1、2014届广东省惠州市高三 4月模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的定义域为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由二次根式的定义可得 ,所以函数 的定义域为,故选 A. 考点：定义域 一次不等式 设命题 ：函数 的图象向左平移 个单位长度得到的曲线关于 轴对称； 命题 ：函数 在 上是增函数则下列判断错误的是（ ） A 为假 B 为真 C 为假 D 为真 答案： D 试题分析：命题 p,函数 的图像向左平移 个单位长度得到的函数式为 ,因为 不是偶函数 ,所以不关于 y轴对称 ,即命题 p为假命题 .命题 q,如图作出 的函数图像可以发现该函数在区间 上是单调递减的
2、 ,在区间 是单调递增的 ,所以命题 q也是假命题 ,根据真值表可得 为假命题 ,所以 D是错误的 ,故选 D 考点：命题真假 三角函数 指数函数域图像变化 真值表 已知 ，则 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：观察 的通项公式不难发现 ,则,所以 ,故选 C. 考点：数列 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面。下列四个命题正确的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据面面平行的定义可得两个面平行 ,任意一个面内的直线一定平行另外一个面 ,所以根据面面平行的性质可得选项 A是正确的 .故选 A. 考点：面面平行的性质 已知椭圆 的长轴在 轴上，焦距为 ，则 等于
3、 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为焦距为 4,所以 ,因为椭圆 的焦点在x轴上 ,所以 ,根据 ,故选 A. 考点：椭圆 焦点 用二分法求方程 的近似解，可以取的一个区间是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：等式 可以变为 ,则方程 的根为函数 的零点 ,分别带入点 可得,故根据零点存在性定理可得在区间 内有零点 ,所以方程 的根在区间内 ,故选 C 考点：零点存在性定理 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果 直角三角形的直角边长为 ，那么这个几何体的体积为 ( ) A BC D 答案： D 试题分析：根据该几何体的三视图可以判断
4、该几何体为三棱锥 ,且根据正视图可以知道三棱锥的高 ,根据俯视图可以知道三棱锥的底面为等腰直角三角形 ,则底面面积为 ,根据三棱锥的体积计算公式可得 ,故选D. 考点：三视图 三棱锥 是虚数单位，若 ，则 等于（ ） A B C D答案： B 试题分析：有题可得 ,根据复数模的计算公式可得,故选 B. 考点：复数乘法 复数的模 不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：分式不等式 ,所以不等式的解集为 ,故选 B. 考点：分式不等式 已知向量 ，则向量 的坐标为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ,则根据向量加法的坐标运算可得,故选 D. 考点：向量的坐标运
5、算 填空题 如右图所示， 是圆 外一点，过 引圆 的两条割线 答案： 试题分析：因为 为圆 O的两条割线 ,所以由割线定理可得考点：割线定理 在平面直角坐标系下，曲线 ，曲线.若曲线 有公共点，则实数 的取值范围是_ 答案： 试题分析：曲线 消元化为普通方程可得 ,即为一条直线 ,曲线化为普通方程可得 ,即为圆 ,因为圆与直线有公共点 ,所以圆心到直线的距离小于或等于半径 ,即 ,故填. 考点：参数方程 圆与直线的位置关系 设一直角三角形的两条直角边长均是区间 上的任意实数，则斜边长小于 的概率为 答案： 试题分析：不妨设直角三角形的两条直角边长为 ,则 表示的区域如图所示为一个边长为 1的正
6、方形 ,即面积 ,根据勾股定理可得斜边长,则根据题意可得 ,即点 在以为圆心 ,半径为 的圆内 ,则即在园内又在正方形区域内的面积为,则根据几何概型的概率计算公式可得 ,故填. 考点：几何概型 勾股定理 程序框图（即算法流程图）如下图所示，其输出结果是 答案： 试题分析：运行该程序框图如下 故填 127 考点：程序框图 已知点 满足 ，则 的最小值是 答案： 试题分析：根据线性规划的知识画出 不等式 的可行域如图所示 ,则目标函数 在交点 处取得最小值为 ,故填 . 考点：线性规划 解答题 已知函数 （ 1）求 的值； （ 2）若 ，且 ，求 . 答案： (1) (2) 试题分析： (1)直接
