1、2014届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，则 =( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为， ， ， 所以， ，故选 B. 考点：集合的运算，简单不等式的解法 . 已知等差数列 中， ，记数列 的前 项和为 ，若，对任意的 成立，则整数 的最小值为 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 答案： B 试题分析：在等差数列 中， ， ， 解得 ， . ， 数列 是递减数列， 数列 的最大项为 ， ， 又 是整数， 的最小值为 4，选 B. 考点：等差数列的通项公式，数列的单调性 . 函数 的递减区间为 （ ） A B C D 答案： D
2、 试题分析：令 ，则 在 是减函数 . 由 及其在 为减函数，在 是增函数，得，函数的递减区间为 ，故选 D. 考点：对数函数的性质，复合函数的单调性 . 等比数列 中， ，公比 q=2，则数列 的前 4项和为 =（ ） A 85 B 225 C 15 D 7225 答案： A 试题分析： 是等比数列 ，公比 , , 是等比数列， ，故选 A. 考点：等比数列的通项公式、求和公式 . 已知直线 ，平面 ，且 ， ，给出下列四个命题： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 其中真命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析： ，又 ， 正确； 由 推不
3、出 ， 错误 当 时， 可能平行 ，也可能在 内， 与 的位置关系不能判断， 错误 ，又 ， 正确； 故选 B. 考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系 . 已知函数 ，则 ( ) A函数 的周期为 B函数 在区间 上单调递增 C函数 的图象关于直线对称 D函数 的图象关于点 对称 答案： C 试题分析：因为， 所以，最小正周期为 ， A不正确； 又 ，所以， B不正确； 取到最小值， 所以，函数 的图象关于直线 对称，故选 C. 考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质 . 各项均为正数的等比数列 中，若 ，则( ) A 8 B 10 C 12 D 答案： B 试题分析：
4、，根据等比数列性质， 所以原式 ，故选 B 考点：等比数列，对数的运算法则 . 已知直角梯形的上底和下底长分别为 和 ，较短腰长为 ，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周，则该旋转体的体积为 ( ) A B CD 答案： C 试题分析：由题意，旋转体由圆柱与圆锥组成，圆柱的底面圆的半径为 1，高为 1，体积为 圆锥的底面圆的半径为 1，高为 1，体积为， 旋转体的体积为 ，故选 C 考点：旋转体的体积 如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与所成角的余弦值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：如图，连接 ，则 ， 异面直线 与 所成的角等于 . 令 ， 中， ，即异面直线 与 所成角
5、的余弦值为 . 故选 D 考点：几何体的结构特征，异面直线所成的角，余弦定理的应用 . 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴，若 是角终边上的一点，且 ，则 的值为 ( ) A B C 或 D 或 答案： A 试题分析：因为，角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴，且是角 终边上的一点， 所以， ，又 由三角函数的定义，得 ，解得， 的值为 故选 A. 考点：任意角的三角函数 “数列 为常数列 ”是 “数列 既是等差数列又是等比数列 ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：数列 为常数列，如果 ，则数列 不是等比
6、数列； 显然数列 是以 为首项，以 0为公差的等差数列，且 是以 为首项，以1为公比的等比数列 若 既是等差数列又是等比数列，则对任意 都有： 可得 ，整理得 ， an是常数列 “数列 an既是等差数列又是等比数列 ” 数列 an为常数列 ” “数列 an为常数列 ”是 “数列 an既是等差数列又是等比数列 ”的必要不充分条件， 故选 B； 考点：充要条件，等差数列，等比数列 . 已知向量 ， ，且 / ，则 等于 ( ) A B 2 C D 答案： A 试题分析：因为，向量 ， ，且 / ， 所以， ，解得， ，即 ， 故选 A. 考点：平面向量的坐标运算，共线向量，向量的模 . 填空题 函
7、数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：令 ，则 在 是减函数 . 由在区间 ， 且 在 为减函数，得， ，解得 ，故答案：为 . 考点：对数函数的性质，复合函数的单调性，简单不等式组的解法 . 函数 的值域为 . 答案： 试题分析：当 时， ，当且仅当 时，等号成立； 当 时， ，当且仅当时等号成立， 综上知，函数 的值域为 . 考点：基本不等式，函数的值域 . 已知 ，则 的值是 . 答案： 试题分析：因为， ，所以， ， 由万能公式得， . 考点：三角函数同角公式、万能公式 已知数列 是等差数列， ，则首项 答案： -3 试题分析：因为，数列 是等差数列， ， 所
