1、2014届湖南省怀化市高三第二次模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 的模为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ，故选 B. 考点： 1.复数的除法； 2.复数的模 设定义域为 的单调函数 ，对任意的 ，都有， 若 是方程 的一个解，则 可能存在的区间是（ ） A B C D 答案： B 试题分 析：由于函数 在其定义域 上单调，则存在唯一实数 使得 ，对任意的 ，都有 ，则，由于 ， 因此 ，因为函数 在区间 上单调递增，且 ，所以 ，故 ，令 ，则 在区间 上单调递增，且 ， ，故 ，故选 B. 考点： 1.零点存在定理； 2.函数的单调性 一个算法的程序框图
2、如图所示，其输出结果是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 不成立，执行第一次循环， ， ； 不成立，执行第二次循环， ， ； 不成立，执行第三次循环， ， ； 依此类推，执行最后一次循环， ，； 不成立，跳出循环体，输出， 下面来计算 ， 构造数列 ，其中 ，则数列 的周期为 ， 而 为数列 的前 项和，易求得 ，由于， 因此 ，故选 B. 考点： 1.算法与程序框图； 2.三角函数的周期性 已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合 ,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：抛物线 的焦点坐标为 ，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以 ， 解得
3、 ，故双曲线的渐近线的方程为 ，即 ，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ，故选 A. 考点： 1.双曲线的几何性质； 2.点到直线的距离 若 ， ，且 ，则 与 的夹角是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，即 （其中为 与 的夹角），即 ，由于 ，解得 ，故选 D. 考点：平面向量数量积 将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到一个关于 轴对称的图象，则 的一个可能取值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的函数的式为，由于函数 的图象关于 轴对称，则，因此 ， ，取 得到 的一个取值为 ，故选 B. 考点： 1.三角函数图象
4、变换； 2.三角函数图象的对称性 已知 、 都是正实数，函数 的图象过 点，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意知 ，故 的最小值是 ，故选 A. 考点：基本不等式 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 ，则正视图中 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可知，该几何体是以底面是矩形的四棱锥，且底面积为 ,，三棱锥的高为 ，因此四棱锥的体积为 ，解得 ，故选 B. 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的体积 下列有关命题的说法中 错误 的是 A若 “ ”为真命题，则 、 均为真命题 B若命题 “ ， ”则命题 为 “ ， ” C
5、“ ”是 “ ”的充分不必要条件 D “ ”的必要不充分条件是 “ ” 答案： D 试题分析：对于 A选项，若 “ ”为真命题，当且两个命题均为真命题， A选项正确；对于 B选项 ，由特称命题的否定可知 B选项正确；对于 C选项，由集合的包含关系可知， ，但 ，故命题 C正确；对于 D选项，且 ，因此 “ ”是 “ ”的一个充分不必要条件，故 D选项正确 . 考点： 1.复合命题； 2.命题的否定； 3.充分必要条件 设 是集合 到集合 的映射，若 ，则 为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据映射的定义可得 ，因此 ，故选 C. 考点： 1.映射的定义； 2.集合的运算 填空题
