1、2014届江西赣州四所重点中学高三上学期期末联考文数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 的虚部是（ ） A B i C 1 D i 答案： C 试题分析： ，故它的虚部为 考点：复数的运算 已知正方形 OABC 的四个顶点 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)，设 u 2xy,v x2-y2，是一个由平面 xOy到平面 uOv上的变换，则正方形 OABC 在这个变换下的图形是（ ） 答案： D 试题分析：当点 在正方形 的边 时， 的关系为，设 ，则 ，所以 因此排除，当点 在正方形 的边 时， 的关系为 ，设 ，则 ，得 ，消去 得， ，是抛物线一部分，不是线段，因此排除
2、 故选 考点：映射 设点 P是双曲线 与圆 x2 y2 a2 b2的一个交点， F1, F2分别是双曲线的左、右焦点，且 | | | |，则双曲线的离心率为（ ） A B 1 C D 2 答案： B 试题分析：由题意，点 在双曲线的右支上，依据双曲线的定义：，又 ， ， 圆 的半径 ， 是圆的直径， ，在直角三角形 中，由 ，得 考点：双曲线的简单性质 设函数 f(x) sin(wx ) sin(wx- )(w 0)的最小正周期为 ，则（ ） A f(x)在 (0, )上单调递增 B f(x)在 (0, )上单调递减 C f(x)在 (0, )上单调递增 D f(x)在 (0, )上单调递减
3、答案： B 试题分析： ，又因为函数 的最小正周期为 ，所以 ， ，由正弦函数的单调性可知， 在 上单调递减，故选 考点：三角函数图像与性质 一个几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的表面积为（ ） A 54cm2 B 91cm2 C 75 4 cm2 D 75 2 cm2 答案： C 试题分析：由三视图可知，此几何体为一个底面为直角梯形的四棱柱，所以该几何体的表面积为 考点：三视图，几何体的表面积 定义在 R上的函数 在 (6, )上为减函数，且函数 y f(x 6)为偶函数，则（ ） A f(4) f(5) B f(4) f(7) C f(5) f(7) D f(5) f(8
4、) 答案： D 试题分析： 的图象可以看成是由 的图象向右平移 个单位得到，而 为偶函数，其图象关于 轴对称， 的图象关于直线 对称，又函数 在 上是减函数，结合图象可知，故选 考点：奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象变化 若两个非零向量 , 满足 | | | - | | |，则向量 与 - 的夹角为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设向量 与 - 的夹角为 ，因为 ，所以， ，两式相加得， 则，所以 考点：向量的夹角 执行右图所示的程序框图，若要使输入的 x值与输出的 y值相等，则这样的 x值的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：由程序框图可知
5、，这是一个求分段函数的函数值问题，且，若要使输入的 值与输出的 值相等，则这样的 值为 ，共四个，故选 考点：算法框图，方程的解 已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a2 3， a6 11，则 S7（ ） A 91 B C 98 D 49 答案： D 试题分析： ，故答案：是 考点：等差数列的前 n项和；等差数列的性质 下列命题中的假命题是（ ） A任意 x R, 1 0 B任意 x R,ex 0 C存在 x R,lnx 0 D存在 x R,tanx -1 答案： A 试题分析：任意 x R, 1 0，当 时， ，显然是假命题，其它三个都成立 考点：命题真假判断 填空题 定义在 R上的
6、函数 f(x)及其导函数 f(x)的图像都是连续不断的曲线，且对于实数 a, b (a b)有 f(a) 0,f(b) 0，现给出如下结论： $x0 a,b,f(x0) 0； $x0 a,b,f(x0) f(b)； x0 a,b,f(x0) f(a)； $x0 a,b,f(a)-f(b) f x0)(a-b). 其中结论正确的有。 答案： 试题分析：定义在 R上的函数 及其导函数 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数 ，有 ，说明在区间 内存在 ，使 ，所以函数 在区间 内有极大值点，同时说明函数在区间内至少有一个增区间和一个减区间由上面的分析可知，函数 在区间 上不一定有零点，故 不正确；因
7、为函数在区间 内有极大值点，与实数 在同一个减区间内的极大值点的横坐标就是存在的一个 ，所以 正确；函数 在区间 的两个端点处的函数值无法判断大小，若，取 ，则 不正确；当 ，且 是极大值点的横坐标时结论 正确 考点：利用导数研究函数的单调性 过椭圆 C： 的左顶点 A且斜率为 k的直线交椭圆 C于另一个点 B，且点 B在 x轴上的射影恰好为右焦点 F，若 k ,则椭圆的离心率的取值范围是 。 答案： ( ) 试题分析：如图所示： |， ， 又 k ， ， ，解得 ，故答案：为： ( ) 考点：椭圆的简单性质 设 a 1,2,3,b 2,4,6，则函数 y 是减函数的概率为 。 答案： 试题分
