定理得， ， 又 ， 所以 ， 1分 在 中， ， 由余弦定理得， ， 3分 + 得 ， 得 ，即 ， 4分 又 ，所以 ，即 ， 又 ，即 ， 所以 6分 （ 2）易知 ， 故 ， 8分 又 ，设 ， 所以 ， 9分 又 10分 则 在 上是增函数， 所以 的最大值为 ，即 BD的最大值为 10 12分 （利用单调性定义证明 在 上是增函数，同样给满分；如果直接说出 上是增函数，但未给出证明，扣 2分） 考点： 1.余弦定理； 2.函数的导数及其导数性质的应用 . 已知数列 中 , 且点 在直线 上。 (1)
19、求数列 的通项公式； (2)若函数 求函数的最小值； (3)设 表示数列 的前项和 .试问 :是否存在关于 的整式 ,使得 对于一切不小于 2的自然数 恒成立？若存在，写出 的式，并加以证明；若不存在 ,试说明理由。 答案：（ 1） =n （ 2） （ 3）存在，证明详见 试题分析：（ 1）把点 P（ ）代入直线 x y 1=0得到 ，可知数列 是等差数列 .最后写出等差数列的通项公式 =n.（ 2）首先求出的表达式，通过判断 的符号，确定 的单调性，从而求出最小值 .（ 3）求出 ， Sn的表达式，可得 ， 由该递推公式可得到 ，即，故 . 试题：（ 1） 点 P（ ）在直线 x y 1=0
20、上，即 且 a1=1， 数列 是以 1为首项， 1为公差的等差数列 .（ 2） =n（ ） a1=1满足 =n，所以数列 的通项公式为 =n. （ 2） 是单调递增，故 的最小值是 （ 3） ， 即 ，. 故存在关于 n的整式 使等式对一切不小于 2的自然数 n恒成立 . 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.数列的前 n项和和增减性； 3.数列的递推公式 已知函数 . (I)当 时 ,求 的单调区间 ( )若不等式 有解 ,求实数 m的取值菹围； ( )定义：对于函数 和 在其公共定义域内的任意实数 ，称的值为两函数在 处的差值。证明 :当 时 ,函数 和在其公共定义域内的所有差值都大干 2
21、。 答案： (I) a=0时， f（ x）在（ 0， + ）上单调递增；当 a0 或 0，所以 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增； 2.当 a0，所以 f（ x）在 上单调递增； 时， 0，所以 f（ x）在 上单调递减 . 综上所述， a=0时， f（ x）在（ 0， + ）上单调递增；当 a0时， f（ x）在上单调递增； f（ x）在 上单调递减 . ( ) 由题意 有解，即 有解， 因此只需 有解即可 . 设 ，则 因为 ，且 时， . 所以 0，即 0， 故 h（ x）在 单调递减， 所以 h（ x） h(0)=0,故 m0. ( )当 a=0时， ， f（ x）与 g（ x）的公共定义域为 ， 设 ，则 ， 在 上单调递增，所以 . 又设 则 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 所以 x=1为函数 的极大值点，即 ，故. 即公共定义域内任一点差值都大于 2. 考点： 1.函数的导数； 2.导数的性质； 3.不等式的证明 .