7、把 带入函数 的式 ,再根据 即可得到的值 . (2)利用余弦的降幂公式化简 ,再利用关于 的辅助角公式即可化简函数 的式得到 ,把 带入函数,利用正弦的和差角公式展开 ,根据题目已知 ,再根据正余弦之间的关系与 为第二象限角 (即角 的余弦值为负数 )即可求的 ,把 的值带入 的展开式即可得到 的值 . 试题： (1) 2分 (2) 4分 6分 8分 10分 因为 ，且 ，所以 11分 所以 12分 考点：三角函数辅助角公式降幂公式正余弦关系 某校高三（ 1）班共有 名学生，他们每天自主学习的时间全部在 分钟到 分钟之间，按他们学习时间的长短分 个组统计 ,得到如下频率分布表： 组别 分组
8、频数 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 （ 1）求分布表中 ， 的值； （ 2）王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这 名学生中抽取 名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？ （ 3）已知第一组学生中男、女生人数相同，在（ 2）的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？ 答案： (1) (2) (3) 试题分析： (1)第二组的频数已知 ,则根据根据频率的计算公式 (频率 =频数除以总数 )即可得到频率 s,再利用各组频率之和为 1,即可计算得到第五组的频率 t. (2)根据抽样的原理 ,即在抽样过程中 ,保持每个个体被抽到的可能性相同 ,则要在40人
9、中抽去 20人 ,即抽取的比列为 0.5,在第一组学生中抽取的比列也为 0.5,即需要 2人 . (3)由 (2)可以知道为 4选 2,首先对 4个人进行编号 ,然后列出 4抽 2的所有的基本事件 ,并计算得到满足抽取的两个人一个为女生 ,一个为男生的基本事件数 ,根据古典概型的概率计算公式即可得到相应的概率 . 试题： （ 1） ， 4分 （ 2）设应抽取 名第一组的学生，则 得 故应抽取 2名第一组的学生 6分 （ 3）在（ 2）的条件下应抽取 2名第一组的学生，记第一组中 2名男生为 ，2名女生为 按时间用分层抽样的方法抽取 2名第一组的学生共有 种结果，列举如下： 9分 其中既有男生又
10、有女生被抽中的有 这 4种结果， 10分 所以既有男生又有女生被抽中的概率为 . 12分 考点：古典概型频率频数分层抽样 如图 1，在直角梯形 中， ， ，且 现以 为一边向梯形外作正方形 ，然后沿边 将正方形 翻折，使平面 与平面 垂直， 为 的中点，如图 2 （ 1）求证： 平面 ; （ 2）求证： ; （ 3）求点 到平面 的距离 . 答案：（ 1）见（ 2）见 (3) 试题分析： (1)要证明线面平行 ,取 中点 ，连结 ,其中线段 BN在面 BEC中 ,根据线面平行的判断 ,只需要证明线段 BN与 AM平行即可 ,根据 MN为所在线段的中点 ,利用中位线定理即可得到 MN平行且等于
11、DC的一半 ,题目已知 AB平行且等于 DC的一半 ,则可以得到 MN与 AB平行且相等 ,即四边形 ABMN为平行四边形 ,而 AM与 BN为该平行四边形的两条对边 ,则 AM与 BN平行 ,即得到线段AM平行于面 BEC. (2)题目已知面 ABCD与 ADEF垂直且 ED垂直于这两个面的交线 ,根据面面垂直的性质定理可得线段 ED垂直于面 ABCD,再根据线面垂直的性质可得到 BC垂直于 ED,根据梯形 ABCD为直角梯形和边长关系和勾股定理可以得到 BC与 BD垂直 ,即线段 BC与面 BED中两条相交的线段 ED,BD相 互垂直 ,根据线面垂直的判断即可得到线段 BC垂直于面 BED
12、 (3)要求点面距离可以考虑利用三棱锥 体积的等体积法 ,即分别以 D点和E点作为顶点求解三棱锥 D-BEC的体积 ,当以 E作为顶点时 ,DE为高 ,三角形BCD为底面 ,求出高和底面积得到三棱锥的体积 ,当 D为顶点 ,此时 ,高为 D到面BEC的距离 ,而三角形 BEC为底面 ,利用三角形的勾股定理得到 BE的长度 ,求出三角形 BEC的面积 ,利用三棱锥的体积公式即可得到 D到面 BEC的距离 . 试题： （ 1）证明：取 中点 ，连结 在 中， 分别为 的中点， 所以 ，且 由已知 ， ， 所以 ，且 3分 所以四边形 为平行四边形 所以 4分 又因为 平面 ，且 平面 ， 所以 平