8、析：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是从两个集合中各取一个数字共有 9种结果，满足条件的事件是函数是一个减函数，只要底数大于 1，列举出所有的情况有七种结果， 概率是 故答案：为： 考点：古典概型及其概率计算公式 函数 f(x) 2 logax(a 0, a1)的图像恒过定点 A，若点 A在直线 mx ny-3 0上，其中 mn 0，则 的最小值为 。 答案： 试题分析：由题意可得定点 ，又点 在直线 上， ，则 ，当且仅当时取 “=” 所以 的最小值为 考点：基本不等式 如图是容量为 200的样本的频率分布直方图，则样本数据落在 10,14内的频数为 。 答案： 试题分析：样
9、本数据落在 内的频率为： ，样本数据落在内的频数为： 考点：频率分布直方图 解答题 在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 1 . （ ）求角 A； （ ）已知 ，求 的值。 答案：（ ） B= ；（ ） 试题分析：（ ）求角 A，由已知 1 ，需要切割化弦，故再把右边利用正弦定理，把边化为角得 ，从而可得 ，可求得角 的值；（ ） ，求 的值，由（ ）知 ，可利用余弦定理来解决，由余弦定理得 ，从而，这样可求出 的值 试题：（ ）由 1 ，可得 3分 得 5分 而 ，可得 6分 （ ） ， 可得 .10分 由 b+c0，得 .12分 考点：三角恒等变换，余弦定理 某园艺
10、师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗 3 个月大的时候，随机抽取甲、乙两种方法培育的树苗各 10株，测量其高度，得到的茎叶图如图所示（单位： cm） . （ ）依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大？ （ ）现从用两种方法培育的高度不低于 80cm的树苗中随机抽取两株，求至少有一株是甲方法培育的概率。 答案：（ ）用乙种方法培育的树苗的平均高度大；（ ） 试题分析：（ ）判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大，可根据茎叶图中数据，分别求出平均数，即可判断出用哪种方法培育的树苗的平均高度大；（ ）从不低于 80cm的树苗中随机抽取两株，首先找出不低于 80cm的树苗数，共六株，从六株
11、随机抽取两株的方法数，共有 15种，而至少有一株是甲方法培育的有 9种，根据古典概型的求法，可求得 试题：（ ） 2分 4分 ，可知用乙种方法培育的树苗的平均高度大 6分 （ ）所有基本事件有：（ 81， 82）（ 81， 83）（ 81， 86）（ 81， 86）（ 81，92）（ 82， 82）（ 82， 86）（ 82， 86）（ 82， 92）（ 83， 86）（ 83， 86）（ 83，92）（ 86， 86）（ 86， 92）（ 86， 92）共 15个， 8分 而至少有一株是甲方法培育的有：（ 81， 82）（ 81， 86）（ 82， 82）（ 82， 86）（ 82， 86）
12、（ 82， 92）（ 83， 86）（ 86， 86）（ 86， 92）共 9个 10分 故 12分 考点：茎叶图，求平均数，古典概型 如图所示，已知四边形 ABCD是正方形， EA 平面 ABCD， PD EA， AD PD 2EA 2， F,G,H分别为 BP,BE,PC 的中点。 （ ）求 证：平面 FGH 平面 AEB； （ ）在线段 PC上是否存在一点 M，使 PB 平面 EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由 答案：（ ）详见；（ ）在线段 PC上存在一点 M，使 PB 平面 EFM，PM= 试题分析：（ ）求证：平面 平面 ，证明面面垂直，先证线面垂直，即证一个平
13、面过另一个平面的垂线，注意到 F， H分别为线段 PB， PC的中点，所以 FH BC，只要 CB 平面 ，则 FH 平面 ，由已知 EA平面 ABCD，则 EA CB，而四边形 ABCD是正方形， CB AB，从而可得CB 平面 ，即可证出平面 平面 ；（ ）这是一个探索性命题，一边假设存在，作为条件，进行推理即可，有已知条件，先判断 EF PB（因为若 EF 不垂直 PB，则点 就不存在），若 PB 平面 EFM，只需使 PB FM，注意到三角形 是一个直角三角形，这样 PFM PCB，利用线段比例关系，可得 PM= ，从得结论 试题：（ ）因为 EA 平面 ABCD，所以 EA CB 又