6、已知 ， 且 ， ，当时， ； 当 时， . 答案： ； . 试题分析：在等式 两边求导得，令 得， ，所以， ， 令 ， 则 ， 下式 上式，得， . 考点： 1.导数； 2.错位相减法求和 已知实数 、 满足约束条件 ，则 的最小值是 . 答案： . 试题分析：作出不等式组 所表示的可行域如下 图所示， ，令 ，则 ， 为原点与点 之间连线的斜率，直线 与直线 交于点 ，显然，直线 的倾斜角最小，且为锐角，此时 取最大值，即 ，因此， . 考点： 1.线性规划； 2.斜率 一只昆虫在边长分别为 、 、 的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于 的地方的概率为 . 答案： . 试题
7、分析：如下图所示，易知三角形为直角三角形，昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心， 半径为 的圆在三角形区域内的部分，实际上就是三个扇形，将这三个扇形拼接起来就是一个半圆，其半径长为 ，面积为 ，三角形的面积为，因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于 的地方 的概率为. 考点：几何概型 在平面直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数），将曲线 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、 倍后得到曲线 的直角坐标方程为 . 答案： . 试题分析：易得曲线 的普通方程为 ，在曲线 ，在曲线上任取一点 ，经过坐标变换后对应的点坐 标为 ，则有，由于点 在曲线 ，则有 ，于是有 ，化简后得 ，即
8、曲线 的方程为 . 考点： 1.参数方程； 2.坐标变换 已知等比数列 的公比 ，其前 项和 ，则 . 答案： . 试题分析： ， . 考点：等比数列的定义与求和 解答题 某广告公司设计一个凸八边形的商标，它的中间是一个正方形，外面是四个腰长为，顶角为 的等腰三角形 . （ 1）若角 时，求该八边形的面积； （ 2）写出 的取值范围，当 取何值时该八边形的面积最大，并求出最大面积 . 答案：（ 1） ；（ 2） ，当 时，八边形的面积取最大值 . 试题分析：（ 1）先利用 结合余弦定理确定正方形的边长，然后将八边形分为一个正方形与四个等腰三角形求面积，最后将面积相加得到八边形的面积；（ 2）利
9、用 得到角 的取值范围，利用正弦定理求出正方形的边长（利用含 的代数式表示），然后利用面积公式求出八边形的面积关于 的三角函数，结合降幂公式、辅助角公式将三角函数式进行化简，最后求出相应函数在区间 的最大值 . （ 1）由题可得正方形边长为 ， ； （ 2）显然 ，所以 ， ， ， ，故 ， ，此时 . 考点： 1.三角形的面积； 2.二倍角； 3.辅助角公式； 4.三角函数的最值 2013年 11月，青岛发生输油管道爆炸事故造成胶州湾局部污染国家海洋局用分层抽样的方法从国家环保专家、海洋生物专家、油气专家三类专家库中抽取若干人组成研究小组赴泄油海域工作，有关数据见表 1（单位：人） 海洋生物
10、专家 为了检测该地受污染后对海洋动物身体健康的影响，随机选取了只海豚进行了检测，并将有关数据整理为不完整的 列联表，如表 2. （ 1）求研究小组的总人数； （ 2）写出表 2中 、 、 、 、 的值，并判断有多大的把握认为海豚身体不健康与受到污染有关； （ 3）若从研究小组的环保专家和海洋生物专家中随机选 人撰写研究报告，求其中恰好有 人为环保专家的概率 . 附： ，其中 . 答案：（ 1） ；（ 2） ， ， ， ， ， ；（ 3）. 试题分析：（ 1）先根据分层抽样列方程求出 和 的值，从而求出所抽取的总人数；（ 2）根据表中数据求出 、 、 、 、 的值，然后根据独立性检验的基本思想求
11、出犯错误的概率，从而得到相关性的把握；（ 3）利用列举法求出所有的基本事件数以及问题中涉及的事件所包含的基本事件数，最后利用古典概型的概率计算公式求出相应事件的概率 . （ 1）由题意知 ，解得 ， ，所以总人数为 ； （ 2）由题意得 ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ， 因此，大约有 的把握认为海豚身体不健康与受到污染有关； （ 3）设所抽取的两名环保专家记为 、 ， 名海洋专家记为 、 、 、 ， 则所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ， 记事件 ：从研究小组的环保专家和海洋生物专家中随机选 人撰写研究报告求其中恰好有 人为环保专家， 则事