13、面 5分 （ 2）在正方形 中， 又因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 所以 平面 所以 7分 在直角梯形 中， ， ，可得 在 中， ， 所以 所以 8分 所以 平面 10分 （ 3）解法一：因为 平面 ，所以平面 平面 11分 过点 作 的垂线交 于点 ，则 平面 所以点 到平面 的距离等于线段 的长度 12分 在直角三角形 中， 所以 所以点 到平面 相关试题 2014届广东省惠州市高三 4月模拟考试文科数学试卷（带） 已知正项数列 中， ，前 n项和为 ，当 时，有.（ 1）求数列 的通项公式； （ 2）记 是数列 的前 项和，若 的等比中项，求 . 答案： (1) (2) 试题分析：
14、 (1)根据题目已知 ,即数列 的相邻两项之差为常数 ,即数列为的等差数列 ,求出首项 即可得到 的通项公式 ,两边平方得到,在利用 与 之间的关系 ( )即可求的数列 的通项公式 . (2)根据等比中项的性质即可得到数列 的通项公式 ,然后对数列 进行裂项为,再利用裂项求和即可得到 的前 n项和 . 试题： （ 1） 1分 ， 2分 3分 4分 6分 （ 2） 7分 9分 11分 13分 14分 考点：等差等比数列裂项求和 已知椭圆 的左右顶点分别为 ，离心率 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若点 为曲线 : 上任一点（ 点不同于 ），直线 与直线 交于点 ， 为线段 的中点，试判断直线 与
15、曲线 的位置关系，并证明你的结论 答案： (1) (2)相切 试题分析： (1)根据椭圆的标准方程可以判断椭圆的焦点在 x轴上 ,而 x轴上顶点的坐标已知 ,即可得到 a的值 ,再根据离心率的计算公式 即可求的 c的值 ,再利用 a,b,c之间的关系即可求的 的值 ,得到椭圆的标准方程 . (2)设出 C点坐标 ,点 R在直线 x=2上 ,即点 R的横坐标已知 ,再利用 A,C,R三点哎同一直线上 ,即向量 共线 ,把 A,C的坐标带入即可得到 R点的坐标 ,D为RB的中点 ,利用中点坐标公式即可得到 D点的坐标 ,CD两点坐标已知 ,利用直线的两点式即可求的直线 CD的方程 ,利用 C点满足
16、圆 E的方程 ,计算圆心到直线CD的距离 ,可得到圆心到直线 CD的距离等于圆 E的半径 ,即直线 DC与圆 E相切 . 试题： （ 1）由题意可得 ， ， 2分 ， 3分 所以椭圆的方程为 4分 （ 2）曲线 是以 为圆心，半径为 2的圆。 设 ，点 的坐标为 ， 5分 三点共线， ， 6分 而 ， ，则 ， ， 8分 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 10分 直线 的斜率为 ， 而 ， ， ， 12分 直线 的方程为 ，化简得 ， 圆心 到直线 的距离 ， 13分 所以直线 与曲线 相切 14分 考点：椭圆离心率圆与直线的位置关系 已知函数 (1)若 ，求曲线 在 处的切线方程； (2)求
17、 的单调区间； (3）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得，求 的取值范围 . 答案： (1) (2)详见 (3) 试题分析： (1)已知函数 的式 ,把切点的横坐标带入函数 即可求出切点的纵坐标 ,对求导得到函数 的导函数 ,把 带入导函数 即可求的切线的斜率 ,利用点斜式即可得到切线的方程 . (2)对函数 进行求导和求定义域 ,导函数 喊参数 ,把 分为两种情况进行讨论 ,首先 时 ,结合 的定义域 即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增 ,当 时 ,求解导函数 大于 0和小于 0的解集 ,得到原函数的单调递增和单调递减区间 . (3)该问题为存在性问题与恒成立问
18、题的结合 ,即要求 ,而的最大值可以利用二次函数 的图像得到函数 在区间 上的最值 ,函数 的最大值可以利用第二问的单调性求的 ,当 时 ,函数 单调递增 ,无最大值 ,故不符合题意 ,当 时 ,函数 在 处前的最大值 ,带入不等式即可求的 的取值范围 . 试题： (1)由已知 ， 1分 ，所以斜率 ， 2分 又切点 ，所以切线方程为 )，即 故曲线 在 处切线的切线方程为 。 3分 (2) 4分 当 时，由于 ，故 ， ，所以 的单调递增区间为 . 5分 当 时，由 ，得 . 6分 在区间 上， ，在区间 上， ， 所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 7分 （ 3）由已知，转化为 . 8分 ，所以 9分 由 (2)知，当 时， 在 上单调递增，值域为 ，故不符合题意 . (或者举出反例：存在 ，故不符合题意 .) 10分 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 故