14、因为 CB AB， ABAE=A，所以 CB 平面 ABE 3分 由已知 F， H分别为线段 PB， PC的中点，所以 FH BC，则 FH 平面ABE 5分 而 FH 平面 FGH，所以平面 FGH 平面 ABE 6分 （ ）在线段 PC上存在一点 M，使 PB 平面 EFM证明如下：在直角三角形AEB中，因为 AE=1， AB=2，所以 BE= ， 在直角梯形 EADP中，因为 AE=1， AD=PD=2，所以 PE= ，所以 PE=BE 又因为 F为 PB的中点，所以 EF PB .8分 要使 PB 平面 EFM，只需使 PB FM .9分 因为 PD 平面 ABCD，所以 PD CB，
15、又因为 CB CD， PDCD=D， 所以 CB 平面 PCD，而 PC 平面 PCD，所以 CB PC 若 PB FM，则 PFM PCB，可得 ， 11分 由已知可求得 PB= ， PF= ， PC= ，所以 PM= .12分 考点：面面垂直的判定，线面垂直的性质 已知函数 f(x) x2-(a-1)x-b-1，当 x b, a时，函数 f(x)的图像关于 y轴对称，数列 的前 n项和为 Sn，且 Sn f(n). （ ）求数列 的通项公式； （ ）设 ,Tn b1 b2 bn，若 Tn 2m，求 m的取值范围。 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）求数列 的通项公式，首先确定 的式，
16、依题意，函数的图像关于 y轴对称，可知 , ，可求得 ，从而得 ，这是已知 ，求 ，可利用 来求，于是可求得 时 ， ，这样即可求得数列 的通项公式；（ ）由（ ）得 ，利用错位相减法可求得，由 ，判断出 随 的增大而增大，于是 ，可得 ，即可求得 的取值范围 试题：（ ） 时，函数 的图像关于 y轴对称，可知 ,即 对任意 都成立，得 ， 2分 由 ，得， 时 3分 5分 故 6分 （ ） ， 可得 8分 9分 由 ，可知 11分 由 Tn 2m，可得 ，解得 12分 考点：数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式 已知椭圆 C： 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线 与以原点为
17、圆心，以椭圆 C的短半轴长为半径的圆相切。 （ ）求椭圆 C的方程； （ ）设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点，设两直线的斜率分别为 k1,k2,且 k1 k2 2，证明：直线 AB过定点 (1,1) 答案：（ ） ；（ ）详见 试题分析：（ I）由等轴双曲线的离心率为 ，可得椭圆的离心率 ，因为直线 ，与以原点为圆心，以椭圆 C的短半轴长为半径的圆相切，利用点到直线的距离公式和直线与圆相切的性质可得， ，再利用即可得出 ；（ II）分直线 AB的斜率不存在与存在两种情况讨论， 不存在时比较简单； 斜率存在时，设直线 AB的方程为 ，由椭圆与椭圆的
18、方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式，再利用即可证明 试题：（ ）由题意得 ， 2分 即 ，解得 4分 故椭圆 C的方程为 5分 （ ）当直线 AB的斜率不存在时，设 A ,则 B ，由 k1 k2 2得 ，得 7分 当直线 AB的斜率存在时，设 AB的方程为 y=kx+b（ ） , , 得 ， 9分 即 由 ， 11分 即 故直线 AB过定点 (1,1) 13分 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 已知函数 f(x) 2ax- -(2 a)lnx(a0) （ ）当 时，求 的极值； （ ）当 a 0时，讨论 的单调性； ( ）若对任意的 a (2,3)， x-1,x2 1,3，恒有
19、成立，求实数 m的取值范围。 答案：（ ） 的极大值为 ，无极小值；（ ） 当时， 在 和 上是增函数，在 上是减函数； 当 时， 在 上是增函数； 当 时， 在 和上是增函数，在 上是减函数 ； ( ） 试题分析：（ ）当 时，求 的极值，首先确定函数的定义域为，对函数 求导函数 ，确定函数的单调性，即可求得函数 的极值；（ ）当 a 0时，讨论 的单调性，首先对函数 求导函数 ，并分解得 ，再进行分类讨论，利用 ，确定函数单调减区间； ，确定函数的单调增区间；（ ）若对任意的a (2, 3)， x-1, x2 1, 3，恒有 成立，只要求出的最大值即可，因此确定函数 在 上单调递减，可得的
20、最大值与最小值，从而得 ，进而利用分离参数法，可得 ，从而可求实数 的取值范围 试题：（ ）当 时， 2分 由 ,解得 ，可知 在 上是增函数，在 上是减函数 4分 的极大值为 ，无极小值 5分 （ ） ， 当 时， 在 和 上是增函数，在 上是减函数； 7分 当 时， 在 上是增函数； 8分 当 时， 在 和 上是增函数，在 上是减函数 9分 ( ）当 时，由（ 2）可知 在 上是增函数， 10分 由 对任意的 a (2, 3)， x-1, x2 1, 3恒成立， 11分 即 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 12分 由于当 时， ， 14分 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
