1、新课标高三数学直线、平面、简单几何体专项训练（河北） 选择题 平面 外的一条直线 a与平面 内的一条直线 b不平行，则 ( ) A a B a C a与 b一定是异面直线 D 内可能有无数条直线与 a平行 答案： D 如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中， BAC 90， BC1 AC，则 C1在底面ABC上的射影 H必在 ( ) A直线 AB上 B直线 BC 上 C直线 AC 上 D ABC内部 答案： A 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， O 是底面 ABCD的中心， M、 N 分别是棱DD1、 D1C1的中点，则直线 OM ( ) A和 AC、 MN 都垂直 B垂直于 AC，
2、但不垂直于 MN C垂直于 MN，但不垂直于 AC D与 AC、 MN 都不垂直 答案： A 已知 m， n为不同的直线， ， 为不同的平面，下列四个命题中，正确的是 ( ) A若 m ， n ，则 m n B若 m ， n ，且 m ， n ，则 C若 ， m ，则 m D若 ， m ， m ，则 m 答案： D 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1， O 是底面 A1B1C1D1的中心，则 O 到平面 ABC1D1的距离为 ( ) A. B. C. D. 答案： D 若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) A. B. C. D. 答案： B 如图，
3、矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA 6 cm， OC 2 cm，则原图形是 ( ) A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形 答案： C 设有三个命题， 甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体； 丙：直四棱柱是直平行六面体 以上命题中，真命题的个数有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B 将正方形 ABCD沿对角线 BD折成一个 120的二面角，点 C到达点 C1，这时异面直线 AD与 BC1所成的角的余弦值是 ( ) A. B. C. D. 答案： D 已知直线 m 平面 ，直线 n 平面 ，则下列命题
4、正确的是 A若 ，则 m n B若 ，则 m n C若 m n，则 D若 n ，则 答案： A 若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为 2，则高为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 正方体的表面积是 a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 ( ) A B C 2a2 D 3a2 答案： B 填空题 如图，已知六棱锥 P-ABCDEF的底面是正六边形， PA 平面 ABC， PA2AB，则下列结论中： PB AE； 平面 ABC 平面 PBC； 直线 BC 平面 PAE； PDA 45. 其中正确的有 _(把所有正确的序号都填上 ) 答案： a， b
5、， c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题： 若 a b， b c，则 a c； 若 a b， b c，则 a c； 若 a与 b相交， b与 c相交，则 a与 c相交； 若 a 平面 ， b 平面 ，则 a， b一定是异面直线； 若 a， b与 c成等角，则 a b. 上述命题中正确的 _(只填序号 ) 答案： 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a，点 E为 AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点 M，使 AM ME最小，其最小值为 _ 答案： a 若正三棱锥底面的边长为 a，且每两个侧面所成的角均为 90，则底面中心到侧面的距离为 _ 答案： a 解答题 如图所
6、示，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，侧棱 PA垂直于底面， E、 F分别是 AB、 PC的中点 (1)求证： CD PD； (2)求证： EF 平面 PAD. 答案： (1) PA 平面 ABCD，而 CD 平面 ABCD， PA CD，又 CD AD， ADPA A， CD 平面 PAD， CD PD. (2)取 CD的中点 G，连接 EG、 FG. E、 F分别是 AB、 PC的中点， EG AD， FG PD， 平面 EFG 平面 PAD， 又 EF 平面 EFG， EF 平面 PAD. 在矩形 ABCD中， AB 1， BC a，现沿 AC 折成二面角 D-AC-B，使