12、件 所包含的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 ，共 个， 因此， . 考点： 1.分层抽样； 2.独立性检验； 3.古典概型 如图，在直三棱柱 中， ， ，且异面直线与 所成的角等于 . （ 1）求棱柱的高； （ 2）求 与平面 所成的角的大小 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由 得到 ，借助 异面直线与 所成的角等于 ，进而说明 为等边三角形，得出 的长度后再利用勾股定理求出 的长，从而得到棱柱的高；（ 2）连接 交 于点 ，利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ，然后连接 ，于是得到即为直线 与平面 所成的角，最终在 中计算相应的边长来求出 的大小 . （ 1）
13、 ， 又 ， 为正三角形， ， 所以棱柱的高为 ； （ 2）连接 ， ， ， ， 平面 ， 即为所求， 在 中， ， ， . 考点： 1.异面直线所成的角； 2.直线与平面所成的角 已知数列 满 足 ，向量 ， 且 . （ 1）求证数列 为等差数列，并求 通项公式； （ 2）设 ，若对任意 都有 成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用向量垂直结合向量坐标运算得到 ，并在等式两边同时除以 得到 ，结合定义证明数列 为等差数列，并确定其首项和公差，求出数列 的通项公式，进而求出数列 的通项公式；（ 2）先确定数列 的通项公式，将不等式 等价转化为 ，
14、利用作商法研究数列 的单调性，并确定数列 的最小项，解不等式 求出实数 的取值范围 . （ 1）因为 ，所以 ， 即 ， ， 所以数列 为等差数列，且 ， ； （ 2）可知 ，令 ，得 ， 即当 ， ，都有 ， 而 ，故 ， 从而 ，解得 . 考点： 1.定义法证明等差数列； 2.数列的单调性； 3.数 列不等式恒成立 如图，椭圆 的长轴长为 ，点 、 、 为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点， 过中心 ，且 ， （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）设 、 是椭圆上位于直线 同侧的两个动点（异于 、 ），且满足，试讨论直线 与直线 斜率之间的关系，并求证直线 的斜率为定值 . 答案：（ 1） ；（
15、 2）详见 . 试题分析：（ 1）利用题中条件先得出 的值，然后利用条件 ，结合椭圆的对称性得到点 的坐标，然后将点 的坐标代入椭圆方程求出 的值，从而确定椭圆的方程；（ 2）将条件 得到直线 与 的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线 的方程为 ，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点 的坐标，注意到直线 与 的斜率之间的关系得到点 的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值 . （ 1） ， ， 又 是等腰三角形，所以 ， 把 点代入椭圆方程 ，求得 ， 所以椭圆方程为 ； （ 2）由题易得直线 、 斜率均存在， 又 ，所以 ， 设直线 代入椭圆方程 ， 化简得 ， 其一解为 ，另一解
16、为 ， 可求 ， 用 代入得 ， ， 为定值 . 考点： 1.椭圆的方程； 2.直线与椭圆的位置关系； 3.两点间连线的斜率 设函数 . （ 1）当 时，求函数 在区间 内的最大值； （ 2）当 时，方程 有唯一实数解，求正数 的值 . 答案：（ 1） 详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）先求出导数方程 的根，对此根与区间 的位置关系进行分类讨论，确定函数在区间 上的单调性，从而求出函数 在区间 上的最大值；（ 2）构造函数 ， 利用导数求出函数 的极值点 ，并确定函数 的单调性，得到 ，消去 并化简得到 ，通过构造函数并利用导数研究函数 的单调性并结合 ，得到，从而求出 的值 . （ 1） ， ， 令 得 . 因为 时， ， 时， ， 所以 在 递增，在 递减； 当 时，即 时， 在 上递减， 所以 时 取最大值 ； 当 时，即 时， 在 递增，在 递减， 所以 时， 取最大值 ； 当 即 时， 在 递增， 所以 时 取最大值 ； （ 2）因为方程 有唯一实数解，即 有唯一实数解， 设 ，则 ， 令 ， ，因为 ， ， 所以 （舍去）， ， 当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ， 在 上单调递增， 所以 最小值为 ， 则 相关试题 2014届湖南省怀化市高三第二次模拟考试文科数学试卷（带）