8、以， 解得， . 考点：等差数列的通项公式 解答题 设两向量 满足 ， 、 的夹角为 ， (1）试求 (2)若向量 与向量 的夹角余弦值为非负值，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析： (1)利用平面向量数量积的定义，计算得到 ，注意应用 “化模为方 ”，计算 . （ 2）利用平面向量数量积的定义，由 计算得到 ，根据向量 与向量 的夹角余弦值为非负值，得到 ，解之即得所求 . 试题： (1)依题意知 所以 . （ 2） = 因为它们的夹角余弦值为非负值，所以， ， 解得 . 考点：平面向量的数量积、夹角、模，一元二次不等式的解法 . 已知函数 的最大值是 1，其图像经过点
9、 。 （ 1）求 的式； （ 2）已知 ，且 求 的值 . 答案：（ 1） .（ 2）. 试题分析：（ 1）函数的最大值即 ,从而得到 ， 将点 代入式并结合 ，可得 ， 进一步得到 . （ 2）根据（ 1）所得 ，得到 ， 应用三角函数同角公式得到 ，进一步应用两角差的余弦公式即得所求 . 试题：（ 1）依题意得， ,则 ， 将点 代入得， ，而 ，所以， 故 . （ 2）依题意得， ，而 所以， ， 考点：三角函数的图象和性质，同角公式、两角和与差的三角函数 . 在 ABC中，角 A， B， C所对的边为 a， b， c，已知 a=2bsinA， （ 1）求 B的值； （ 2）若 ABC的
10、面积为 ，求 a， b的值 答案：（ 1） B=30；（ 2） 或 . 试题分析：（ 1）解答此类问题，主要是利用正弦定理或余弦定理，实施 “边角关系 ”的转化 . 由 应用正弦定理可得， ，注意到三角形内角的取值范围， 得到 或 ，又 ，所以只有 . 此处易错，出现增解 . （ 2）应用余弦定理及三角形面积公式，建立 的方程组即得 . 试题：（ 1） 由正弦定理可得， ， 或 ， ， . （ 2）由余弦定理可得， 解得 或 又 由 或 考点：正弦定理、余弦定理的应用 已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，公差 d0，且 成等比数列 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）设 是首项为 1
11、，公比为 3的等比数列，求数列 bn的前 n项和 Tn 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）由已知 ，建立方程组求得 ， 从而得到通项公式 此类问题突出对等差数列、等比数列基础知识的考查，计算要细心 . （ ）不难得到 ， ，典型的应用 “错位相消法 ”求和的一类问题 . 在计算过程中，较易出错的是 “相减 ”后，和式中的项数，应特别注意 . 试题：（ ）依题意得 解得 ， ， 即 （ ） ， 两式相减得， = 考点：等差数列的通项公式、求和公式，等比数列， “错位相消法 ”. 直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB=5， AC=4， BC=3， AA1=4， D是 AB的中点 （ 1）求
12、证： AC B1C； （ 2）求证： AC1 平面 B1CD； 答案：（ ）证明见（ ）证明见 . 试题分析：（ ）要证明 “线线垂直 ”，可通过证明 “线面垂直 ”而得到 . 由于在 ABC中， AB=5， AC=4， BC=3， 所以 AC BC又在直三棱柱 ABC-A1B1C1中 C C1 AC 因此可得到 AC 平面 B B1C1C证得 AC B1C （ ）证明 “线线平行 ”，往往可通过证明 “线线平行 ”或 “面面平行 ”而得到 . 注意连结 BC1，利用 DE为 ABC1的中位线，得到 DE/ AC1 从而可得 AC1 平面 B1CD 立体几何中的证明问题，要注意表达的规范性及层
13、次性 . 试题：证明：（ ）在 ABC中，因为 AB=5， AC=4， BC=3， 所以 AC BC 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1，所以 CC1 AC 因为 BCAC=C，所以 AC 平面 BB1C1C 所以 AC B1C （ ）连结 BC1，交 B1C于 E 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1， 所以侧面 BB1C1C为矩形，且 E为 B1C中点 . 又 D是 AB中点，所以 DE为 ABC1的中位线，所以 DE/AC1 因为 DE 平面 B1CD， AC1 平面 B1CD， 所以 AC1 平面 B1CD 考点：垂直关系，平行关系 . 已知中心在原点的双曲线 的一个焦点是 ，一条渐近线
14、的方程是。 （ 1）求双曲线 的方程； （ 2）若以 为斜率的直线 与双曲线 相交于两个不同的点 ，且线段 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围。 答案：（ 1） ； (2) 的取值范围是试题分析：（ 1）本题较易，注意利用已知条件建立方程组 解得， 即得所求 . （ 2）从确定三角形的面积表达式入手，建立 的不等式 .通过设直线 的方程为 ，建立方程组 并整理，建立的不等关系； 由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足， ， 得到线段 的垂直平分线的方程为 ， 求得此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， ， 从而利用 ，整理得 ， ， 将上式代入 的不等关系式，得到 的不等式 . 试题：（ 1）设双曲线 的方程为 ， 由题设得 解得 ， 所以双曲线方程为 . （ 2）设直线 的方程为 ，点 的坐标满足方程组 ，整理得 ，此方程有两个不等实根， 于是 且 ， 整理得 . 由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足， ， 从而线段 的垂直平分线的方程为 ， 此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， ， 由题设可得 ，整理得 ， ， 将上式代入 式得 ， 整理得 ， ，解得 或 ， 所以 的取值范围是 考点：双曲线的标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积公式 .