7、 BD为异面直线 AD、 BC 的公垂线 (1)求证：平面 ABD 平面 ABC； (2)当 a为何值时，二面角 D-AC-B为 45 答案： (1)证明：由题知 BC BD，又 BC AB. BC 面 ABD， 面ABC 面 ABD. (2)作 DE AB于 E，由 (1)知 DE 面 ABC，作 EF AC 于 F，连 DF，则DF AC， DFE 为二面角 D-AC-B 的平面角即 DFE 45.EF DE DF， DF， AF且，解得 a2， a . 如图所示，在三棱锥 P-ABC中， PA 平面 ABC， AB BC CA 3， M为AB的中点，四点 P、 A、 M、 C都在球 O
8、的球面上 (1)证明：平面 PAB 平面 PCM； (2)证明：线段 PC的中点为球 O 的球心 答案： (1)证明： AC BC， M为 AB的中点， CM AM. PA 平面ABC， CM 平面 ABC， PA CM. ABPA A， AB 平面 PAB， PA 平面 PAB， CM 平面 PAB. CM 平面 PCM， 平面 PAB 平面 PCM. (2)证明：由 (1)知 CM 平面 PAB. PM 平面 PAB， CM PM. PA 平面 ABC， AC 平面 ABC， PA AC.如图，取 PC的中点 N，连结MN、 AN.在 Rt PAC中，点 N 为斜边 PC的中点， AN P
9、N NC.在 Rt PCM中，点 N 为斜边 PC的中点， MN PN NC. PN NC AN MN. 点 N 是球 O 的球心，即线段 PC的中点为球 O 的球心 如图所示，四棱锥 P-ABCD中， PD 平面 ABCD， PA与平面 ABCD所成的角为 60，在四边形 ABCD中， D DAB 90， AB 4， CD 1， AD2. (1)建立适当的坐标系，并写出点 B， P的坐标； (2)求异面直线 PA与 BC 所成角的余弦值； (3)若 PB的中点为 M，求证：平面 AMC 平面 PBC. 答案： (1)如图所示，以 D为原点，射线 DA， DC， DP 分别为 x， y， z轴
10、的正方向，建立空间直角坐标系 D-xyz. D DAB 90， AB 4， CD 1， AD 2， A(2,0,0)， C(0,1,0)， B(2,4,0)， 由 PD 平面 ABCD，得 PAD为 PA与平面 ABCD所成的角， PAD 60. 在 Rt PAD中，由 AD 2，得 PD 2， P(0,0,2) (2) (2,0， -2)， (-2， -3,0)， cos -， 所以 PA与 BC 所成角的余弦值为 (3)证明： M为 PB的中点， 点 M的坐标为 (1,2， )， (-1,2， )， (1,1， )， (2,4， -2)， (-1)2 24 ( -2) 0， 12 14 (
11、 -2) 0， ， ， PB 平面 AMC PB 平面 PBC 平面 AMC 平面 PBC . 已知四棱锥 S-ABCD的底面 ABCD是正方形， SA 底面 ABCD， E是 SC上的任意一点 (1)求证：平面 EBD 平面 SAC； (2)设 SA 4， AB 2，求点 A到平面 SBD的距离； 答案： (1) SA 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， SA BD. ABCD是正方形， AC BD， BD 平面 SAC. BD 平面 EBD， 平面 EBD 平面 SAC. (2)设 ACBD F，连 SF，则 SF BD. AB 2. BD 2. SF 3 S SBD BD SF 2
12、 3 6. 设点 A到平面 SBD的距离为 h， SA 平面 ABCD， S SBD h S ABD SA， 6 h 2 2 4， h， 点 A到平面 SBD的距离为 . 如图， M、 N、 P 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 AB、 BC、 DD1上的点 (1)若，求证：无论点 P在 D1D上如何移动，总有 BP MN； (2)若 D1P： PD 1 2，且 PB 平面 B1MN，求二面角 M-B1N-B的余弦值； (3)棱 DD1上是否总存在这样的点 P，使得平面 APC1 平面 ACC1？证明你的结论 答案： (1)证明：连结 AC、 BD，则 BD AC， ， MN AC
13、， BD MN. 又 DD1 平面 ABCD， DD1 MN， BDDD1 D， MN 平面 BDD1. 又 P无论在 DD1上如何移动，总有 BP 平面 BDD1， 无论点 P在 D1D上如何移动，总有 BP MN. (2)以 D为坐标原点， DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的坐标系设正方体的棱长为 1， AM NC t， 则 M(1， t,0)， N(t,1,0)， B1(1,1,1)， P(0,0， )， B(1,1,0)， A(1,0,0)， (0,1-t,1)， B 又 BP 平面 MNB1， B 0， 即 t-1 0， t， (0， 1)，
14、M (-， 0) 设平面 MNB1的法向量 n (x， y， z)， 由， 得 x y， z -y. 令 y 3，则 n (3,3， -2) AB 平面 BB1N， A是平面 BB1N 的一个法向量， A (0,1,0) 设二面角 M-B1N-B的大小为 ， cos n， A . 则二面角 M-B1N-B的余弦值为 . (3)存在点 P，且 P为 DD1的中点， 使得平面 APC1 平面 ACC1. 证明： BD AC， BD CC1， BD 平面 ACC1. 取 BD1的中点 E，连 PE， 则 PE BD， PE 平面 ACC1. PE 平面 APC1， 平面 APC1 平面 ACC1.
